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2.6.1 应用一元二次方程 (1)
一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如增长率问题、利润问题、行程问题等。解决这类问题的关键是从实际情境中抽象出数学模型，通过建立一元二次方程求解，再结合实际意义检验结果的合理性。本节将重点讲解增长率问题和利润问题的求解方法，帮助你掌握运用一元二次方程解决实际问题的基本思路和步骤。
一、解决实际问题的基本步骤
运用一元二次方程解决实际问题通常遵循以下步骤，可概括为 “审、设、列、解、验、答”：
（一）审清题意
仔细阅读题目，明确问题中的已知量、未知量以及数量关系，理解问题的实际背景和所求目标。
（二）设未知数
根据问题特点设出合适的未知数，通常设所求量为未知数，也可设与所求量相关的中间量为未知数，设未知数时要注明单位。
（三）列出方程
根据题目中的等量关系，结合所学的数学公式（如增长率公式、利润公式等），列出一元二次方程。
（四）解方程
运用配方法、公式法、因式分解法等合适的方法求解所列出的一元二次方程，得到未知数的值。
（五）检验结果
将解得的结果代入原方程检验其正确性，同时结合实际问题的意义，判断结果是否合理（如是否为正数、是否符合实际数量限制等），舍去不合理的解。
（六）写出答案
用简洁明了的语言回答问题，注明单位。
二、增长率问题
增长率问题是实际生活中常见的问题，如人口增长、产量增加、资金增值等。其基本数量关系为：
若初始量为\(a\)，平均增长率为\(x\)，经过\(n\)次增长后，最终量为\(b\)，则有：\(
a(1 + x)^n = b
\)
若为下降率问题，则公式为：\(
a(1 - x)^n = b
\)
例 1：
某工厂 2022 年的产值为 100 万元，2024 年的产值为 144 万元，求该工厂产值的年平均增长率。
解：
审清题意：已知 2022 年（初始量）产值为 100 万元，2024 年（经过 2 次增长后）产值为 144 万元，求年平均增长率\(x\)。
设未知数：设该工厂产值的年平均增长率为\(x\)。
列出方程：2023 年的产值为\(100(1 + x)\)万元，2024 年的产值为\(100(1 + x)^2\)万元，根据题意得：\(
100(1 + x)^2 = 144
\)
解方程：\(
(1 + x)^2 = 1.44 \\
1 + x = \pm1.2
\)
解得\(x_1 = 0.2 = 20\%\)，\(x_2 = -2.2\)（增长率不能为负，舍去）。
检验结果：\(x = 20\%\)代入原方程，左边\(=100 (1 + 20\%)^2 = 100 1.44 = 144\)，等于右边，结果合理。
写出答案：该工厂产值的年平均增长率为 20%。
例 2：
某商品经过两次降价后，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，求平均每次降价的百分率。
解：
审清题意：初始售价为 25 元，经过两次降价后售价为 16 元，求平均每次降价的百分率\(x\)。
设未知数：设平均每次降价的百分率为\(x\)。
列出方程：第一次降价后的售价为\(25(1 - x)\)元，第二次降价后的售价为\(25(1 - x)^2\)元，根据题意得：\(
25(1 - x)^2 = 16
\)
解方程：\(
(1 - x)^2 = 0.64 \\
1 - x = \pm0.8
\)
解得\(x_1 = 0.2 = 20\%\)，\(x_2 = 1.8\)（降价百分率不能大于 1，舍去）。
检验结果：\(x = 20\%\)代入原方程，左边\(=25 (1 - 20\%)^2 = 25 0.64 = 16\)，等于右边，结果合理。
写出答案：平均每次降价的百分率为 20%。
三、利润问题
利润问题涉及成本、售价、销量、利润等量，其基本数量关系为：
单件利润 = 售价 - 成本；
总利润 = 单件利润 × 销量；
销量通常与售价相关，售价越高，销量往往越低，反之亦然。
例 3：
某商店销售一批衬衫，每件成本为 100 元，原来按每件 150 元销售，平均每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定降价销售，经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，平均每天
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.6.1 应用一元二次方程(1)
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
（1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
x
x
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(8-x)2+(6+x)2 =102
x2-2x = 0
x1= 0（舍），x2 = 2.
（2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(12-x)2+(5+x)2 =132
x2-7x = 0
x1= 0（舍），x2 = 7.
几何画板
探究新知
例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
几何画板
（1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？
解： 连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，
∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = AB.
∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile.
在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300-2x)2，
整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0.
解这个方程，得
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
随堂练习
【选自教材P53 随堂练习】
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2，
解得 t1 = 0（舍去），t2 = .
∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）.
达标检测
【选自教材P53 习题2.9】
有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
解: 设较多的钱为 x．
由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)．
所以，赛义德得到的钱数为12.
如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？
解: 设经过 t s， △PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
(8－t)(6－t)＝ ×6×8× ，
解得 t1＝2，t2＝12 (舍去)．
所以，经过 2 s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
【选自教材P53 习题2.9】
如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深.
【选自教材P53 习题2.9】
解:设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m．
S ＝ ·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x ＝ 0.78，
解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．
所以，渠深 0.6 m．
解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm．
由题意有 t2＋(21－t)2＝152，
解得 t1＝9，t2＝12．
所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm．
如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？.
【选自教材P54 习题2.9】
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(x－3)(x＋4)＝72
1.
将一个正方形的一条边长减去3，与该边相邻的另一条边长加上4，得到的矩形的面积为72，求正方形的边长．设正方形的边长为x，可列方程为________________．
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2.
一个直角三角形的两条直角边长之和是10 cm，面积是12 cm2，则斜边的长为________．
3.
8
《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高、宽，有竿不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是________尺．
4.
解：∵AB＝x m，∴AD＝(40－x) m，
由题意，得x(40－x)＝300,
解得x1＝10，x2＝30，∴x的值为10或30.
某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(墙足够长)和40 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边)，设AB＝x m.
(1)若矩形花园的面积为300 m2，求x的值；
解：不能围成面积为500 m2的矩形花园．理由如下：
由题意，得x(40－x)＝500，即x2－40x＋500＝0.
∵Δ＝(－40)2－4×1×500＝－400<0, ∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为500 m2的矩形花园．
(2)能围成面积为500 m2的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
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5.
[2025岳阳月考] 若两个正数的差为3，且它们的积为54，则这两个正数为________．
6，9
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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