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3.1.1 用树状图或表格求概率
在现实生活中，很多事件的发生具有随机性，比如掷骰子的点数、抽奖的结果等。概率是描述随机事件发生可能性大小的数学概念，而用树状图或表格列举所有可能的结果，是计算概率的重要方法。这种方法直观清晰，能帮助我们不重复、不遗漏地列出事件的所有可能结果，进而准确计算出目标事件的概率。本节将详细讲解树状图和表格法的基本原理、操作步骤及实际应用。
一、概率的基本概念
（一）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。例如，掷一枚硬币 “正面朝上”、从装有红球和白球的袋子中 “摸出红球” 等都是随机事件。
（二）概率的定义
对于一个随机事件\(A\)，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件\(A\)发生的概率，记作\(P(A)\)。
（三）等可能事件
如果一个试验中所有可能的结果有\(n\)种，且每种结果发生的可能性都相等，那么这样的事件称为等可能事件。在等可能事件中，若事件\(A\)包含其中的\(m\)种结果，则事件\(A\)发生的概率为：\(
P(A) = \frac{\text{ }A\text{ è °}}{\text{ è °}} = \frac{m}{n}
\)
其中，\(0 \leq P(A) \leq 1\)。当\(P(A) = 0\)时，事件\(A\)不可能发生；当\(P(A) = 1\)时，事件\(A\)必然发生。
二、用树状图求概率
树状图是一种用树枝状图形直观展示事件所有可能结果的方法，适用于分步完成的随机试验（如连续掷骰子、多次摸球等）。通过树状图，我们可以清晰地看到每一步试验的所有可能结果，以及不同步骤结果之间的组合关系。
（一）树状图的绘制步骤
确定试验步骤：明确试验分几步完成，每一步有哪些可能的结果。
绘制树状分支：从左到右，根据每一步的可能结果画出分支，第一步的结果作为第一层分支，第二步的结果作为第二层分支，以此类推。
标注结果：在每个分支的末端标注该路径对应的试验结果。
统计结果总数：数出树状图中所有末端结果的总数\(n\)。
确定目标事件结果数：找出目标事件所包含的结果数\(m\)。
计算概率：根据概率公式\(P(A) = \frac{m}{n}\)计算目标事件的概率。
（二）实例解析
例 1：
掷两枚质地均匀的硬币，求两枚硬币全部正面朝上的概率。
解：
确定试验步骤：试验分两步，第一步掷第一枚硬币，第二步掷第二枚硬币。
绘制树状图：
开始
|
┌───┴───┐
正 反
| |
第一步掷第一枚硬币，有 “正面朝上（正）” 和 “反面朝上（反）”2 种结果，画出两条分支；
第二步在第一枚硬币每种结果的基础上，掷第二枚硬币，同样各有 “正” 和 “反” 2 种结果，每条分支再分出两条子分支。
树状图如下：
┌───┴───┐┌───┴───┐
正 反 正 反
（正正）（正反）（反正）（反反）
3. **统计结果总数**：由树状图可知，所有可能的结果有4种：（正正）、（正反）、（反正）、（反反），即\(n = 4\)。
4. **确定目标事件结果数**：目标事件“两枚硬币全部正面朝上”包含的结果只有1种：（正正），即\(m = 1\)。
5. **计算概率**：\(P(\text{两枚全部正面朝上}) = \frac{1}{4}\)。
#### 例2：
一个不透明的袋子中装有2个红球（分别记为红1、红2）和1个白球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，求两次摸出的球都是红球的概率。
解：
1. **确定试验步骤**：试验分两步，第一步摸球，第二步放回后再摸球。
2. **绘制树状图**：
- 第一步摸球，有红1、红2、白3种结果；
- 第二步放回后摸球，每种结果仍有红1、红2、白3种结果。
树状图如下：
开始
|
┌───┼───┐
红 1 红 2 白
| | |
┌──┼──┐┌┼──┐┌┼──┐
红 1 红 2 白红 1 红 2 白红 1 红 2 白
(红 1, 红 1)(红 1, 红 2)(红 1, 白)
(红 2, 红 1)(红 2, 红 2)(红 2, 白)
(白，红 1) (白，红 2) (白，白)
3. **统计结果总数**：所有可能的结果有\(3×3 = 9\)种，即\(n = 9\)。
4. **确定目标事件结果数**：目标事件“两次摸出的球都是红球”包含的结果有：（红1,红1）、（红1,红2）、（红2,红1）、（红2,红2），共4种，即\(m = 4\)。
5. **计算概率**：\(P(\text{两次都是红球}) = \frac{4}{9}\)。
## 三、用表格求概率
表格法是另一种列举事件所有可能结果的方法，通过列出横行和纵行分别表示不同步骤的试验结果，表格中的交叉单元格即为对应的组合结果。这种方法适用于两步试验且每步结果数量较少的情况，能更简洁地展示所有可能结果。
