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(共52张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 3 章 图形的相似 章末复习
副标题：梳理知识脉络，强化应用能力
姓名：[教师姓名]
日期：[复习日期]
幻灯片 2：本章知识结构导图
图形的相似
├─ 相似图形的概念与性质
│ ├─ 相似图形的定义：形状相同的图形
│ ├─ 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例
│ └─ 相似比：对应边的比值
├─ 相似三角形的判定
│ ├─ 判定定理1：两角分别相等
│ ├─ 判定定理2：两边成比例且夹角相等
│ ├─ 判定定理3：三边成比例
│ └─ 特殊判定：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似
├─ 相似三角形的性质
│ ├─ 对应高、中线、角平分线的比等于相似比
│ ├─ 周长比等于相似比
│ └─ 面积比等于相似比的平方
├─ 相似三角形的应用
│ ├─ 测量高度、距离
│ ├─ 建筑图纸与实际尺寸换算
│ └─ 镜面反射等实际问题
└─ 位似图形
├─ 位似图形的概念：特殊的相似图形，对应顶点连线交于位似中心
├─ 位似图形的画法
└─ 平面直角坐标系中的位似：坐标变化规律
幻灯片 3：核心知识点 1 - 相似图形的概念与性质
相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，与大小无关。
相似多边形的性质：
对应角相等；
对应边成比例；
周长比等于相似比；
面积比等于相似比的平方。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数），通常用\(k\)表示。
示例：两个相似四边形的相似比为\(2:3\)，则周长比为\(2:3\)，面积比为\(4:9\)。
幻灯片 4：核心知识点 2 - 相似三角形的判定
判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似。
（若∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)）
判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（若\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，且∠\(A = A'\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)）
判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似。
（若\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\)，则△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)）
特殊判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
幻灯片 5：核心知识点 3 - 相似三角形的性质
对应线段的比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。
（若相似比为\(k\)，则\(\frac{AD}{A'D'} = \frac{AE}{A'E'} = k\)，其中\(AD\)、\(A'D'\)为对应高）
周长比：相似三角形的周长比等于相似比。
（\(\frac{C_1}{C_2} = k\)）
面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（\(\frac{S_1}{S_2} = k \)）
注意：性质可逆用，如面积比为\(9:16\)，则相似比为\(3:4\)，周长比为\(3:4\)。
幻灯片 6：核心知识点 4 - 相似三角形的应用
测量高度：利用阳光下的影子、标杆或镜面反射，构造相似三角形，通过比例计算高度。
（例：同一时刻，物体高度与影长成正比）
测量距离：对于不可到达的两点距离，通过延长线段构造相似三角形，利用相似比求解。
（例：测量河流宽度时，构造 “X” 型相似三角形）
图纸与实际换算：根据比例尺（相似比）计算实际尺寸，实际长度 = 图纸长度 × 比例尺，实际面积 = 图纸面积 ×（比例尺） 。
幻灯片 7：核心知识点 5 - 位似图形
位似图形的概念：两个相似图形的对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行（或共线），这样的图形叫做位似图形，相似比称为位似比。
位似图形的性质：
对应点到位似中心的距离比等于位似比；
对应边的比等于位似比；
面积比等于位似比的平方。
平面直角坐标系中的位似：
位似中心在原点：对应点坐标为\((kx, ky)\)或\((-kx, -ky)\)（\(k\)为位似比）；
位似中心为\((a, b)\)：对应点坐标为\((a + k(x - a), b + k(y - b))\)。
幻灯片 8：典型例题 1 - 相似三角形的判定与性质综合
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(DE BC\)，\(AD = 2\)，\(DB = 3\)，\(DE = 4\)，求\(BC\)的长度及△\(ADE\)与△\(ABC\)的面积比。
解答：
∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)（平行判定相似）。
相似比\(k = \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + DB} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5}\)。
由\(\frac{DE}{BC} = k\)，得\(BC = \frac{DE}{k} = \frac{4}{\frac{2}{5}} = 10\)。
面积比为\(k = (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25}\)。
答：\(BC = 10\)，面积比为\(4:25\)。
幻灯片 9：典型例题 2 - 相似三角形的实际应用
题目：为测量一座古塔的高度，某同学在塔前\(50m\)处竖立一根高\(2m\)的标杆，测得标杆的影长为\(3m\)，同时测得塔顶的影长恰好到达标杆底部，求古塔的高度。
解答：
设古塔高度为\(H m\)，由题意知，古塔影长为\(50m\)，标杆高\(2m\)，影长\(3m\)。
同一时刻，△\(ABC\)∽△\(DEF\)（\(A\)为塔顶，\(B\)为塔底，\(D\)为标杆顶，\(E\)为标杆底）。
∴\(\frac{H}{2} = \frac{50}{3}\)，解得\(H = \frac{100}{3} 33.3m\)。
答：古塔的高度约为\(33.3m\)。
幻灯片 10：典型例题 3 - 位似图形与坐标变换
题目：在平面直角坐标系中，△\(ABC\)的顶点坐标为\(A(1, 2)\)、\(B(3, 4)\)、\(C(2, 6)\)，以原点为位似中心，位似比为\(2\)画它的位似图形，求对应顶点的坐标。
解答：
