资源简介

(共27张PPT)
2.2.2 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程
上一节我们学习了用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，其核心是通过配方将方程转化为完全平方形式。但在实际问题中，我们遇到的一元二次方程更多是二次项系数不为 1 的情况，例如\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)、\(3x^2 + 6x + 2 = 0\)等。本节将重点讲解如何通过转化，将二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为我们熟悉的形式，再用配方法求解，同时总结这类方程的求解步骤和注意事项。
一、转化的核心思路
对于二次项系数不为 1 的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)且\(a\neq1\)），配方法的第一步是将二次项系数化为 1。转化的依据是等式的基本性质：方程两边同时除以二次项系数\(a\)，方程的解不变。通过这一操作，方程可化为：\(
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\)
此时方程的二次项系数变为 1，接下来就可以按照上一节学习的配方法步骤（移项、配方、开方、求解）完成求解。
二、详细解题步骤
用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)且\(a\neq1\)），具体步骤如下：
（一）化二次项系数为 1
方程两边同时除以二次项系数\(a\)，得到：\(
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\)
（二）移项
把常数项移到方程右边，使方程左边只含有二次项和一次项：\(
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
\)
（三）配方
在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)，使方程左边成为完全平方形式：\(
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
\)
此时方程左边可化为\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\)，方程变为：\(
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}
\)
（四）开方
若方程右边是非负数（即\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \geq 0\)），则两边开平方得：\(
x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}
\)
（五）求解
解上述一元一次方程，得到原方程的两个解：\(
x = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}
\)
三、实例解析
例 1：解方程\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)
解：按照上述步骤求解：
化二次项系数为 1：方程两边同时除以 2，得：\(
x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0
\)
移项：将常数项移到右边，得：\(
x^2 - 2x = \frac{1}{2}
\)
配方：一次项系数为\(-2\)，一半为\(-1\)，平方为\(1\)，两边同时加 1，得：\(
x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1
\)
左边化为完全平方形式：\((x - 1)^2 = \frac{3}{2}\)；
开方：\(x - 1 = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)（化简二次根式）；
求解：\(x = 1 \pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)，
即\(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\)（\(\sqrt{6}\approx2.449\)，也可保留根号形式）。
例 2：解方程\(3x^2 + 6x + 2 = 0\)
解：
化二次项系数为 1：两边同时除以 3，得：\(
x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0
\)
移项：\(x^2 + 2x = -\frac{2}{3}\)；
配方：一次项系数为 2，一半为 1，平方为 1，两边加 1，得：\(
x^2 + 2x + 1 = -\frac{2}{3} + 1
\)
左边化为：\((x + 1)^2 = \frac{1}{3}\)；
开方：\(x + 1 = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)；
求解：\(x = -1 \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)，
即\(x_1 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(x_2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
例 3：解方程\(-2x^2 + 5x - 2 = 0\)
解：方程二次项系数为负数，可先化为正数（方便计算）：
化二次项系数为正数：两边同时除以\(-1\)，得\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)；
化二次项系数为 1：两边同时除以 2，得：\(
x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0
\)
移项：\(x^2 - \frac{5}{2}x = -1\)；
配方：一次项系数为\(-\frac{5}{2}\)，一半为\(-\frac{5}{4}\)，平方为\(\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}\)，两边加\(\frac{25}{16}\)，得：\(
x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}
\)
左边化为：\(\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)；
开方：\(x - \frac{5}{4} = \pm\frac{3}{4}\)；
求解：\(x = \frac{5}{4} \pm\frac{3}{4}\)，
即\(x_1 = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 2\)，\(x_2 = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)。
例 4：用配方法解决实际问题
某工厂计划用一块长\(20\)米的矩形铁皮制作一个无盖长方体水箱，方法是在铁皮的四个角各剪去一个边长为\(x\)米的正方形，然后把四边折起。若水箱的容积为\(48\)立方米，求剪去的正方形的边长\(x\)。
解：水箱的长为\((20 - 2x)\)米，宽为\((\frac{é }{è é è é 10 ± é é è é è ¤ ¤ è è }10 - 2x)\)米，高为\(x\)米，
根据容积公式 “容积 = 长 × 宽 × 高”，得：\(
(20 - 2x)(10 - 2x)x = 48
\)
展开并整理（假设铁皮宽为 10 米）：\(
(200 - 40x - 20x + 4x^2)x = 48 \\
4x^3 - 60x^2 + 200x - 48 = 0 \\
x^3 - 15x^2 + 50x - 12 = 0
\)
（注：实际题目应为二次方程，可能假设铁皮为正方形或修正数据，此处调整为合理二次方程）
正确题目应为：用长\(20\)米、宽\(10\)米的铁皮，折起后底面积为\(96\)平方米，求\(x\)：\(
(20 - 2x)(10 - 2x) = 96 \\
200 - 40x - 20x + 4x^2 = 96 \\
4x^2 - 60x + 104 = 0 \\
x^2 - 15x + 26 = 0
\)
用配方法解得：
二次项系数为 1，移项：\(x^2 - 15x = -26\)；
配方：\(x^2 - 15x + \left(\frac{15}{2}\right)^2 = -26 + \frac{225}{4}\)；
\(\left(x - \frac{15}{2}\right)^2 = \frac{121}{4}\)；
开方：\(x - \frac{15}{2} = \pm\frac{11}{2}\)；
解得\(x_1 = 13\)（舍去，因\(10 - 2x\)为负），\(x_2 = 2\)。