### （一）表格的绘制步骤
1. **确定横行和纵行代表的试验步骤**：通常用横行表示第一步试验的结果，纵行表示第二步试验的结果。
2. **列出所有可能结果**：在表格的第一行和第一列分别列出两步试验的所有可能结果，表格中其余单元格填写对应的组合结果。
3. **统计结果总数**：数出表格中所有组合结果的总数\(n\)。
4. **确定目标事件结果数**：找出表格中目标事件所包含的结果数\(m\)。
5. **计算概率**：根据概率公式\(P(A) = \frac{m}{n}\)计算目标事件的概率。
### （二）实例解析
#### 例3：
掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子的点数之和为7的概率。
解：
1. **确定横行和纵行**：横行表示第一枚骰子的点数（1-6），纵行表示第二枚骰子的点数（1-6）。
2. **列出表格**：表格中单元格的数值为两枚骰子的点数之和，如下：
| 第二枚骰子点数 \ 第一枚骰子点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---------------------------------|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10|
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11|
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12|
3. **统计结果总数**：所有可能的结果有\(6×6 = 36\)种，即\(n = 36\)。
4. **确定目标事件结果数**：目标事件“点数之和为7”包含的结果在表格中已标注，共有6种：（1,6）、（2,5）、（3,4）、（4,3）、（5,2）、（6,1），即\(m = 6\)。
5. **计算概率**：\(P(\text{点数之和为7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)。
#### 例4：
从分别写有数字1、2、3的三张卡片中，先随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，求两次抽取的数字之和为偶数的概率。
解：
1. **确定横行和纵行**：横行表示第一次抽取的数字（1、2、3），纵行表示第二次抽取的数字（1、2、3）。
2. **列出表格**：表格中单元格的数值为两次数字之和，如下：
| 第二次抽取 \ 第一次抽取 | 1 | 2 | 3 |
|-------------------------|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
3. **统计结果总数**：所有可能的结果有\(3×3 = 9\)种，即\(n = 9\)。
4. **确定目标事件结果数**：目标事件“数字之和为偶数”包含的结果有：（1,1）、（1,3）、（2,2）、（3,1）、（3,3），共5种，即\(m = 5\)。
5. **计算概率**：\(P(\text{和为偶数}) = \frac{5}{9}\)。
## 四、树状图与表格法的对比
| **方法** | **适用场景** | **优点** | **缺点** |
|----------|--------------|----------|----------|
| 树状图 | 多步试验（两步及以上），每步结果数量较少 | 直观展示试验步骤和结果的生成过程，层次清晰 | 当试验步骤较多或每步结果数量较多时，图形会过于复杂 |
| 表格法 | 两步试验，且每步结果数量较少 | 简洁明了，结果组合一目了然，便于统计 | 仅适用于两步试验，无法直接展示三步及以上试验的结果 |
在实际应用中，可根据试验的步骤数和每步结果的数量选择合适的方法。对于两步试验，两种方法均可；对于三步及以上的试验，树状图更具优势。
## 五、常见错误与注意事项
1. **结果列举不完整或重复**：在绘制树状图或表格时，遗漏部分结果或重复统计，导致结果总数\(n\)错误。例如，掷两枚硬币时，误将（正反）和（反正）视为同一种结果，导致结果总数算为3种而非4种。
2. **忽略“放回”与“不放回”的区别**：在摸球、抽卡片等试验中，若为“不放回”试验，第二次试验的结果数量会减少，需在树状图或表格中体现。例如，从2个红球和1个白球中不放回摸两次，第一次摸出红球后，第二次摸球的结果只有2种（剩余1个红球和1个白球）。
3. **目标事件识别错误**：对目标事件的理解不准确，导致统计的\(m\)值错误。例如，例3中误将“点数之和大于7”当作目标事件，却统计了点数之和等于7的结果。
4. **概率计算错误**：在计算\(\frac{m}{n}\)时，未将分数化简为最简形式，或因\(m\)、\(n\)数值错误导致结果错误。
