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2.3.2 用一元二次方程解决面积问题
面积问题是一元二次方程在实际生活中最常见的应用之一，无论是几何图形的面积计算、场地规划还是物体裁剪，都需要通过建立方程模型来求解。这类问题的核心是根据图形的面积公式，结合题目中的数量关系列出一元二次方程，再通过公式法、配方法等解法得出结果，并检验解的合理性。本节将系统讲解用一元二次方程解决面积问题的步骤、常见题型及解题技巧。
一、解决面积问题的基本步骤
用一元二次方程解决面积问题通常遵循以下步骤：
（一）分析图形特征
明确题目中涉及的几何图形（如矩形、三角形、正方形、梯形等），熟悉其面积公式。例如：
矩形面积 = 长 × 宽；
正方形面积 = 边长 × 边长；
三角形面积 = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高；
梯形面积 = \(\frac{1}{2}\)×（上底 + 下底）× 高。
（二）设定未知数
根据图形特征和题目要求，设出合适的未知数。通常设与面积直接相关的边长按为未知数（如矩形的长或宽、正方形的边长等），设未知数时需明确单位。
（三）表示相关量
用含未知数的代数式表示图形中其他相关的边长、高或底等，确保各量之间的关系符合题目描述（如 “长比宽多 3 米”“边长增加 x 厘米后” 等）。
（四）建立等量关系
根据图形面积的变化情况（如 “面积为某个值”“面积增加 / 减少了多少”），结合面积公式列出一元二次方程。
（五）解方程并检验
通过公式法、配方法等求解方程，得到未知数的值后，需检验解是否符合实际意义（如边长不能为负、长度不能超过原图形的限制等），最终确定合理的解。
二、常见面积问题题型解析
（一）矩形面积问题
矩形是面积问题中最常见的图形，其长和宽的关系是建立方程的关键。
例 1：
一个矩形的周长为 30 米，面积为 54 平方米，求矩形的长和宽。
解：设矩形的宽为\(x\)米，因为周长为 30 米，所以长为\((15 - x)\)米（矩形周长 = 2×（长 + 宽），故长 + 宽 = 15 米）。
根据矩形面积公式，得：\(
x(15 - x) = 54
\)
整理方程：\(
x^2 - 15x + 54 = 0
\)
用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -15\)，\(c = 54\)：\(
\Delta = (-15)^2 - 4 1 54 = 225 - 216 = 9 > 0
\)
\(
x = \frac{15 \pm\sqrt{9}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2}
\)
解得\(x_1 = 9\)，\(x_2 = 6\)。
当宽为 6 米时，长为 15 - 6 = 9 米；当宽为 9 米时，长为 15 - 9 = 6 米（通常长大于宽，故取长 9 米，宽 6 米）。
答：矩形的长为 9 米，宽为 6 米。
例 2：
如图 1，一块长方形铁皮的长为 20 厘米，宽为 15 厘米，从四个角各剪去一个边长为\(x\)厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为 126 平方厘米，求剪去的正方形的边长。
解：折成的长方体盒子的长为\((20 - 2x)\)厘米，宽为\((15 - 2x)\)厘米，底面积为长 × 宽，得：\(
(20 - 2x)(15 - 2x) = 126
\)
展开并整理：\(
300 - 40x - 30x + 4x^2 = 126 \\
4x^2 - 70x + 174 = 0 \\
2x^2 - 35x + 87 = 0
\)
用公式法解方程，其中\(a = 2\)，\(b = -35\)，\(c = 87\)：\(
\Delta = (-35)^2 - 4 2 87 = 1225 - 696 = 529 > 0
\)
\(
x = \frac{35 \pm\sqrt{529}}{4} = \frac{35 \pm 23}{4}
\)
解得\(x_1 = \frac{35 + 23}{4} = 14.5\)（舍去，因\(15 - 2x = 15 - 29 = -14\)为负数），\(x_2 = \frac{35 - 23}{4} = 3\)。
