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2.4 用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法是解一元二次方程的重要方法之一，它通过将方程化为两个一次因式的乘积等于零的形式，利用 “若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零” 的原理求解。这种方法操作简便、效率高，尤其适用于能快速分解因式的一元二次方程。本节将详细讲解因式分解法的原理、常用方法及解题步骤，并通过实例展示其具体应用。
一、因式分解法的基本原理
因式分解法的理论依据是乘法的零因子性质：对于两个实数\(a\)和\(b\)，若\(a \times b = 0\)，则必有\(a = 0\)或\(b = 0\)（或两者同时为零）。
对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），若能通过因式分解将其化为：\(
(x - m)(x - n) = 0
\)
（或\((kx + p)(lx + q) = 0\)，其中\(k\)、\(l\)为常数），则根据零因子性质可得：\(
x - m = 0 \quad \text{ } \quad x - n = 0
\)
从而得到方程的解为\(x_1 = m\)，\(x_2 = n\)。
因式分解法的核心是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，实现 “降次” 求解，体现了数学中 “转化” 的思想。
二、因式分解法的解题步骤
用因式分解法解一元二次方程的步骤如下：
（一）化为一般形式
将方程整理为一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)，使方程右边为零，左边为关于\(x\)的二次三项式。
（二）因式分解
将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积形式，常用的因式分解方法包括：
提公因式法；
平方差公式法（\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)）；
完全平方公式法（\(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)）；
十字相乘法（适用于二次项系数为 1 或可分解的二次三项式）。
（三）转化为一次方程
根据零因子性质，将原方程转化为两个一元一次方程：\(
\text{ }_1 = 0 \quad \text{ } \quad \text{ }_2 = 0
\)
（四）求解一次方程
分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个解。
（五）检验（可选）
将解代入原方程检验，确保结果正确（对于简单方程可省略）。
三、常用因式分解方法及实例解析
（一）提公因式法
当方程左边的多项式各项有公因式时，可先提取公因式进行分解。
例 1：解方程\(x^2 - 3x = 0\)
解：
化为一般形式：\(x^2 - 3x = 0\)（右边已为零）；
因式分解：提取公因式\(x\)，得\(x(x - 3) = 0\)；
转化为一次方程：\(x = 0\)或\(x - 3 = 0\)；
求解：\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 3\)。
例 2：解方程\(2x^2 - 6x = 0\)
解：
化为一般形式：\(2x^2 - 6x = 0\)；
因式分解：提取公因式\(2x\)，得\(2x(x - 3) = 0\)；
转化为一次方程：\(2x = 0\)或\(x - 3 = 0\)；
求解：\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 3\)。
（二）平方差公式法
当方程左边可化为平方差形式\(a^2 - b^2\)时，使用平方差公式分解。
例 3：解方程\(x^2 - 16 = 0\)
解：
化为一般形式：\(x^2 - 16 = 0\)；
因式分解：用平方差公式，得\((x + 4)(x - 4) = 0\)；
转化为一次方程：\(x + 4 = 0\)或\(x - 4 = 0\)；
求解：\(x_1 = -4\)，\(x_2 = 4\)。
例 4：解方程\(9x^2 - 25 = 0\)
解：
化为一般形式：\(9x^2 - 25 = 0\)；
因式分解：\(9x^2 = (3x)^2\)，\(25 = 5^2\)，用平方差公式得\((3x + 5)(3x - 5) = 0\)；
转化为一次方程：\(3x + 5 = 0\)或\(3x - 5 = 0\)；
求解：\(x_1 = -\frac{5}{3}\)，\(x_2 = \frac{5}{3}\)。
（三）完全平方公式法
当方程左边是完全平方式\(a^2 \pm 2ab + b^2\)时，可化为\((a \pm b)^2\)，但需注意完全平方公式分解后若等于零，则方程有两个相等的实数根。
例 5：解方程\(x^2 - 6x + 9 = 0\)
解：
化为一般形式：\(x^2 - 6x + 9 = 0\)；
因式分解：用完全平方公式，得\((x - 3)^2 = 0\)；
转化为一次方程：\(x - 3 = 0\)（因两个因式相同）；
求解：\(x_1 = x_2 = 3\)（两个相等的实数根）。
（四）十字相乘法
对于二次项系数为 1 的二次三项式\(x^2 + px + q\)，若能找到两个数\(m\)和\(n\)，使\(m + n = p\)且\(m \times n = q\)，则可分解为\((x + m)(x + n)\)；对于二次项系数不为 1 的\(ax^2 + bx + c\)，需找到\(a_1\)、\(a_2\)、\(c_1\)、\(c_2\)，使\(a_1 \times a_2 = a\)，\(c_1 \times c_2 = c\)，且\(a_1c_2 + a_2c_1 = b\)，则分解为\((a_1x + c_1)(a_2x + c_2)\)。
