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2.6.2 应用一元二次方程 (2)
在实际生活中，除了增长率和利润问题，几何图形中的长度、面积、体积等问题也常需要用一元二次方程求解。这类问题往往涉及图形的边长、高度、距离等数量关系，需要结合几何图形的性质和公式建立方程。本节将重点讲解几何图形中的一元二次方程应用，包括矩形、三角形、圆形等图形的面积与边长问题，以及动态几何问题，帮助你进一步掌握用方程解决实际问题的方法。
一、几何图形的面积与边长问题
几何图形问题的核心是根据图形的面积公式或周长公式，结合题目中的数量关系列出方程。常见的图形包括矩形、正方形、三角形、梯形等，解题时需注意图形的性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理等）。
（一）矩形与正方形问题
矩形和正方形是几何问题中最常见的图形，其面积公式为 “面积 = 长 × 宽”，周长公式为 “周长 = 2×（长 + 宽）”。解决这类问题时，需关注边长的变化对面积的影响，或面积的限制对边长的要求。
例 1：
一个矩形的周长为 40 厘米，面积为 96 平方厘米，求矩形的长和宽。
解：
审清题意：已知矩形周长 40 厘米，面积 96 平方厘米，求长和宽。
设未知数：设矩形的长为\(x\)厘米，则宽为\((20 - x)\)厘米（因周长为 40 厘米，长 + 宽 = 20 厘米）。
列出方程：根据面积公式，长 × 宽 = 面积，即：\(
x(20 - x) = 96
\)
解方程：\(
20x - x^2 = 96 \\
x^2 - 20x + 96 = 0
\)
因式分解得\((x - 12)(x - 8) = 0\)，解得\(x_1 = 12\)，\(x_2 = 8\)。
检验结果：
当长为 12 厘米时，宽为 20 - 12 = 8 厘米，面积为 12×8 = 96 平方厘米，合理；
当长为 8 厘米时，宽为 20 - 8 = 12 厘米（长应大于宽，故取长 12 厘米，宽 8 厘米）。
写出答案：矩形的长为 12 厘米，宽为 8 厘米。
例 2：
如图 1，在一块长为 25 米、宽为 18 米的矩形空地中，修建两条宽度均为\(x\)米的互相垂直的小路（一条平行于长，一条平行于宽），剩余部分种植草坪，草坪面积为 400 平方米，求小路的宽度。
解：
审清题意：矩形空地长 25 米、宽 18 米，两条垂直小路宽均为\(x\)米，草坪面积 400 平方米，求\(x\)。
设未知数：设小路的宽度为\(x\)米。
表示相关量：
种植草坪的区域可看作一个长为\((25 - x)\)米、宽为\((18 - x)\)米的矩形（小路平移后草坪为完整矩形）；
列出方程：草坪面积 = 长 × 宽，即：\(
(25 - x)(18 - x) = 400
\)
解方程：\(
450 - 25x - 18x + x^2 = 400 \\
x^2 - 43x + 50 = 0
\)
用公式法解方程，其中\(a = 1\)，\(b = -43\)，\(c = 50\)：\(
\Delta = (-43)^2 - 4 1 50 = 1849 - 200 = 1649 \\
x = \frac{43 \pm\sqrt{1649}}{2} \approx \frac{43 \pm 40.61}{2}
\)
解得\(x_1 \approx \frac{43 + 40.61}{2} \approx 41.8\)（舍去，超过矩形宽度），\(x_2 \approx \frac{43 - 40.61}{2} \approx 1.195\)米（约 1.2 米）。
检验结果：\(x \approx 1.2\)米时，草坪长≈25 - 1.2 = 23.8 米，宽≈18 - 1.2 = 16.8 米，面积≈23.8×16.8≈400 平方米，合理。
写出答案：小路的宽度约为 1.2 米。
（二）直角三角形问题
直角三角形问题常涉及勾股定理（直角边的平方和等于斜边的平方）和面积公式（面积 =× 直角边 1× 直角边 2），需根据这两个公式建立等量关系。
例 3：
一个直角三角形的斜边长为 10 厘米，两条直角边的差为 2 厘米，求较短的直角边的长度。
解：
审清题意：直角三角形斜边长 10 厘米，两直角边差 2 厘米，求较短直角边。
设未知数：设较短的直角边为\(x\)厘米，则较长的直角边为\((x + 2)\)厘米。
列出方程：根据勾股定理，得：\(
x^2 + (x + 2)^2 = 10^2
\)
解方程：\(
x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \\
2x^2 + 4x - 96 = 0 \\
