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2.3.1 公式法
公式法是解一元二次方程的通用方法，它通过配方法推导得出求根公式，适用于所有一元二次方程，尤其当方程用配方法或因式分解法求解较复杂时，公式法能更高效地得出结果。本节将详细推导一元二次方程的求根公式，讲解公式法的使用步骤、判别式的作用，并通过实例展示公式法的具体应用。
一、求根公式的推导
我们以一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)）为基础，通过配方法推导求根公式：
化二次项系数为 1：方程两边同时除以\(a\)，得：\(
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\)
移项：将常数项移到方程右边：\(
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
\)
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)：\(
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
\)
左边化为完全平方形式：\(
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\)
开方：当\(b^2 - 4ac \geq 0\)时，方程两边开平方：\(
x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\)
求解：移项得到一元二次方程的求根公式：\(
x = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\)
这一公式称为一元二次方程的求根公式，其中\(b^2 - 4ac\)叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母\(\Delta\)（读作 “德尔塔”）表示，即\(\Delta = b^2 - 4ac\)。当\(\Delta \geq 0\)时，方程有实数根；当\(\Delta < 0\)时，方程无实数根。
二、公式法的解题步骤
用公式法解一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)）的步骤如下：
（一）化为一般形式
将方程整理为一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)，明确二次项系数\(a\)、一次项系数\(b\)和常数项\(c\)的值。
（二）计算判别式
计算判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)，判断方程是否有实数根：
若\(\Delta > 0\)，方程有两个不相等的实数根；
若\(\Delta = 0\)，方程有两个相等的实数根；
若\(\Delta < 0\)，方程无实数根，无需继续求解。
（三）代入求根公式
当\(\Delta \geq 0\)时，将\(a\)、\(b\)、\(c\)的值代入求根公式：\(
x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a}
\)
计算得出方程的两个根。
（四）化简结果
将结果化为最简形式，对于无理数根，需化简二次根式；对于分数根，需化为最简分数。
三、实例解析
例 1：解方程\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)
解：
化为一般形式：\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)，其中\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = -1\)；
计算判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac=(-4)^2 - 4\times2\times(-1)=16 + 8 = 24 > 0\)，方程有两个不相等的实数根；
代入求根公式：\(
x = \frac{-(-4) \pm\sqrt{24}}{2\times2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm\sqrt{6}}{2}
\)
化简结果：\(x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}\)，\(x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}\)。
例 2：解方程\(3x^2 + 6x + 3 = 0\)
解：
化为一般形式：\(3x^2 + 6x + 3 = 0\)，其中\(a = 3\)，\(b = 6\)，\(c = 3\)；
计算判别式：\(\Delta = 6^2 - 4\times3\times3 = 36 - 36 = 0\)，方程有两个相等的实数根；
代入求根公式：\(
x = \frac{-6 \pm\sqrt{0}}{2\times3} = \frac{-6}{6} = -1
\)
结果：\(x_1 = x_2 = -1\)。
例 3：解方程\(-x^2 + 3x + 1 = 0\)
解：
化为一般形式：先将二次项系数化为正数，方程两边同乘\(-1\)得\(x^2 - 3x - 1 = 0\)，其中\(a = 1\)，\(b = -3\)，\(c = -1\)；
计算判别式：\(\Delta = (-3)^2 - 4\times1\times(-1)=9 + 4 = 13 > 0\)，方程有两个不相等的实数根；
代入求根公式：\(
x = \frac{-(-3) \pm\sqrt{13}}{2\times1} = \frac{3 \pm\sqrt{13}}{2}
\)
结果：\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\)，\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\)。
例 4：判断方程\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)是否有实数根
解：