例 6：解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)（二次项系数为 1）
解：
化为一般形式：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)；
因式分解：找两个数，其和为\(-5\)，积为\(6\)，即\(-2\)和\(-3\)，分解得\((x - 2)(x - 3) = 0\)；
转化为一次方程：\(x - 2 = 0\)或\(x - 3 = 0\)；
求解：\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。
例 7：解方程\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)（二次项系数不为 1）
解：
化为一般形式：\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)；
因式分解：二次项系数\(2 = 1 \times 2\)，常数项\(3 = (-1) \times (-3)\)，交叉验证\(1 \times (-3) + 2 \times (-1) = -5 \neq -7\)；调整常数项为\(3 = (-3) \times (-1)\)，验证\(1 \times (-1) + 2 \times (-3) = -7\)，分解得\((x - 3)(2x - 1) = 0\)；
转化为一次方程：\(x - 3 = 0\)或\(2x - 1 = 0\)；
求解：\(x_1 = 3\)，\(x_2 = \frac{1}{2}\)。
（五）先整理再分解
有些方程需要先展开或移项整理后再进行因式分解。
例 8：解方程\((x + 2)(x - 3) = 6\)
解：
化为一般形式：展开左边得\(x^2 - x - 6 = 6\)，移项整理得\(x^2 - x - 12 = 0\)；
因式分解：十字相乘法分解得\((x - 4)(x + 3) = 0\)；
转化为一次方程：\(x - 4 = 0\)或\(x + 3 = 0\)；
求解：\(x_1 = 4\)，\(x_2 = -3\)。
例 9：解方程\(3x(x - 1) = 2(x - 1)\)
解：
化为一般形式：移项得\(3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0\)；
因式分解：提取公因式\((x - 1)\)，得\((x - 1)(3x - 2) = 0\)；
转化为一次方程：\(x - 1 = 0\)或\(3x - 2 = 0\)；
求解：\(x_1 = 1\)，\(x_2 = \frac{2}{3}\)。
（注意：本题不可直接约去\((x - 1)\)，否则会漏掉\(x = 1\)这个解）
四、因式分解法的适用范围与优缺点
（一）适用范围
方程左边的二次三项式易于因式分解（如整数系数且判别式为完全平方数的方程）；
解含有公因式或可化为平方差、完全平方形式的方程；
不需要复杂计算的简单一元二次方程。
（二）优点
步骤简便，无需复杂的根式运算或配方过程；
直接得到方程的解，效率高；
能直观体现方程解的来源，理解更深刻。
（三）缺点
局限性大，对于不易因式分解的方程（如判别式不是完全平方数的方程）难以应用；
对因式分解技巧要求较高，尤其是十字相乘法需熟练掌握；
容易因分解错误导致结果错误，且漏解风险较高（如例 9 中约去公因式）。
五、常见错误与注意事项
未化为一般形式直接分解：例如方程\((x + 2)(x - 3) = 6\)未展开整理，直接认为\(x + 2 = 6\)或\(x - 3 = 6\)，导致错误。
约去含未知数的公因式：如例 9 中约去\((x - 1)\)，漏掉解\(x = 1\)，正确做法是移项后提取公因式。
因式分解不彻底：例如\(x^2 - 4x + 4 = 0\)分解为\((x - 2)(x - 2) = 0\)是正确的，但需明确这是两个相等的解，而非一个解。
符号错误：十字相乘法中符号判断错误，例如\(x^2 - 2x - 3 = 0\)误分解为\((x + 1)(x + 3) = 0\)，正确应为\((x - 3)(x + 1) = 0\)。
忽略二次项系数：分解二次项系数不为 1 的方程时，漏乘系数导致错误，例如\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)误分解为\((x - 2)(x - 1) = 0\)，正确应为\((2x - 1)(x - 2) = 0\)。
六、不同解法的选择策略
在解一元二次方程时，需根据方程特点选择合适的解法：
若方程可直接开平方（如\((x + m)^2 = n\)），优先用直接开平方法；
若方程易于因式分解，优先用因式分解法；
若方程二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，可用配方法；
若上述方法均不适用或方程较复杂，用公式法（通用方法）。
例如：
方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)用因式分解法最简便；
方程\(x^2 - 6x + 2 = 0\)用配方法或公式法；
方程\(2x^2 - 7x - 4 = 0\)用因式分解法（可分解为\((2x + 1)(x - 4) = 0\)）或公式法。
七、课堂总结
因式分解法原理：基于乘法零因子性质，将方程化为两个一次因式乘积为零的形式求解。
核心步骤：化一般形式→因式分解→转化为一次方程→求解。
常用方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法、十字相乘法。
关键技巧：
必须先将方程化为右边为零的形式；
因式分解要彻底，避免漏解；
不随意约去含未知数的公因式。
适用场景：易于因式分解的一元二次方程，尤其系数为整数且判别式为完全平方数的方程。