x^2 + 2x - 48 = 0
\)
因式分解得\((x + 8)(x - 6) = 0\)，解得\(x_1 = 6\)，\(x_2 = -8\)（长度不能为负，舍去）。
检验结果：较短直角边 6 厘米，较长直角边 8 厘米，\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)，符合勾股定理，合理。
写出答案：较短的直角边的长度为 6 厘米。
（三）圆形与其他图形问题
圆形问题涉及半径、直径、面积等，面积公式为\(S = \pi r^2\)；其他图形如梯形、菱形等则需根据各自的面积公式求解。
例 4：
一个圆形花坛的周长增加了\(6\pi\)米，面积增加了\(15\pi\)平方米，求原花坛的半径。
解：
审清题意：圆形花坛周长增加\(6\pi\)米，面积增加\(15\pi\)平方米，求原半径\(r\)米。
设未知数：设原花坛的半径为\(r\)米，则原周长为\(2\pi r\)米，原面积为\(\pi r^2\)平方米。
表示相关量：
新周长为\(2\pi r + 6\pi = 2\pi(r + 3)\)米，故新半径为\((r + 3)\)米；
新面积为\(\pi(r + 3)^2\)平方米。
列出方程：面积增加量 = 新面积 - 原面积，即：\(
\pi(r + 3)^2 - \pi r^2 = 15\pi
\)
解方程：两边同除以\(\pi\)得：\(
(r^2 + 6r + 9) - r^2 = 15 \\
6r + 9 = 15 \\
6r = 6 \\
r = 1
\)
检验结果：原半径 1 米，新半径 4 米，面积增加\(\pi 4^2 - \pi 1^2 = 16\pi - \pi = 15\pi\)平方米，合理。
写出答案：原花坛的半径为 1 米。
二、动态几何问题
动态几何问题是指图形中的某些元素（如点、线段、图形）在运动变化，需要根据运动过程中的数量关系建立方程。这类问题需关注运动过程中的临界状态和等量关系。
例 5：
如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6 厘米，BC=8 厘米，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以 1 厘米 / 秒的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 2 厘米 / 秒的速度运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。经过多少秒后，△PCQ 的面积为 8 平方厘米？
解：
审清题意：Rt△ABC 中，AC=6cm，BC=8cm，P 从 A 向 C 运动，速度 1cm/s；Q 从 C 向 B 运动，速度 2cm/s，求运动时间\(t\)秒时，△PCQ 面积为 8cm 。
设未知数：设经过\(t\)秒后，△PCQ 的面积为 8 平方厘米。
表示相关量：
运动时间\(t\)的范围：P 到达 C 需 6 秒，Q 到达 B 需 4 秒，故\(t \leq 4\)秒；
PC 的长度为\((6 - t)\)厘米（AC=6cm，P 运动了\(t\)cm）；
CQ 的长度为\(2t\)厘米（Q 速度 2cm/s，运动了\(t\)秒）。
列出方程：△PCQ 为直角三角形，面积 =×PC×CQ，即：\(
\frac{1}{2}(6 - t) 2t = 8
\)
解方程：\(
(6 - t)t = 8 \\
6t - t^2 = 8 \\
t^2 - 6t + 8 = 0
\)
因式分解得\((t - 2)(t - 4) = 0\)，解得\(t_1 = 2\)，\(t_2 = 4\)。
检验结果：
\(t = 2\)秒时，PC=6 - 2=4cm，CQ=4cm，面积 =×4×4=8cm ，合理；
\(t = 4\)秒时，PC=6 - 4=2cm，CQ=8cm，面积 =×2×8=8cm ，且 Q 刚好到达 B 点，合理。
写出答案：经过 2 秒或 4 秒后，△PCQ 的面积为 8 平方厘米。
三、常见错误与注意事项
图形关系理解错误：在组合图形问题中，未能正确分析图形各部分的关系，例如例 2 中未将小路平移，错误计算草坪面积为 “矩形面积 - 两条小路面积”（忽略小路重叠部分的面积重复减去）。
动态问题临界状态忽略：在动态几何问题中，未考虑运动时间的限制或点的运动范围，例如例 5 中未注意 Q 先到达终点，导致保留超过 4 秒的不合理解。
公式应用错误：记错几何图形的面积公式，例如将三角形面积公式误写为 “底 × 高”，漏掉乘以；将圆的面积公式误写为\(\pi d^2\)（应为\(\pi r^2\)）。