化为一般形式：\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)，其中\(a = 2\)，\(b = -3\)，\(c = 2\)；
计算判别式：\(\Delta = (-3)^2 - 4\times2\times2 = 9 - 16 = -7 < 0\)；
结论：方程无实数根。
例 5：用公式法解决实际问题
一个直角三角形的斜边长为\(10\)厘米，两条直角边的差为\(2\)厘米，求较短的直角边的长度。
解：设较短的直角边为\(x\)厘米，则较长的直角边为\((x + 2)\)厘米，
根据勾股定理得：\(x^2 + (x + 2)^2 = 10^2\)，
整理得：\(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100\)，
即\(2x^2 + 4x - 96 = 0\)，化简为\(x^2 + 2x - 48 = 0\)。
用公式法解方程：
其中\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = -48\)；
\(\Delta = 2^2 - 4\times1\times(-48)=4 + 192 = 196 > 0\)；
\(x = \frac{-2 \pm\sqrt{196}}{2\times1} = \frac{-2 \pm14}{2}\)；
解得\(x_1 = 6\)，\(x_2 = -8\)（长度不能为负，舍去）。
答：较短的直角边的长度为 6 厘米。
四、判别式的应用
判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)不仅能判断方程是否有实数根，还能直接反映根的情况，其应用主要包括：
（一）判断根的个数
\(\Delta > 0\)：方程有两个不相等的实数根；
\(\Delta = 0\)：方程有两个相等的实数根；
\(\Delta < 0\)：方程无实数根。
（二）确定字母系数的取值范围
例 6：当\(k\)为何值时，方程\(kx^2 - 6x + 9 = 0\)有两个相等的实数根？
解：方程为一元二次方程，需满足\(k\neq0\)，
且判别式\(\Delta = (-6)^2 - 4\times k\times9 = 36 - 36k = 0\)，
解得\(36k = 36\)，即\(k = 1\)。
答：当\(k = 1\)时，方程有两个相等的实数根。
（三）验证方程根的情况
在解题前通过判别式预判根的情况，可避免无效计算（如当\(\Delta < 0\)时无需代入求根公式）。
五、常见错误与注意事项
系数识别错误：未将方程化为一般形式就直接确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，例如方程\(2x^2 = 5x - 1\)未整理为\(2x^2 - 5x + 1 = 0\)，误取\(c = 0\)。
符号错误：忽略系数的符号，例如方程\(x^2 - 3x - 2 = 0\)中\(b = -3\)，代入公式时误写为\(-b = -3\)。
判别式计算错误：计算\(\Delta = b^2 - 4ac\)时漏乘系数或符号错误，例如\(a = -1\)，\(b = 2\)，\(c = 3\)时，误算为\(\Delta = 2^2 - 4\times(-1)\times3 = 4 - 12 = -8\)（正确结果应为\(4 + 12 = 16\)）。
忽视二次项系数不为 0：在含字母系数的方程中，未强调\(a\neq0\)，例如例 6 中若忽略\(k\neq0\)，会导致结果错误。
根式化简不彻底：求根公式结果中的二次根式未化简，例如\(\frac{-2 \pm\sqrt{8}}{2}\)未化简为\(-1 \pm\sqrt{2}\)。
六、公式法与配方法的对比
方法
适用范围
优点
缺点
配方法
所有一元二次方程，尤其系数较简单时
直观体现转化思想，可用于推导公式
步骤繁琐，系数复杂时计算量大
公式法
所有一元二次方程，尤其系数复杂时
步骤固定，直接代入公式即可
需记忆公式，判别式计算易出错
公式法本质上是配方法的简化形式，它将配方法的重复步骤转化为直接代入公式，提高了求解效率，是解一元二次方程的首选方法之一。
七、课堂总结
求根公式：对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)），当\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)时，根为\(x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)。
判别式作用：\(\Delta > 0\) 两个不相等实根；\(\Delta = 0\) 两个相等实根；\(\Delta < 0\) 无实根。
解题步骤：化一般形式→算判别式→代公式求解→化简结果。
关键技巧：准确识别系数符号、细心计算判别式、彻底化简根式结果。
公式法是解一元二次方程的通法，掌握公式的推导过程能加深对其本质的理解，而熟练运用公式和判别式则能高效解决各类一元二次方程问题，为后续学习二次函数等知识奠定基础。
八、课后作业
用公式法解下列方程：
（1）\(x^2 - 5x + 6 = 0\)；
（2）\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)；
（3）\(3x^2 + 4x - 4 = 0\)；
（4）\(x^2 - 2x + 2 = 0\)。
当\(m\)为何值时，方程\((m - 1)x^2 + 2mx + m + 3 = 0\)有两个不相等的实数根？
已知方程\(x^2 + px + q = 0\)的两个根为\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -4\)，求\(p\)和\(q\)的值。
一个长方形的周长为\(24\)厘米，面积为\(32\)平方厘米，求长方形的长和宽（用公式法解）。
证明：无论\(k\)取何值，方程\(x^2 - (k + 1)x + k = 0\)总有实数根。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1 公式法
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
回顾配方法
用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.