掌握因式分解法能快速解决大量简单的一元二次方程，同时也能加深对一元二次方程解的理解。在实际解题中，应灵活选择解法，提高解题效率和准确性。
八、课后作业
用因式分解法解下列方程：
（1）\(x^2 - 2x = 0\)；
（2）\(x^2 - 9 = 0\)；
（3）\(x^2 + 5x + 6 = 0\)；
（4）\(2x^2 - x - 1 = 0\)；
（5）\((x - 3)(x + 1) = x - 3\)。
当\(x\)为何值时，代数式\(x^2 - 4x + 3\)的值为零？
已知方程\(x^2 + ax + b = 0\)的两个根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)，求\(a\)和\(b\)的值（用因式分解法思考）。
一个矩形的长比宽多 2 米，面积为 15 平方米，用因式分解法求矩形的长和宽。
证明：方程\(x^2 - (m + n)x + mn = 0\)（\(m\)、\(n\)为常数）的解为\(x_1 = m\)，\(x_2 = n\)。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(x+m)2 = n（n≥0）
一般形式
用公式法解一元二次方程应先将方程化为___________.
用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_________________的形式。
选择合适的方法解下列方程
（1）x2 - 6x = 7 ; （2）3x2 + 8x -3 = 0 .
解： （1）配方，得 x2 - 6x + 32 = 7 + 32
(x - 3)2 = 16
两边开平方，得
x - 3 = ±4
x1= -1，x2 = 7.
选择合适的方法解下列方程
（1）x2 - 6x = 7 ; （2）3x2 + 8x -3 = 0 .
解： （2）a = 3，b = 8，c = -3.
∵ b2 - 4ac = 82 - 4×3×(-3) = 100 > 0，
因式分解的方法
（1）提公因式法
am + bm + cm = m(a + b + c)
（2）公式法
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，得 x2-3x = 0.
因此
x1 = 0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
他做得对吗？
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，两边同时约去 x ，得.
x = 3.
所以这个数是 3.
她做得对吗？
探究新知
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
由方程 x2 = 3x，得 x2-3x = 0，即 x(x-3) = 0.
于是 x = 0，或 x -3 = 0.
因此 x1 = -0，x2 = 3.
所以这个数是 0 或 3.
他做得对吗？
“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
如果 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0 .
说一说，你是怎么理解这句话的？
x2-3x = 0 x(x-3) = 0
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
归纳总结
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例 解下列方程：
（1）5x2 = 4x； （2）x(x - 2) = x - 2.
解：（1）原方程可变形为
5x2 - 4x = 0 ，
x(5x - 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
（2）原方程可变形为
x(x - 2) – (x - 2) = 0 ，
(x - 2)(x - 1) = 0 ，
x - 2 = 0 ，或 x–1 = 0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
方程右边化为______.
将方程左边分解成两个__________的乘积.
至少________因式为零，得到两个一元一次方程.
两个__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一个
一元一次方程的解
想一想
你能用因式分解法解方程 x2-4=0，(x+1)2-25 = 0 吗？
x2–4 = 0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x - 2) = 0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
x1 = -2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0
解：原方程可变形为
(x + 1 + 5)(x + 1 - 5) = 0
(x + 6)(x - 4) = 0
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
达标检测
【选自教材P47 随堂练习】
用因式分解法解下列方程：
（1）(x + 2)(x - 4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：（1）
x + 2 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -2，x2 = 4.
（2）原方程可变形为
4x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(4x - 3) = 0
2x + 1 = 0 或 4x - 3 = 0
一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数.