位似中心在原点，位似比为\(2\)，对应点坐标为原坐标乘以\(2\)或\(-2\)。
同侧位似：\(A'(2, 4)\)、\(B'(6, 8)\)、\(C'(4, 12)\)。
异侧位似：\(A''(-2, -4)\)、\(B''(-6, -8)\)、\(C''(-4, -12)\)。
答：对应顶点坐标为\((2, 4)\)、\((6, 8)\)、\((4, 12)\)或\((-2, -4)\)、\((-6, -8)\)、\((-4, -12)\)。
幻灯片 11：易混易错点辨析
易错点 1：混淆相似比与面积比的关系，误将面积比当作相似比。
（纠正：面积比 = 相似比的平方，需先开平方再求相似比）
易错点 2：判定三角形相似时，忽略 “夹角” 条件，用 “两边成比例且一边对角相等” 判定。
（纠正：仅两边成比例且夹角相等才能判定相似，对角相等不成立）
易错点 3：位似图形中漏写坐标的符号，忽略异侧位似的情况。
（纠正：位似比为负值时，对应点在原点两侧，坐标需加负号）
易错点 4：应用相似解决实际问题时，对应边找错，比例式列反。
（纠正：明确相似三角形的对应顶点，按顺序列出比例式）
幻灯片 12：章末检测题 1 - 基础题
题目：
下列图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形
△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(1:2\)，若△\(ABC\)的周长为\(10\)，则△\(DEF\)的周长为______。
若两个相似三角形的面积比为\(25:9\)，则它们的对应高的比为______。
以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)，点\(P(4, -6)\)的对应点坐标为______。
答案：1. C；2. 20；3. 5:3；4. \((2, -3)\)或\((-2, 3)\)
幻灯片 13：章末检测题 2 - 中档题
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(CD AB\)于点\(D\)，求证：△\(ACD\)∽△\(CBD\)。
解答提示：
∵\(CD AB\)，∴∠\(ADC = CDB = 90 °\)。
∠\(A + ACD = 90 °\)，∠\(ACD + BCD = 90 °\)，∴∠\(A = BCD\)。
∴△\(ACD\)∽△\(CBD\)（两角分别相等）。
幻灯片 14：章末检测题 3 - 提高题
题目：如图，在△\(ABC\)中，\(AB = 5\)，\(AC = 4\)，\(BC = 6\)，\(D\)是\(AB\)上一点，\(AD = 2\)，过点\(D\)作\(DE BC\)交\(AC\)于点\(E\)，求\(DE\)的长度及△\(ADE\)的面积与四边形\(DECB\)的面积比。
解答提示：
∵\(DE BC\)，∴△\(ADE\)∽△\(ABC\)，相似比\(k = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}\)。
\(DE = BC ·k = 6 \frac{2}{5} = 2.4\)。
面积比为\(k = \frac{4}{25}\)，故△\(ADE\)与四边形\(DECB\)的面积比为\(4:21\)。
幻灯片 15：总结与反思
知识梳理：本章核心是相似三角形的判定与性质，位似是特殊的相似，需掌握坐标变化规律。
能力要求：能准确判定三角形相似，灵活运用性质解决计算和证明问题，会用相似解决实际测量问题。
学习建议：
多画图分析，明确相似三角形的对应关系；
通过典型例题总结解题方法，如 “一线三垂直”“平行截相似” 等模型；
注重实际应用，将数学知识与生活场景结合。
后续学习：相似是初中几何的重要内容，为高中立体几何、解析几何奠定基础，需扎实掌握。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如果选用同一个长度单位量得两条线段 a，b 的长度分别为 m，n ，那么它们的长度比叫作这两条线段的比.
四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，那么这四条线段 a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段.
1. 线段的比和成比例线段的定义
比例的基本性质─
比例的合比性质─
比例的等比性质：
比例的更比性质—
2. 比例的性质
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果
A
C
B
那么称线段 AB 被点 C
点 C 叫作线段 AB 的
AC 与 AB（或 BC 与 AC）的比叫做
黄金比
≈ 0.618
黄金分割
黄金分割点
黄金分割比
3. 黄金分割
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
4. 图形的相似
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
3. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
3. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
7. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连
线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位
似图形，这个点叫作位似中心.
8. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
G
C
E
D
F
●P
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.
M
考点一 相似三角形的判定和性质
∵ EF∥BC，∴△AEF ∽ △ABC.
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
解得 x = 48.
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
A
B
C
D
E
F
G
H
M
则
∴
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．
∵CE 是外角平分线，
∴∠ACE＝60°.
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.
A
B
C
D
F
E
M
在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中，
由(1) △ABD ∽△CED 得，
即
∴
针对训练
1．如图所示，当满足下列条件之一时，都可判定 △ADC ∽△ACB．
(1) ；
(2) ；
(3) .
∠ACD =∠B
∠ACB =∠ADC
B
C
A
D
或 AC2 = AD · AB
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ．
36 和 39
3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与△ABC 相似，则 AF =　　　　.
