资源简介

(共37张PPT)
1.1.1 菱形的定义及其性质
在平面几何中，菱形是一种特殊的平行四边形，它兼具平行四边形的所有性质，同时又有自身独特的几何特征。理解菱形的定义和性质，不仅能深化对平行四边形家族的认识，还能为解决几何证明和计算问题提供重要工具。本节将系统学习菱形的定义、核心性质及其推导过程，并通过实例展示性质的应用。
一、菱形的定义
菱形是一组邻边相等的平行四边形。这一定义包含两层含义：
菱形首先是平行四边形，因此它具有平行四边形的所有基本性质，如对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等；
菱形的特殊之处在于 “一组邻边相等”，这一特征使它与一般的平行四边形区分开来，也衍生出了菱形独有的性质。
从图形直观来看，菱形的四条边呈现出 “等长” 的特征，就像将平行四边形的一组邻边调整为相等后形成的图形。例如，边长为 5cm 的菱形，其四条边的长度均为 5cm，且对边保持平行。
二、菱形的性质
基于菱形的定义，结合平行四边形的性质和逻辑推理，可得出菱形的以下核心性质：
（一）边的性质：四条边都相等
性质 1：菱形的四条边长度相等。
证明过程：
已知：如图 1，四边形\(ABCD\)是菱形，\(AB = BC\)（定义：一组邻边相等的平行四边形）。
求证：\(AB = BC = CD = DA\)。
证明：∵四边形\(ABCD\)是菱形，
∴四边形\(ABCD\)是平行四边形（菱形定义）。
∴\(AB = CD\)，\(BC = DA\)（平行四边形对边相等）。
又∵\(AB = BC\)（已知），
∴\(AB = BC = CD = DA\)（等量代换）。
实例解析：
例 1：已知菱形\(ABCD\)的周长为 20cm，求每条边的长度。
解：∵四边形\(ABCD\)是菱形，
∴\(AB = BC = CD = DA\)（菱形四条边相等）。
∵菱形周长为 20cm，即\(AB + BC + CD + DA = 20cm\)，
∴\(4AB = 20cm\)（等量代换），
∴\(AB = 5cm\)（等式性质）。
答：菱形每条边的长度为 5cm。
（二）角的性质：对角相等，邻角互补
菱形作为特殊的平行四边形，继承了平行四边形的角的性质：
性质 2：菱形的对角相等，邻角互补。
即：在菱形\(ABCD\)中，\(\angle A=\angle C\)，\(\angle B=\angle D\)；\(\angle A+\angle B = 180^\circ\)，\(\angle B+\angle C = 180^\circ\)等（邻角之和为\(180^\circ\)）。
实例解析：
例 2：在菱形\(ABCD\)中，\(\angle A = 60^\circ\)，求其他三个角的度数。
解：∵四边形\(ABCD\)是菱形，
∴\(\angle A=\angle C\)，\(\angle B=\angle D\)（菱形对角相等），
且\(\angle A+\angle B = 180^\circ\)（菱形邻角互补）。
∵\(\angle A = 60^\circ\)（已知），
∴\(\angle C = 60^\circ\)（等量代换）。
∵\(\angle A+\angle B = 180^\circ\)，
∴\(\angle B = 180^\circ-\angle A=180^\circ - 60^\circ=120^\circ\)（等式性质），
∴\(\angle D=\angle B = 120^\circ\)（等量代换）。
答：\(\angle B = 120^\circ\)，\(\angle C = 60^\circ\)，\(\angle D = 120^\circ\)。
（三）对角线的性质：互相垂直且平分每组对角
菱形的对角线具有比平行四边形更特殊的性质，这是菱形最核心的特征之一：
性质 3：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
证明过程：
已知：如图 2，四边形\(ABCD\)是菱形，对角线\(AC\)、\(BD\)相交于点\(O\)。
求证：（1）\(AC\perp BD\)；（2）\(AC\)平分\(\angle A\)和\(\angle C\)，\(BD\)平分\(\angle B\)和\(\angle D\)。
证明：（1）∵四边形\(ABCD\)是菱形，
∴\(AB = AD\)（菱形四条边相等），且\(O\)是\(BD\)中点（平行四边形对角线互相平分），即\(BO = OD\)。
在\(\triangle ABO\)和\(\triangle ADO\)中，\(\begin{cases}AB = AD · è \\BO = OD · è \\AO = AO ±è \end{cases}\)
∴\(\triangle ABO\cong\triangle ADO\)（SSS 全等判定）。
∴\(\angle AOB=\angle AOD\)（全等三角形对应角相等）。
∵\(\angle AOB+\angle AOD = 180^\circ\)（邻补角定义），
∴\(\angle AOB=\angle AOD = 90^\circ\)，即\(AC\perp BD\)（垂直定义）。
（2）∵\(\triangle ABO\cong\triangle ADO\)（已证），
∴\(\angle BAO=\angle DAO\)（全等三角形对应角相等），即\(AC\)平分\(\angle A\)。
同理可证\(AC\)平分\(\angle C\)，\(BD\)平分\(\angle B\)和\(\angle D\)。
实例解析：
例 3：如图 3，在菱形\(ABCD\)中，对角线\(AC = 6cm\)，\(BD = 8cm\)，求对角线交点\(O\)到各边的距离。
解：∵四边形\(ABCD\)是菱形，
∴\(AC\perp BD\)，\(AO=\frac{1}{2}AC = 3cm\)，\(BO=\frac{1}{2}BD = 4cm\)（菱形对角线互相垂直平分）。
在\(Rt\triangle AOB\)中，由勾股定理得：\(AB=\sqrt{AO^2 + BO^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5cm\)。
设点\(O\)到\(AB\)的距离为\(h\)，