5. **未明确等可能条件**：在使用概率公式前，未确认试验的所有结果是否等可能发生，导致公式应用错误。例如，掷一枚质地不均匀的骰子，各点数出现的可能性不相等，不能直接用等可能事件的概率公式计算。
## 六、解题技巧总结
1. **明确试验类型**：判断试验是“放回”还是“不放回”，是“一步”还是“多步”，这将影响结果的列举方式。
2. **选择合适工具**：两步试验优先用表格法或树状图，三步及以上试验优先用树状图。
3. **规范列举结果**：在树状图中清晰标注每一步的结果，在表格中准确填写组合结果，确保不重复、不遗漏。
4. **仔细统计数量**：数清所有可能的结果总数\(n\)和目标事件包含的结果数\(m\)，可通过标记或计数的方式避免错误。
5. **验证结果合理性**：计算出概率后，结合实际情况判断结果是否合理，例如概率值是否在0到1之间。
## 七、课堂总结
1. **概率公式**：对于等可能事件，\(P(A) = \frac{m}{n}\)，其中\(n\)为所有可能的结果总数，\(m\)为事件\(A\)包含的结果数。
2. **树状图法**：通过树枝状图形展示多步试验的所有结果，步骤为：确定步骤→绘制分支→标注结果→统计数量→计算概率。
3. **表格法**：通过横行和纵行列举两步试验的结果组合，步骤为：确定行列→填写结果→统计数量→计算概率。
4. **注意事项**：区分放回与不放回试验，确保结果列举完整准确，概率计算化简到位。
用树状图或表格求概率是概率计算的基础方法，其核心是通过直观的方式列举所有可能的结果，体现了“数形结合”的数学思想。掌握这两种方法，能帮助我们解决生活中常见的概率问题，为后续学习更复杂的概率计算奠定基础。
## 八、课后作业
1. 同时掷两枚质地均匀的硬币，用树状图或表格求下列事件的概率：
（1）一枚正面朝上，一枚反面朝上；
（2）至少有一枚正面朝上。
2. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，用树状图求两次摸出的球都是白球的概率。
3. 掷两枚质地均匀的骰子，用表格求两枚骰子的点数之积为偶数的概率。
4. 从分别标有数字1、2、3、4的四张卡片中，先随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，用树状图或表格求两次抽取的数字之积大于5的概率。
5. 一个不透明的盒子里有形状、大小相同的3个黄球和2个蓝球，从中先摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两次摸出的球颜色不同的概率。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.1 用树状图或表格求概率
第三章　概率的进一步认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
抛掷一枚硬币，得到正面概率是多少？反面呢？
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上， 则小明获胜；若两枚反面向上，小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
你认为这个游戏公平吗？
如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？
探究新知
活动内容：
（1）每人抛掷硬币20次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格：
抛掷硬币应注意什么问题？
抛掷的结果 两枚正面朝上 两枚反面朝上 一枚正面朝上，一枚反面朝上
频数
频率
活动内容：
（2）5个同学为一个小组，依次累计各组的试验数据，相应得到试验100次、200次、300次、400次、500次……时出现各种结果的频率，填写下表，并绘制成相应的折现统计图。
试验次数 100 200 300 400 500 …
两枚正面朝上的次数
两枚正面朝上的频率
两枚反面朝上的次数
两枚反面朝上的频率
一枚正面朝上、一枚反面朝上的次数
一枚正面朝上、一枚反面朝上的频率
探究新知
活动内容：
（3）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。由此，你认为这个游戏公平吗？
活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上。一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。
想想，我们刚才都经历了哪些过程？你有什么体会？
深入探究：在上面抛掷硬币试验中，
（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
让我们小组交流一下自己的想法吧！
请将各自的试验数据汇总后，填写下面的表格：
表格中的数据支持你的猜测吗？
抛掷第一枚硬币 抛掷第二枚硬币 正面朝上的次数 正面朝上的次数