答：剪去的正方形的边长为 3 厘米。
（二）三角形面积问题
三角形面积问题通常涉及底和高的关系，需注意高与底的对应性。
例 3：
一个直角三角形的斜边长为 13 厘米，两条直角边的和为 17 厘米，求这个直角三角形的面积。
解：设一条直角边为\(x\)厘米，则另一条直角边为\((17 - x)\)厘米，根据勾股定理：\(
x^2 + (17 - x)^2 = 13^2
\)
展开并整理：\(
x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169 \\
2x^2 - 34x + 120 = 0 \\
x^2 - 17x + 60 = 0
\)
用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -17\)，\(c = 60\)：\(
\Delta = (-17)^2 - 4 1 60 = 289 - 240 = 49 > 0
\)
\(
x = \frac{17 \pm 7}{2}
\)
解得\(x_1 = 12\)，\(x_2 = 5\)。
两条直角边分别为 12 厘米和 5 厘米，面积为\(\frac{1}{2} 12 5 = 30\)平方厘米。
答：这个直角三角形的面积为 30 平方厘米。
（三）正方形与梯形面积问题
正方形面积问题围绕边长的变化展开，梯形则需关注上底、下底和高的关系。
例 4：
一个正方形的边长增加 3 厘米后，面积增加了 39 平方厘米，求原正方形的边长。
解：设原正方形的边长为\(x\)厘米，边长增加后为\((x + 3)\)厘米，面积增加量为新面积 - 原面积，得：\(
(x + 3)^2 - x^2 = 39
\)
展开并整理：\(
x^2 + 6x + 9 - x^2 = 39 \\
6x + 9 = 39 \\
6x = 30 \\
x = 5
\)
（本题方程化简后为一元一次方程，体现了面积问题中方程形式的多样性）
答：原正方形的边长为 5 厘米。
例 5：
一个梯形的下底比上底多 2 厘米，高为 5 厘米，面积为 40 平方厘米，求梯形的上底和下底的长度。
解：设梯形的上底为\(x\)厘米，则下底为\((x + 2)\)厘米，根据梯形面积公式：\(
\frac{1}{2}(x + x + 2) 5 = 40
\)
整理：\(
\frac{1}{2}(2x + 2) 5 = 40 \\
( x + 1 ) 5 = 40 \\
5x + 5 = 40 \\
5x = 35 \\
x = 7
\)
上底为 7 厘米，下底为 7 + 2 = 9 厘米。
答：梯形的上底为 7 厘米，下底为 9 厘米。
（四）组合图形面积问题
组合图形面积问题需要将图形分解为基本图形，利用面积和或差建立方程。
例 6：
如图 2，在长为 10 米、宽为 8 米的矩形场地中，修建两条宽度均为\(x\)米的互相垂直的小路，剩余部分种植草坪，草坪面积为 72 平方米，求小路的宽度。
解：将小路平移后，草坪可看作一个长为\((10 - x)\)米、宽为\((8 - x)\)米的矩形，面积为：\(
(10 - x)(8 - x) = 72
\)
展开并整理：\(
80 - 10x - 8x + x^2 = 72 \\
x^2 - 18x + 8 = 0
\)
用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -18\)，\(c = 8\)：\(
\Delta = (-18)^2 - 4 1 8 = 324 - 32 = 292 \\
x = \frac{18 \pm\sqrt{292}}{2} = \frac{18 \pm 2\sqrt{73}}{2} = 9 \pm\sqrt{73}
\)
\(\sqrt{73} \approx 8.544\)，故\(x_1 \approx 9 + 8.544 = 17.544\)（舍去，超过场地宽度），\(x_2 \approx 9 - 8.544 = 0.456\)米（约 0.5 米）。
答：小路的宽度约为 0.5 米。
三、常见错误与注意事项
图形分解错误：在组合图形问题中，未能正确分解图形或平移转化，导致面积关系表达错误，例如例 6 中未将小路平移，错误计算为 “矩形面积 - 两条小路面积 = 草坪面积”（忽略小路重叠部分的面积重复减去）。
单位不统一：题目中涉及不同单位时未统一单位，例如将 “米” 和 “厘米” 混用，导致计算结果错误。