∵菱形面积\(S=\frac{1}{2}AC\times BD=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24cm^2\)，
且菱形面积也可表示为\(4\times S_{\triangle AOB}=4\times\frac{1}{2}\times AB\times h=2\times5\times h = 10h\)，
∴\(10h = 24\)，解得\(h = 2.4cm\)。
∵菱形对角线交点到各边距离相等，
∴点\(O\)到各边的距离均为 2.4cm。
答：对角线交点\(O\)到各边的距离为 2.4cm。
三、菱形性质与平行四边形性质的对比
为更清晰地理解菱形的特殊性，将菱形与一般平行四边形的性质对比如下：
性质类别
平行四边形
菱形
边
对边平行且相等
对边平行，四条边都相等（继承并强化）
角
对角相等，邻角互补
对角相等，邻角互补（完全继承）
对角线
互相平分
互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角（继承并强化）
对称性
中心对称图形
既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对角线所在直线是对称轴）
通过对比可见，菱形在平行四边形基础上增加了 “邻边相等” 的条件，进而衍生出对角线垂直、四条边相等、轴对称等独特性质。
四、菱形性质的综合应用
运用菱形的性质解决几何问题，需结合图形特征和已知条件，灵活运用边、角、对角线的关系，常见步骤如下：
识别菱形特征：确认图形为菱形，明确已知的边、角或对角线信息；
调用相关性质：根据问题需求，选择菱形的边、角或对角线性质，如求边长用 “四条边相等”，求角度用 “对角相等、邻角互补”，涉及对角线用 “互相垂直平分且平分对角”；
结合其他知识：辅助使用勾股定理（对角线垂直时形成直角三角形）、三角形面积公式、全等三角形等知识，推导所需结论。
例 4：如图 4，在菱形\(ABCD\)中，\(\angle BAD = 120^\circ\)，对角线\(AC = 4cm\)，求菱形的边长和面积。
解：∵四边形\(ABCD\)是菱形，\(\angle BAD = 120^\circ\)，
∴\(AC\)平分\(\angle BAD\)（菱形对角线平分一组对角），
∴\(\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BAD = 60^\circ\)。
∵\(AB = BC\)（菱形四条边相等），
∴\(\triangle ABC\)是等边三角形（有一个角是\(60^\circ\)的等腰三角形是等边三角形），
∴\(AB = AC = 4cm\)，即菱形边长为 4cm。
∵菱形对角线互相垂直，设\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，则\(AO = 2cm\)，\(\angle AOB = 90^\circ\)。
在\(Rt\triangle AOB\)中，\(BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}cm\)，
∴\(BD = 2BO = 4\sqrt{3}cm\)。
菱形面积\(S=\frac{1}{2}AC\times BD=\frac{1}{2}\times4\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}cm^2\)。
答：菱形的边长为 4cm，面积为\(8\sqrt{3}cm^2\)。
五、常见误区
混淆菱形与正方形：认为菱形的四个角都是直角，实际上菱形的角可以是任意度数，只有当菱形有一个角是直角时才是正方形。
忽略对角线垂直的条件：在计算菱形面积或边长时，忘记菱形对角线互相垂直的性质，导致无法使用勾股定理求解。
误用 “对角线相等”：菱形的对角线互相垂直但不一定相等，对角线相等是矩形的性质，菱形只有在特殊情况下（成为正方形时）对角线才相等。
对称性理解错误：认为菱形只有一条对称轴，实际上菱形有两条对称轴，即两条对角线所在的直线。
六、课堂总结
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形，兼具平行四边形和自身的特殊性质。
核心性质：
边：四条边都相等；
角：对角相等，邻角互补；
对角线：互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角；
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对称轴）。
应用要点：结合对角线垂直的性质，利用勾股定理解决边长、面积计算问题；通过对角线平分对角的性质推导角度关系。
与平行四边形的关系：菱形是特殊的平行四边形，继承平行四边形所有性质，同时具有独特的边和对角线性质。
菱形的性质是平面几何的重要组成部分，掌握这些性质不仅能解决菱形本身的问题，还能为后续学习正方形、梯形等图形提供思路。通过理解性质的推导过程和应用场景，能进一步提升几何推理和计算能力。
七、课后作业
已知菱形的一条边长为 6cm，求它的周长。
在菱形\(ABCD\)中，对角线\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，\(\angle ABO = 30^\circ\)，\(AO = 2cm\)，求菱形的边长和对角线\(BD\)的长度。
求证：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（提示：结合对角线互相垂直的性质，将菱形分成四个直角三角形）。
如图 5，菱形\(ABCD\)的周长为 40cm，一条对角线长为 16cm，求另一条对角线的长度和菱形的面积。
已知菱形的一个内角为\(60^\circ\)，一条对角线长为 6cm，求菱形的边长（提示：分对角线为较短和较长两种情况讨论）。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.1 菱形的定义及其性质
第一章　特殊平行四边形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
性质：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：平行四边形是中心对称图形.