答：剪去的正方形边长为 2 米。
四、常见错误与注意事项
化系数时计算错误：除以二次项系数时，常数项或一次项系数漏除，例如解方程\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)时，误化为\(x^2 - 4x - \frac{1}{2} = 0\)，忽略一次项系数也需除以 2。
二次项系数为负数时未处理：直接对负系数方程配方，导致后续计算复杂，建议先将二次项系数化为正数（两边同乘\(-1\)），再进行下一步。
配方时系数计算错误：一次项系数除以 2 后平方计算错误，例如一次项系数为\(\frac{5}{2}\)时，一半为\(\frac{5}{4}\)，平方应为\(\frac{25}{16}\)，易误算为\(\frac{25}{4}\)。
开方后未化简根式：例如\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)未化简为\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)，导致结果不规范。
忽略解的合理性：在实际问题中，未检验解是否符合实际意义（如长度不能为负、边长不能超过原铁皮长度的一半等）。
五、与二次项系数为 1 的情况对比
步骤
二次项系数为 1
二次项系数不为 1
初始方程
\(x^2 + bx + c = 0\)
\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)且\(a\neq1\)）
第一步
直接移项
先除以\(a\)化为\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
配方依据
一次项系数一半的平方\(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)
一次项系数一半的平方\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)
计算复杂度
较低
较高（涉及分数运算）
通过对比可见，二次项系数不为 1 的方程求解核心是多了 “化系数为 1” 的步骤，后续步骤与系数为 1 的情况一致，但需注意分数运算的准确性。
六、课堂总结
核心转化：通过方程两边同除以二次项系数，将二次项系数不为 1 的方程转化为系数为 1 的方程，再用已有方法求解。
完整步骤：化系数为 1→移项→配方→开方→求解→检验（实际问题）。
关键技巧：
二次项系数为负数时，先化为正数简化计算；
分数运算时通分、平方需仔细，避免计算错误；
开方后根式需化简，结果保留最简形式。
能力要求：提升代数式变形能力和分数运算能力，理解 “转化” 思想在数学中的应用（将新问题转化为旧问题）。
掌握二次项系数不为 1 的一元二次方程的配方法，能更全面地解决各类一元二次方程问题，为后续学习求根公式和因式分解法奠定基础。在练习中应注重步骤的规范性和计算的准确性，通过多题训练熟练掌握转化技巧。
七、课后作业
用配方法解下列方程：
（1）\(2x^2 - 8x + 5 = 0\)；
（2）\(3x^2 + 6x - 1 = 0\)；
（3）\(-x^2 + 3x + 1 = 0\)；
（4）\(4x^2 - 12x + 9 = 0\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(2x^2 - 4x + 5\)的值最小？最小值是多少？
一个长方形的长是宽的 2 倍，面积为\(72\)平方厘米，求长方形的长和宽（用配方法解）。
证明：无论\(x\)取何实数，代数式\(2x^2 - 6x + 5\)的值总大于 0。
用配方法解方程\(2x^2 + 5x - 3 = 0\)，并验证解的正确性。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤:
例如， x2 - 6x–40 = 0
移项，得 x2 - 6x = 40
方程两边都加上 32 （一次项系数一半的平方），得
x2 - 6x + 32 = 40 + 32
即 (x-3)2 = 49
开平方，得 x - 3 = ±7
即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7
所以 x1 = 10，x2 = -4
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+________= (x +______)2
抢答！
12
1
2. x2-4x+________ = (x -______)2
22
2
3. x2+________+36 = (x +______)2
12x
6
4. x2 + 10x +________= (x +______)2
52
5
5. x2-x+________= (x-______)2
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别：
x2 + 6x + 8 = 0
3x2 + 18x + 24 = 0
如果一元二次方程的系数不是 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？
在方程的两边同时除以二次项系数
例2 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？
做一做
解：根据题意得 15t -5t2 = 10
方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2
配方，得
两边开平方，得
请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？
做一做
t = 1 时，小球向上运动，
t = 2 时，小球向下运动。
达标检测
【选自教材P39 随堂练习】
（1）3x2 -9x + 2 = 0；
解下列方程：
解：两边同时除以 3，得
配方，得
移项，得
两边开平方，得
【选自教材P39 随堂练习】
（2）2x2 + 6 = 7x；
解下列方程：
解：两边同时除以 2，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
（3）4x2 -8x - 3 = 0.
【选自教材P39 随堂练习】
解下列方程：
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（1）6x2 - 7x + 1= 0；
解：两边同时除以 6，得
配方，得
移项，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（2）5x2 –18 = 9x ；
解：两边同时除以 5，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（3）4x2 –3x = 52 ；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（4）5x2 = 4–2x .
解：两边同时除以 5，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
3. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，
高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林
里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数
有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
【选自教材P40 习题2.4 第2题】
解: 设共有猴子 x 只．
得 x1＝16，x2＝48．
所以，共有猴 16 只或 48 只．
如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？
【选自教材P40 习题2.4 第3题】
解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
(3t＋2t－16)2 ＝ 102－62．
所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
点击播放
返回
C
1.
用配方法解方程2x2－x－6＝0时，配方的过程如下，开始出现错误的一步是(　　)
返回
2.
B
[2025济宁模拟] 将一元二次方程3x2＋6x＋2＝0配方后，可化为(　　)
A．3(x＋1)2＝5
B．3(x＋1)2＝1
C．3(x－1)2＝5
D．3(x－1)2＝1
返回
3.
2
[教材P38例2变式] 用配方法解一元二次方程2x2－5x＋2＝0.
解：两边同除以2，得x2－________＋1＝0.
返回
4.
0
若一元二次方程4x2＋12x－27＝0的两根分别为a，b，且a>b，则3a＋b的值为________．
5.
用配方法解方程：
(2)－2x2－5x＋20＝0；
(4)2x(x－2)－5(x－2)＝0.
返回
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
如果一元二次方程的系数不是 1 ，要先在方程的两边同时除以二次项系数，然后再进行配方。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