边长取值不合理：解出未知数后未检验是否符合实际，例如例 2 中保留边长为 14.5 厘米的解，忽略了折成的盒子边长不能为负的实际情况。
面积公式记错：混淆不同图形的面积公式，例如将梯形面积公式误写为 “上底 + 下底 × 高 ÷2”，漏掉括号导致计算错误。
等量关系建立错误：未能准确理解题目中 “面积增加”“面积减少” 或 “面积相等” 的含义，例如例 4 中误将 “面积增加 39 平方厘米” 写成 “原面积 = 新面积 + 39”。
四、解题技巧总结
画图辅助分析：对于复杂图形，通过画图直观展示各部分关系，标注已知量和未知量，帮助建立等量关系。
巧用平移转化：在涉及小路、空缺部分的组合图形中，通过平移将不规则图形转化为规则图形（如例 6 中将小路平移后草坪为矩形），简化面积计算。
优先设关键量为未知数：设与面积直接相关的核心量为未知数（如矩形的宽、正方形的边长），减少代数式的复杂度。
检验解的合理性：解出结果后，务必代入实际情境检验，排除负数、超过原图形尺寸等不合理的解。
灵活处理方程形式：面积问题列出的方程可能化简后为一元一次方程（如例 4），需根据实际情况选择解法，不必局限于一元二次方程的解法。
五、课堂总结
核心思路：根据图形面积公式，结合数量关系建立一元二次方程，求解后检验合理性。
关键步骤：分析图形→设未知数→表示相关量→列方程→解方程→检验。
常见题型：矩形面积（含折叠问题）、三角形面积、正方形面积、梯形面积及组合图形面积。
易错点：图形分解错误、单位不统一、解的合理性检验缺失、面积公式记错。
用一元二次方程解决面积问题是数学建模思想的具体应用，通过将实际问题转化为数学方程，体现了 “数” 与 “形” 的结合。掌握这类问题的解法，不仅能提高数学应用能力，还能培养分析问题和解决问题的逻辑思维。
六、课后作业
一个矩形的长比宽多 4 厘米，面积为 60 平方厘米，求矩形的长和宽。
如图 3，在边长为 10 厘米的正方形纸板上，剪去一个长为\(x\)厘米、宽为 2 厘米的矩形，剩余部分的面积为 80 平方厘米，求\(x\)的值。
一个直角三角形的面积为 24 平方厘米，斜边长为 10 厘米，求两条直角边的长度。
一块梯形菜地的上底为 10 米，下底为 15 米，高为 8 米，在菜地中间挖一个边长为\(x\)米的正方形水池，剩余种菜面积为 90 平方米，求水池的边长。
如图 4，用长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 米，菜园面积为 100 平方米，求矩形菜园的长和宽。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.2 用一元二次方程解决面积问题
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？
一元二次方程：含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式.
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
2. 怎样用配方法解一元二次方程？
用配方法解方程的步骤:
化：二次项系数化为 1 ；
移：将常数项移到等号右边；
配：配方，使等号左边成为完全平方式；
开：等号两边开平方；
解：求出方程的解。
用配方法解方程：3x2-6x+1 = 0.
方程两边都除以 3，得
配方，得
两边开平方，得
3. 怎样用公式法解一元二次方程？
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
2x2 -11x + 8 = 0；
用公式法解方程：
解：（1）a = 2，b = -11，c = 8.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×2×8= 57 > 0，
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？
方案1
方案2
方案3
方案4
方案5
如何设未知数？怎样列方程？
解：设小路的宽为x m，由题意得：
(16-2x)(12-2x) =16×12×
整理，得：x2-14x+24 = 0
配方，得：x2-14x+72-72+24 = 0
(x-7)2 = 25
开方，得：x1= 2，x2=12（舍）
答：小路的宽为 2 m.