解：设这个数为 x.
2x2 = 7x.
2x2 - 7x = 0.
x(2x – 7) = 0.
x = 0 或 2x–7 = 0.
【选自教材P47 随堂练习】
【选自教材P47 习题2.7】
用因式分解法解下列方程：
（1）(4x - 1)(5x + 7) = 0； （2）x(x + 2) = 3x + 6；
（3）(2x + 3)2 = 4(2x + 3)； （4）2(x - 3)2 = x2 - 9.
解： （1）
4x - 1= 0 或 5x + 7= 0
（2）原方程可变形为
x(x + 2) = 3(x + 2)
x(x + 2) -3(x + 2) = 0
(x + 2)(x - 3) = 0
x1 = 3，x2 = -2.
【选自教材P47 习题2.7】
用因式分解法解下列方程：
（1）(4x - 1)(5x + 7) = 0； （2）x(x + 2) = 3x + 6；
（3）(2x + 3)2 = 4(2x + 3)； （4）2(x - 3)2 = x2 - 9.
（3）原方程可变形为
(2x + 3)2 - 4(2x + 3)= 0
(2x + 3)(2x + 3 - 4)= 0
2x + 3 = 0 或 2x – 1 = 0
（4）原方程可变形为
2(x - 3)2 = (x + 3)(x - 3)
2(x - 3)2 - (x + 3)(x - 3) = 0
(x - 3) [2(x - 3)-(x + 3)] = 0
(x - 3) (x - 9) = 0
x1 = 3，x2 = 9.
【选自教材P48 习题2.7】
解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ； （2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
（3）(x - 2)(x - 3) = 12； （4）2x + 6 = (x + 3)2；
（5）2y2 + 4y = y + 2.
解：（1）原方程可变形为
5x2 - 5x - 3x2 - 3x = 0
2x2 - 8x = 0
2x(x - 4) = 0
x1 = 0，x2 = 4.
（2）原方程可变形为
(x - 2)2 - (2x + 3)2 = 0
(x-2+2x+3)[(x-2)-(2x+3)]= 0
(3x+1)(-x-5) = 0
【选自教材P48 习题2.7】
解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ； （2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
（3）(x - 2)(x - 3) = 12； （4）2x + 6 = (x + 3)2；
（5）2y2 + 4y = y + 2.
（3）原方程可变形为
x2 - 5x + 6 - 12 = 0
x2 - 5x - 6 = 0
(x–6)(x + 1) = 0
x1 = -1，x2 = 6.
（4）原方程可变形为
2(x +3) –(x+3)2 = 0
(x + 3) [2 - (x+3)]= 0
(x + 3) (- x - 1)= 0
x1 = -1，x2 = -3.
【选自教材P48 习题2.7】
解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ； （2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
（3）(x - 2)(x - 3) = 12； （4）2x + 6 = (x + 3)2；
（5）2y2 + 4y = y + 2.
（5）原方程可变形为
2y2 + 4y –y - 2 = 0
2y2 + 3y - 2 = 0
(2y - 1)(y + 2) = 0
公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图)，原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地面积为 12 m2，求原正方形空地的边长.
【选自教材P48 习题2.7】
解: 设原正方形空地的边长为 x m．
x2－2x－x＋1×2＝12，
解得 x1＝－2（舍去），x2＝ 5．
所以，原正方形空地的边长为 5 m．
返回
C
1.
[2025广州模拟] 一元二次方程(x＋2)(x－3)＝0的根是(　　)
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
返回
2.
B
[2025杭州月考] 一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝1
B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2
D．x1＝－2，x2＝－1
返回
3.
方程2x(x－3)＝5(x－3)的根是________________．
返回
4.
1
若x2＋1与x2－4x＋1的值互为相反数，则x的值是________．
5.
解：∵x2＝2x，∴x2－2x＝0，
∴x(x－2)＝0，∴x＝0或x－2＝0，解得x1＝0，x2＝2.
用因式分解法解下列方程：
(1)x2＝2x；

(2)3x2＋12＝12x；
原方程可变形为x2－4x＋4＝0，
即(x－2)2＝0，∴x1＝x2＝2.
(3)(3x＋2)2－4x2＝0；

(4)(3x＋1)2＋(3x＋1)＝0.
返回
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
方程右边化为______.
将方程左边分解成两个__________的乘积.
至少________因式为零，得到两个一元一次方程.
两个__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一个
一元一次方程的解
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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