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2.2.1 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
配方法是解一元二次方程的重要方法之一，它的核心思想是通过恒等变形，将一元二次方程转化为完全平方形式，再利用平方根的定义求解。对于二次项系数为 1 的一元二次方程，配方法的操作相对简便，是学习更复杂一元二次方程解法的基础。本节将详细介绍配方法的原理、步骤，并通过实例展示其具体应用。
一、配方法的原理
配方法的理论依据是完全平方公式：\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2\)。该公式表明，形如\(a^2\pm 2ab + b^2\)的多项式可以写成\((a\pm b)^2\)的完全平方形式。
对于一元二次方程\(x^2+bx + c = 0\)（二次项系数为 1），我们的目标是通过在方程两边添加适当的常数，将方程左边的二次三项式\(x^2+bx + c\)转化为\((x + m)^2\)的形式（其中\(m\)是常数），即：\(
x^2+bx + c=(x + m)^2 + n
\)
其中\(n\)是常数。通过展开\((x + m)^2=x^2+2mx + m^2\)，对比系数可得\(2m = b\)，即\(m=\frac{b}{2}\)，因此：\(
x^2+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2
\)
这就是配方法的关键变形 —— 在二次项和一次项组成的代数式中，通过添加一次项系数一半的平方，凑成完全平方形式。
二、配方法的步骤
用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程\(x^2+bx + c = 0\)，通常遵循以下步骤：
（一）移项
把常数项移到方程右边，使方程左边只含有二次项和一次项，即：\(
x^2+bx=-c
\)
（二）配方
在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)，使方程左边成为一个完全平方形式：\(
x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=-c+\left(\frac{b}{2}\right)^2
\)
此时方程左边可化为\(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\)，方程变为：\(
\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c
\)
（三）开方
如果方程右边是非负数（即\(\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c\geq0\)），则可以直接开平方，得到：\(
x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}
\)
（四）求解
解上述一元一次方程，得到原方程的两个解：\(
x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}
\)
三、实例解析
例 1：解方程\(x^2+6x + 5 = 0\)
解：按照配方法步骤进行求解：
移项：将常数项移到右边，得\(x^2+6x=-5\)；
配方：一次项系数为\(6\)，一半为\(3\)，平方为\(9\)，两边同时加\(9\)，得：\(
x^2+6x + 9=-5 + 9
\)
左边化为完全平方形式：\((x + 3)^2=4\)；
开方：\(x + 3=\pm\sqrt{4}=\pm2\)；
求解：\(x=-3\pm2\)，
即\(x_1=-3 + 2=-1\)，\(x_2=-3 - 2=-5\)。
例 2：解方程\(x^2-4x - 1 = 0\)
解：
移项：\(x^2-4x=1\)；
配方：一次项系数为\(-4\)，一半为\(-2\)，平方为\(4\)，两边加\(4\)，得：\(
x^2-4x + 4=1 + 4
\)
左边化为：\((x - 2)^2=5\)；
开方：\(x - 2=\pm\sqrt{5}\)；
求解：\(x=2\pm\sqrt{5}\)，
即\(x_1=2+\sqrt{5}\)，\(x_2=2-\sqrt{5}\)（\(\sqrt{5}\approx2.236\)，也可保留根号形式）。
例 3：解方程\(x^2+2x - 3 = 0\)
解：
移项：\(x^2+2x=3\)；
配方：一次项系数为\(2\)，一半为\(1\)，平方为\(1\)，两边加\(1\)，得：\(
x^2+2x + 1=3 + 1
\)
左边化为：\((x + 1)^2=4\)；
开方：\(x + 1=\pm2\)；
求解：\(x=-1\pm2\)，
即\(x_1=-1 + 2=1\)，\(x_2=-1 - 2=-3\)。
例 4：用配方法解决实际问题
一个长方形的长比宽多\(2\)米，面积为\(15\)平方米，求长方形的长和宽。
解：设长方形的宽为\(x\)米，则长为\((x + 2)\)米，
根据题意得\(x(x + 2)=15\)，
整理得\(x^2+2x - 15 = 0\)。
用配方法解方程：
移项：\(x^2+2x=15\)；
配方：\(x^2+2x + 1=15 + 1\)，即\((x + 1)^2=16\)；
开方：\(x + 1=\pm4\)；
求解：\(x=-1\pm4\)，
得到\(x_1=3\)，\(x_2=-5\)（宽度不能为负数，舍去）。
所以长方形的宽为\(3\)米，长为\(3 + 2=5\)米。
四、常见错误与注意事项
移项忘记变号：在移项过程中，常数项从左边移到右边时未改变符号，导致方程变形错误。例如，解方程\(x^2+5x + 6 = 0\)时，误写为\(x^2+5x=6\)，正确应为\(x^2+5x=-6\)。
配方时漏加常数：配方时只在方程左边添加一次项系数一半的平方，忘记在右边同时添加，破坏了方程的平衡性。例如，解方程\(x^2-6x=7\)时，左边加\(9\)化为\((x - 3)^2\)，右边未加\(9\)，错误写成\((x - 3)^2=7\)，正确应为\((x - 3)^2=16\)。
开方忽略正负号：开方时只取正根，忽略负根，导致漏解。例如，\((x + 2)^2=9\)，应得到\(x + 2=\pm3\)，若只取\(x + 2=3\)，则会漏掉\(x=-5\)这个解。
结果未化简：对于无理数解，未进行合并或化简，例如将\(x=2+\sqrt{4}\)保留为最终结果，而\(\sqrt{4}=2\)，应化简为\(x=4\)。
忽略实际意义：在解决实际问题时，未对解进行合理性检验，保留不符合实际情况的解（如负数长度、负数时间等）。
五、配方法的应用价值
解方程的基础方法：配方法是推导求根公式的基础，掌握配方法能帮助理解求根公式的由来。
培养代数变形能力：配方法需要灵活运用代数式的恒等变形，能提升对整式运算和公式的掌握程度。
解决最值问题：通过配方可将二次函数化为顶点式，进而求函数的最大值或最小值，在后续函数学习中具有重要作用。
处理非负数问题：完全平方形式具有非负性，配方法可用于解决与非负数相关的问题，例如证明代数式的值恒大于等于某个数。
六、课堂总结
配方法原理：基于完全平方公式，通过添加常数将二次三项式化为完全平方形式。
核心步骤：移项→配方（加一次项系数一半的平方）→开方→求解。
关键注意点：移项变号、两边同加常数、开方取正负、检验解的合理性。
适用范围：本节重点讲解二次项系数为 1 的一元二次方程，后续将扩展到二次项系数不为 1 的情况。
通过反复练习配方法，能逐步熟练掌握代数式的变形技巧，为后续学习更复杂的一元二次方程解法和二次函数奠定坚实基础。在练习过程中，应注重每一步的依据，培养严谨的数学思维。
七、课后作业
用配方法解下列方程：
（1）\(x^2+8x + 15 = 0\)；
（2）\(x^2-2x - 8 = 0\)；