反面朝上的次数
反面朝上的次数 正面朝上的次数
反面朝上的次数
探究体会：
由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。
因此，我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果。
探究新知
开始
正
反
正
反
正
反
(正、正)
(正、反)
(反、正)
(反、反)
第一枚硬币 第二枚硬币
上图像一棵横倒的树，我们就把它叫做树状图.
从树状图和表格我们都可以看出：
小明获胜的概率（正、正）为 ；
小颖获胜的概率（反、反）为 ；
小凡获胜的概率（正、反）（反、正）为 ，
因此，这个游戏对三人是不公平的.
第二枚硬币 第一枚硬币 正
反
正
反
上面的问题，还可以通过列表分析出所有等可能的结果：
通过列表，我们同样可以得出结论：游戏不公平.
（正、正）
（正、反）
（反、正）
（反、反）
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。
归纳总结
活动内容1：
准备两组相同的牌，每组两张且大小一样，两张牌的牌面数字分别是1和2.从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验。
（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（3）两张牌的牌面数字和等于3个概率是多少？
【选自教材P62 习题3.1】
试验次数 30 60 90 120 150 180
两张牌的牌面数字和等于2的频率
两张牌的牌面数字和等于3的频率
两张牌的牌面数字和等于4的频率
第一张牌的牌面数字 第二张牌的牌面数字 第一张牌的牌面数字为1的次数 第二张牌的牌面数字为1的次数
第二张牌的牌面数字为2的次数
第一张牌的牌面数字为2的次数 第二张牌的牌面数字为1的次数
第二张牌的牌面数字为2的次数
活动内容2：一个盒子中装有一个红球、一个白球。这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求：
（1）两次都摸到红球的概率；
（2）两次摸到不同颜色的球的概率；
只有一张电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去看电影。如果是你，你如何选择？
【选自教材P62 习题3.1】
活动内容3：小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”.那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流.
【选自教材P62 习题3.1】
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A
1.
先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是(　　)
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2.
C
不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是(　　)
3.
[2025南通期中] 某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一个基地．请用列表的方法，求小强和小丽选择同一基地的概率．
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解：列表如下：
小丽 小强　　 A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
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4.
A
[2025郑州模拟] 某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为(　　)
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5.
D
[教材P61随堂练习变式] 柜子里放着张明和爸爸的两双不同的鞋，如果张明从中随机地取出两只，那么取出的鞋恰好是张明的鞋的概率为(　　)
1.本节课你有哪些收获？有何感想？
2.用列表法求概率时应注意什么情况？
用列表法求随机事件发生的理论概率
（也可借用树状图分析）
学会了
明白了
用列表法求概率时应注意各种情况发生
的可能性务必相同
懂得了
合作交流的重要性，体会到了一种精神：
就是要勇于暴露自己的思想
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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