单位换算错误：题目中涉及不同单位时未统一，例如将 “米” 和 “厘米” 混用，导致方程列错或结果错误。
边长取值合理性判断失误：解出边长后未检验是否符合图形的实际尺寸，例如例 2 中保留超过矩形宽度的小路宽度解。
四、解题技巧总结
画图辅助分析：对于几何问题，尤其是组合图形和动态图形问题，通过画图直观展示图形结构和运动过程，标注已知量和未知量，帮助建立等量关系。
巧用图形转化：在涉及小路、空缺部分的组合图形中，通过平移、分割等方法将不规则图形转化为规则图形（如例 2 中将小路平移后草坪为矩形），简化面积计算。
明确动态范围：在动态几何问题中，先确定运动时间或点的位置的取值范围，避免解出超出范围的不合理结果。
优先使用几何公式：根据图形类型优先选择对应的面积、周长或体积公式，确保等量关系的准确性。
多角度检验结果：解出结果后，不仅要代入方程检验，还要结合图形的性质（如边长为正、三角形三边关系、勾股定理等）检验是否合理。
五、课堂总结
几何问题核心：结合几何图形的面积、周长等公式，分析图形中的数量关系，建立一元二次方程。
常见图形公式：
矩形：面积 = 长 × 宽，周长 = 2×（长 + 宽）；
直角三角形：面积 =× 直角边 1× 直角边 2，勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)；
圆：面积 =\(\pi r^2\)，周长 = 2\(\pi r\)。
动态问题关键：确定运动变量（如时间、距离），表示出运动过程中的相关量，结合图形性质列方程，注意运动范围的限制。
解题步骤：审清图形结构→设未知数→表示相关量→列方程→解方程→检验合理性→作答。
几何图形中的一元二次方程应用体现了数学与几何的紧密结合，通过本节学习，应掌握从图形中抽象数量关系的方法，提高用方程解决几何问题的能力。在练习中要注重图形分析和公式应用，确保每一步都符合图形的实际性质。
六、课后作业
一个正方形的边长增加 3 厘米后，面积增加了 39 平方厘米，求原正方形的边长。
如图 3，在长为 10 米、宽为 8 米的矩形场地中，修建一个半径为\(x\)米的圆形花坛，剩余部分的面积为 60 平方米，求圆形花坛的半径（\(\pi\)取 3.14，精确到 0.1 米）。
一个直角三角形的面积为 24 平方厘米，斜边长为 10 厘米，求两条直角边的长度。
如图 4，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10 厘米，AC=6 厘米，点 P 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 1 厘米 / 秒的速度运动，经过多少秒后，△ACP 的面积为 8 平方厘米？
一块梯形菜地的上底为 10 米，下底为 15 米，高为 8 米，在菜地中间挖一个边长为\(x\)米的正方形水池，剩余种菜面积为 90 平方米，求水池的边长。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.6.2 应用一元二次方程(2)
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请同学们回忆并回答与利润相关的知识
利润 =（ ）- 进价
售价
售价 = 标价×折扣
9 折要乘以 90% 或 0.9 或 ，那么 x 折呢？
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
分析基本数量关系
售价 - 进价 = 利润
每台利润 × 每天的销售量 = 每天的总利润
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
进价 售价 销售量 每台利润 总利润
降价前
降价后
2500
2900
8
400
400×8
2500
未知
未知
未知
5000
设每台冰箱降价 x 元
售价每降低 50 元
多售出 4 台
售价每降低 100 元
多售出 4× 台
售价每降低 x 元
多售出 4× 台
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
进价 售价 销售量 每台利润 总利润
降价前
降价后
2500
2900
8
400
400×8
2500
未知
未知
未知
5000
设每台冰箱降价 x 元
售价每降低 50 元
多售出 4 台
售价每降低 100 元
多售出 4× 台
售价每降低 x 元
多售出 4× 台
2900-x
8+4×
400-x
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得
8+4×
( 2900-x -2500)( ) = 5000
解这个方程，得
x1 = x2 = 150.