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形.
探索并掌握菱形的定义
测量
折叠
重合
平行四边形
一组邻边相等
菱形
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
想一想
菱形的对边平行且相等，
对角相等，对角线互相平分。
（2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形是轴对称图形
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形；
有两条对称轴；
两条对称轴互相垂直。
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边相等。
类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳.
边
角
对角线
对称性
四条边都相等
对边平行
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
既是中心对称图形又是轴对称图形
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角
线 AC 与 BD 相交于点O.
求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角
线 AC 与 BD 相交于点O.
求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是菱形,
（2）∵AB=AD,
∴ △ABD是等腰三角形.
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD,
∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
定理
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O, ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD= BD= =3（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴AC=2OA= （菱形的对角线互相平分）
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD 的长.
【选自教材P4页 随堂练习】
—— 达标检测 ——
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴BO =
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴BD 的长为 6 cm.
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的长.
【选自教材P4页 随堂练习】
—— 达标检测 ——
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
【选自教材P4页 习题1.1 第1题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
3.如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.
【选自教材P4页 习题1.1 第2题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
AO=OC，BO=DO（菱形的对角线互相平分）.
在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.
∴菱形 ABCD 的周长为 20.
4.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC.
【选自教材P4页 习题1.1 第3题】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理： AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
5.如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.图中有多少个等腰三角形和直角三角形？
【选自教材P5页 习题1.1 第4题】
有4个等腰三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.
有4个直角三角形，分别是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.
返回
1.
如图，在 ABCD中，∵AB＝AD，∴ ABCD是菱形(___________________________________).
(请在横线上填上依据)
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
返回
2.
C
[2025保定月考]如图，下列直线是该菱形的对称轴的是(　　)
A．l1和l4
B．l2和l4
C．l1和l3
D．全部都是
返回
3.
B
如图，菱形ABCD对角线的交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标为(　　)
A．(5，－2)
B．(2，－5)
C．(2，5)
D．(－2，－5)
返回
4.
8
在菱形ABCD中，AB＝2，则该菱形的周长是________.
返回
5.
10
如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为________.
6.
[2024福建中考] 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠BAF＝∠DAE，求证：BE＝DF.
返回
有一组邻边相等
具有平行四边形的所有性质
特殊性质
对角线
边
轴对称图形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