我是这样解的？
解：方程两边都除以 3，得
x2 - 2x - 3 = 0
移项，得
x2 - 2x = 3
配方，得
x2 - 2x + 1 = 3 + 1
(x - 1)2 = 4
两边开平方，得
x - 1= ±2
x1= 3，x2= -1
你能说一说，用配方法解方程的步骤吗？
化：二次项系数化为 1 ；
移：将常数项移到等号右边；
配：配方，使等号左边成为完全平方式；
开：等号两边开平方；
解：求出方程的解。
用配方法可以解所有一元二次方程吗？
每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？
用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0）
方程两边都除以 a，得
配方，得
移项，得
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时，
是一个非负数，此时两边开平方，得
求根公式
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
例 解方程 ：
（1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（1）a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 = -2.
例 解方程 ：
（1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0，
∴
即
议一议
（1）你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
解：（1）a = 1，b = -2，c = 3.
∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0，
方程没有实数根.
议一议
（2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当 b2 -4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
根的判别式是：
⊿ = b2 -4ac
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理
⊿ = b2 -4ac > 0
两个不相等的实数根
⊿>0
两个不相等的实数根
⊿ = b2 -4ac = 0
两个相等的实数根
⊿=0
两个相等的实数根
⊿ = b2 -4ac < 0
没有实数根
⊿<0
没有实数根
达标检测
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 + 5 = 7x ；
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
（1）将方程化成一般形式：2x2 -7x + 5 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0
方程有两个不相等的实数根.
达标检测
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 + 5 = 7x ；
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
（2）将方程化成一般形式：4x2 -4x + 3 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0
方程没有实数根.
达标检测
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 + 5 = 7x ；
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
（3）将方程化成一般形式：4y2 -2.4y + 0.36 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-2.4)2 -4×4×0.36 = 0
方程有两个相等的实数根.
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（1）a = 2，b = -9，c = 8.
∵ b2 - 4ac = (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0，
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（2）a = 9，b = 6，c = 1.
∵ b2 - 4ac = 62 - 4×9×1= 0 = 0，
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（3）将方程化为一般形式，得 16x2+8x+3=0
a = 16，b = 8，c = -3.
∵ b2 - 4ac = 82 - 4×16×(-3)= 256 > 0，
【选自教材P43 随堂练习】
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（4）将方程化为一般形式，得 x2-3x+5=0
a = 1，b = -3，c = 5.
∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
【选自教材P43 随堂练习】
一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
解: 设中间边长为 x．
x2＋(x-2)2 ＝ (x＋2)2．
解得 x1＝0(舍去)，x2＝8．
所以，这个三角形的三条边长为6，8，10．
【选自教材P43 习题2.5】
（1）5x2 + x = 7 ；
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）25x2 +20x + 4 = 0 ；
（3） ( x + 1 ) ( 4x + 1 ) = 2x .
解: （1）两个不相等的实数根;
（2）两个相等的实数根;
（3）没有实数根．
【选自教材P43 习题2.5】
（1）2x2 -4x -1 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）5x + 2 = 3x2 ；
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（1）a = 2，b = -4，c = -1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×2×(-1) = 24 > 0，
【选自教材P43 习题2.5】
（1）2x2 -4x -1 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）5x + 2 = 3x2 ；
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（2）将方程化为一般形式，得 -3x2+5x+2=0
a = -3，b = 5，c = 2.
∵ b2 - 4ac = 52 - 4×(-3) ×2= 49 > 0，
【选自教材P43 习题2.5】
（1）2x2 -4x -1 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）5x + 2 = 3x2 ；
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（3）将方程化为一般形式，得 3x2-11x+9=0
a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×3×9= 13 > 0，
【选自教材P43 习题2.5】
（1）2x2 -4x -1 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）5x + 2 = 3x2 ；
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（4）将方程化为一般形式，得 0.2x2- x+5=0
两边同时乘以10，2x2-15x+50=0
a = 2，b = -15，c = 50.
∵ b2 - 4ac = (-15)2 - 4×2×50= -175 < 0，
∴ 方程没有实数根.
【选自教材P43 习题2.5】
《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”
大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对
角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).
∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
长方体木箱的高是 8 dm，长比宽多 5 dm，体积是 528 dm3，求这个木箱的长和宽.
【选自教材P43 习题2.5】
解: 设这个木箱的宽是 x dm．
x(5＋x)×8＝528，解得 x1＝－11 (舍去)，x2＝6．
所以，这个木箱的宽是 6 dm，长是 11 dm．
返回
C
1.
在用求根公式解方程3x－1－2x2＝0时，a，b，c的值分别是(　　)
A．3，－1，－2
B．－2，－1，3
C．－2，3，－1
D．－1，3，－2
返回
2.
D
3.
公式法
(1)嘉嘉解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误；
②
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
返回
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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