2900-150 = 2750
所以，每台冰箱应定价为 2750 元.
某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个。调查发现：售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？
解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得
(40+x-30)(600-10x) = 10 000
解这个方程，得
x1 = 10.
x2 = 40（舍）.
售价为：40+x = 40+10 = 50（元）
应购置台灯：600-10x = 600-10×10 = 500（个）
利用方程解决实际问题得关键和步骤是什么？
关键：寻找等量关系
步骤：其一是整体地、系统地审清问题；
其二是把握问题中的“相等关系”；
其三是正确求解方程并检验解的合理性。
随堂练习
【选自教材P55 随堂练习】
某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？
解:设每张贺卡应降价 x 元．
(0.3－x) ( ×200＋500) ＝180，
解得 x1＝0.1，x2＝ ．
又∵摊主想尽快减少库存．
∴减得越多,卖得越多．
在盈利相同的情况下选择降价 0.1 元更合适．
达标检测
【选自教材P55 习题2.10】
某种服装，平均每天可销售 20 件，每件赢利 44 元. 在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售 5 件.如果每天要赢利 1600 元，每件应降价多少元？
解: 设每件应降价 x 元．
(5x＋20)(44－x)＝1600，解得: x1＝4，x2＝36 (舍去)
所以，每件应降价 4 元．
一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利 122000 元？
【选自教材P55 习题2.10】
解: 设储藏 x 个星期出售这批农产品可获利 122 000 元．
(1200＋200x)(80－2x)－1600x ＝ 122000 ＋64000，
解得 x1＝x2＝15．
所以，储藏 15 个星期出售这批农产品可获利 122000元．
【选自教材P55 习题2.10】
我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率(结果精确到 1%）.
解: 设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 x．
2(1＋x)2 ＝ 3，解得 x1＝ (舍去),
x2＝ ≈ 22.5％．
所以，我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 22.5％.
【选自教材P55 习题2.10】
某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率.
解:设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 x．
2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100,
解得 x1＝0.2＝20％，x2＝－3.2(舍去)．
故该公司 11,12 两个月营业额的月均增长率为 20％．
40
1.
商场销售某种商品，每件进价为200元，售价为250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售单价每降低1元时，平均每天可多售出2件．
(1)当商品销售单价降低5元时，平均每天销售量可达到________件，每天盈利______元；
(2)当商品销售单价降低x元时，平均每天销售量可达到________件，每天盈利_______________元；
1 800
(30＋2x)
(50－x)(30＋2x)
返回
(250－x－200)(30＋2x)＝2 108
(3)商场通过销售这种商品每天能盈利2 108元，设每件商品需要降价x元，则可列方程为__________________________，解得_________________，所以每件商品需要降价________元．
x1＝16，x2＝19
16或19
返回
2.
80
[2025佛山模拟] 香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”．在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，若每件每降价20元，则每月可多售出30件．如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价________元．
3.
[2025长春月考] 随着科技的不断进步，人工智能(AI)正逐渐渗透到我们的生活和工作中．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在“十一”期间为学生们策划了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，那么人均费用为240元；如果人数超过10人，那么每增加1人，人均费用降低
5元，但人均费用不得低于170元．
(1)若有14人参加活动，人均费用是__________元；
(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共为3 600元，求参加活动的学生人数．
220
返回
返回
4.
200(1＋x)2＝401　
[2024重庆中考] 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________．
返回
5.
10%
超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份该礼盒的售价为486元，则r＝________．
6.
“乒乓球”被称为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发了人们对乒乓球运动的热爱．据统计，在奥运会结束后的两个月内，某市参加乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人．求该市参加乒乓球运动人数的月均增长率．
返回
解：设该市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x，
由题意得3.2(1＋x)2＝5，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不符合题意，舍去)．
答：该市参加乒乓球运动人数的月均增长率为25%.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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