B
C
A
E
2 或 4.5
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积
与 △DFA 的面积之比为 .　　　　　　
1 : 9
E
D
C
B
A
F
2 m
1.2 m
3.6 m
A
考点二 相似的应用
例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
∴ BC＝6 m.
在 Rt△ABC 中，
∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12 m.
即树长 AB 是 12 m.
2 m
1.2 m
3.6 m
A
解：如图，CD＝3.6 m，
∵△BDC∽△FGE，
即
∴
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”
请你利用初中数学知识，
设计一种方案测量纪念碑的
高度 (画出示意图)，并说明理由．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A. 若人眼到地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高．
根据 ，即可算出 AB 的高．
你还有其他方法吗？
理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离他起跳点 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，
假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面
离地多高的地方？
针对训练
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
解：∵∠ABO = ∠CDO = 90°，∠AOB = ∠COD，
∴△AOB ∽ △COD.
∴
∴
解得 CD = 5.4 m.
故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方．
考点三 位似的性质及应用
针对训练
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
A
B
C
D
B
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为
，面积比为 .
D
A
E
B
C
C
4 : 3
16 : 9
4. 在平面直角坐标系中，
点 A，B 的坐标分别为(－6， 3)，
(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 .
(4，－3)
5. 找出下列图形的位似中心.
6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
A
B
C
O
A′
B′
C′
(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.
解：如图所示.
(2) 线段 AA′ 的长度是 .
7. 如图，△ABC 在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标；
解：如图所示，
B (2，1).
x
y
O
x
y
O
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
A′
B′
C′
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′的面积 S.
x
y
O
A′
B′
C′
解：
整合1 四个概念
概念1 比例线段
1.［教材P102“复习题3”第1题变式］ 若,,, 是成比例线段，其中
，，则线段 的长为( )
C
A.2 B.4 C.6 D.
返回
概念2黄金分割
（第2题）
2.人类既能欣赏美，也能创造美，即使是五角星，也
蕴含着“黄金分割”.如图，为 的黄金分割点
，则下列结论中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
概念3 相似图形
3.下列说法正确的是( )
C
A.对应边都成比例的多边形相似
B.对应角都相等的多边形相似
C.边数相同的正多边形相似
D.有一个内角相等的等腰三角形相似
返回
概念4 位似图形
（第4题）
4.按下列方法，将 的三边缩小为原来的
：如图所示，在外任取一点 ，连接
，，，并取它们的中点，， ，
连接，，得到 ，则下列说法正
确的有________.（填序号）
①②③
与是位似图形；与 是相似图形；
与的周长之比为；与 的面积之比为
.
返回
整合2 三个性质
性质1 比例的基本性质
5.已知 ，那么下列等式正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
性质2 平行线分线段成比例的性质
（第6题）
6.如图，在中，，，若 ，则
的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.如图，,相交于点，点,分别在,上， .若
，，，，则 ___.
6
（第7题）
返回
性质3 相似三角形的性质
（第8题）
8.如图，中，点,分别在, 上，且
，下列结论不正确的是( )
D
A.
B.
C.与的周长比为
D.与的面积比为
返回
整合3 一个判定——相似三角形的判定
9.如图，，分别是的边， 上的点，下列条件：
；；； ；
;
.其中能判定 的有__________.（填序号）
①③⑤⑥
返回
整合4 两个应用
应用1 黄金分割比的应用
（第10题）
10. 某品牌汽车为了打造更加精美
的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分
割点的位置 即车尾与倒车镜的水平距离与车长之
比为，如果车头与倒车镜的水平距离为
（如图），则该车车身总长为_________ .
[解析] 点拨：设该车车身总长为米，由题意得 ，解得
.经检验,是原方程的根， 该车车身总长为
米.
返回
应用2 相似三角形的应用
（第11题）
11. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中
记载了一个测量塔高的问题：如图， 表示塔的高
度，表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人眼到
地面的高度，,,在同一平面内，点,, 在
一条水平直线上.已知， ，
18.2
，，人从点处远眺塔顶 ，视线恰好经过竹竿的
顶端，则塔的高度为_____ .
返回
整合5 一个作图——位似作图
12.［教材P105“复习题3”第16题变式］ 如图，在平面直角坐标系中，
的顶点坐标分别为，，.以原点 为位似中
心，在轴的右侧将放大为原来的2倍得到.画出 .
解：如图.
返回
整合6 两种思想
思想1 方程思想
13.小明将一块矩形木板 按如图①所示的方式切割后无缝隙、不重
叠地拼成如图②所示的“ ”形且成轴对称的图形.若切割过程中木材的消
耗忽略不计，，，， 则 等于_____.
返回
思想2 分类讨论思想
14.如图，在中，,,点从点 出发，
沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以
的速度向点 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动
时间为，试问与能否相似？若能，求出 的长；若不
能，请说明理由.
解：能., .
①当时，，即 ，
解得， .
②当时， ，
即，解得或 （舍去），
.
综上所述，的长为或 .
返回
相似
相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
应用
性质
判定
平行线分线段成比例
定义
定义、判定、性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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