方案6
如何设未知数？怎样列方程？
解：设扇形的半径为x m，由题意得：
πx2 = 16×12×
πx2 = 96
x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍）
方案7
如何设未知数？怎样列方程？
解：设花园的宽为x m，由题意得：
16x + 12x - x2 = 16×12×
化为一般形式，得 x2 - 28x + 96 = 0
解得 x1＝24（舍去），x2＝4．
所以花园的宽为 4 m．
达标检测
【选自教材P44 习题2.6】
在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？
你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边？
√
【选自教材P44 习题2.6】
在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？
解:设金色纸边的宽度是 x cm．
解得x1＝－70(舍去)，x2＝5
所以，金色纸边的宽度是 5cm．
【选自教材P45 习题2.6】
某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.
（1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？
（2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？
x
x
40-2x
解: （1）设鸡场的宽为x m．由题意，得
40 - 2x > 0，
40 - 2x ≤ 25，
∴ 7.5 ≤ x ＜ 20． x(40－2x)＝180，
解得 x1＝10＋ ，x2＝10－ (舍去)．
即鸡场宽为 ( 10＋ ) m 时，鸡场面积达到 180 m2．
【选自教材P45 习题2.6】
某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.
（1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？
（2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？
x
x
40-2x
x(40－2x)＝180，
解得 x1＝x2＝ 10．
即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m2．
【选自教材P45 习题2.6】
某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.
（1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？
（2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？
x
x
40-2x
（2）x(40－2x) ＝ 250，方程无解．
即鸡场面积不能达到 250 m2．
如图，圆柱的高为 15 cm，全面积（也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
【选自教材P45 习题2.6】
解: 设圆柱底面半径为 r cm．
2πr2＋15×2πr ＝ 200π
解得 r1＝－20(舍去)，r2＝5．
所以，圆柱底面半径为 5 cm．
如图，由点 P (14, 1)，A(a, 0)，B(0, a) (0 < a < 14) 确定的△PAB 的面积为 18，求 a 的值. 如果 a > 14 呢？
解: 0＜a＜14 时,设BP 所在直线的表达式为 y＝mx＋b．
将 (0, a), (14, 1)代入, 得
∴ BP 延长线与 x 轴交点坐标为
∵ S△PAB = 18，
当 a > 14 时，可求得 a 的值为 .
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1.
A
为了改善居民生活环境，云中小区准备对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是(　　)
A．x(x－6)＝720　
B．x(x＋6)＝720
C．x(x－6)＝360　
D．x(x＋6)＝360
2.
“北看红旗渠，南看长岗坡．”长岗坡渡槽凌空飞架，宛如天上银河、巨龙游动，气势雄伟壮观，景色如画．长岗坡渡槽是罗定市最大的水利工程——金银河水利枢纽工程的主体设施，如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为60 cm，宽为50 cm的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图．
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C
若整幅挂图的面积是4 200 cm2，设风景照四周所镶边的宽为x cm，则所列方程正确的是(　　)
A．(60＋x)(50＋x)＝4 200
B．(60－2x)(50－2x)＝4 200
C．(60＋2x)(50＋2x)＝4 200
D．(60－x)(50－x)＝4 200
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3.
40x＋60x－x2＝650
[2025长沙月考] 在长为60米，宽为40米的矩形草坪中修如图所示的两条宽度相同的小路，小路的面积为650平方米，求小路的宽．设小路的宽为x米，可列方程为____________________.
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4.
2
如图，某工厂师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且大正方形的边长比小正方形的边长大1 m，则裁剪后小正方形的边长为________m.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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