（3）\(x^2+5x - 14 = 0\)；
（4）\(x^2-7x + 12 = 0\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(x^2-6x + 10\)的值最小？最小值是多少？
一个直角三角形的两条直角边的差为\(3\)厘米，斜边长为\(15\)厘米，求较短的直角边的长度。
证明：无论\(x\)取何实数，代数式\(x^2+4x + 5\)的值总大于\(0\)。
用配方法解方程\(x^2+3x - 1 = 0\)，并将结果精确到\(0.1\)。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如果一个数的平方等于 4，则这个数是____，
若一个数的平方等于 7，则这个数是_____.
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
3. 平方根的意义.
±2
两个平方根，互为相反数.
如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x = .
4.用字母表示因式分解的完全平方公式.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 = 5 2x2 + 3 = 5
解：开平方，得
解：2x2 + 3 = 5
移项，得 2x2 = 2
x2 = 1
x1 = 1
x2 = -1
x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102
你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
探究新知
解： x2 + 2x + 1 = 5
( x + 1)2 = 5
解： (x+6)2 + 72 = 102
(x+6)2 = 102 -72
(x+6)2 = 51
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
如何配方
x2 + 12x -15 = 0
移项，得 x2 + 12x = 15
两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62
即 ( x + 6 )2 = 51
两边开平方，得
解一元二次方程的基本思路是什么？
x2 + 12x -15 = 0
( x + 6 )2 = 51
解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式.
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
做一做
填上适当的数，使下列等式成立：
1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2
2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2
3. x2 + 8x +_____= (x +___)2
62
22
2
42
4
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
一次项系数一半的平方
对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.
两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
(x+4)2 = 25.
两边开平方，得 x + 4 = ±5，
即 x+4 = 5，或 x+4 = -5.
所以 x1 = 1，x2 = -9.
我们通过配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
x2 + 12x -15 = 0
( x + 6 )2 = 51
(x+4)2 = 25
x2 + 8x–9 = 0
思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
达标检测
【选自教材P37 随堂练习】
（1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8；
解下列方程：
（1）解: 移项，得 x2 -10x = -18．
两边都加52，得 x2-10x+52 = -18+52．
即 (x-5)2 = 7．
两边开平方，得 ．
达标检测
【选自教材P37 随堂练习】
（1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8；
解下列方程：
（2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72．
即 (x-7)2 = 57．
两边开平方，得
【选自教材P37 随堂练习】
（3）x2 + 3x = 1； （4）x2+2x+2 = 8x + 4.
解下列方程：
达标检测
（3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 ．
即 (x + )2 = ．
两边开平方，得
返回
C
1.
方程x2＝4的解是(　　)
A．x1＝x2＝2
B．x1＝x2＝－2
C．x1＝2，x2＝－2
D．x1＝4，x2＝－4
返回
2.
D
一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝4
B．x－6＝－4
C．x＋6＝16
D．x＋6＝－4
返回
3.
D
如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)
A．m＞3
B．m≥3
C．m＞－4
D．m≥－4
返回
4.
x－1＝±2
解方程：(x－1)2＝4.
解：直接开平方，得__________．
即____________，或____________．
解得x1＝________，x2＝________．
x－1＝2
x－1＝－2
3
－1
5.
解：移项，得2(x＋3)2＝18.
整理，得(x＋3)2＝9.
开平方，得x＋3＝±3.
解得x1＝0，x2＝－6.
(3)2(x＋3)2－18＝0.
返回
返回
6.
[教材P36做一做变式] 填空：
(1)x2＋8x＋________＝(x＋4)2；
(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；
16
36 6
返回
7.
D
用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　)
A．(x＋6)2＝28　
B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1　
D．(x－3)2＝1
返回
8.
D
[2024东营中考] 用配方法解一元二次方程x2－2x－
2 023＝0时，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(　　)
A．－2 024
B．2 024
C．－1
D．1
9.
解：移项，得x2－6x＝－5，
配方，得x2－6x＋9＝4，
即(x－3)2＝4，
∴x－3＝±2，
∴x1＝1，x2＝5.
[教材P37随堂练习变式] 用配方法解下列方程：
(1)x2－6x＋5＝0； (2)x2＋8x＋3＝5x＋7；
返回
(3)x2－x－1＝0.
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
用配方法解一元二次方程
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
配方
开平方
降次
n≥0
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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