资源简介

(共29张PPT)
3.1.2 利用概率判断游戏的公平性
在日常生活中，我们经常会遇到各种游戏或抽奖活动，如掷骰子游戏、卡片抽奖、转盘游戏等。判断这些游戏是否公平，关键在于分析游戏中各方获胜的概率是否相等。如果参与游戏的各方获胜概率相同，那么游戏是公平的；反之，则不公平。本节将结合树状图和表格法，详细讲解如何通过计算概率来判断游戏的公平性，并探讨如何调整游戏规则使不公平的游戏变得公平。
一、游戏公平性的判断标准
（一）核心原则
游戏公平性的本质是参与各方获胜的概率相等。在一个两人游戏中，如果玩家 A 获胜的概率等于玩家 B 获胜的概率，那么这个游戏是公平的；在多人游戏中，若每个玩家获胜的概率都相等，则游戏公平。
（二）数学表达
对于一个有\(n\)个参与者的游戏，设第\(i\)个参与者获胜的概率为\(P(i)\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），若：\(
P(1) = P(2) = \cdots = P(n)
\)
则游戏是公平的。对于两人游戏，即\(P(A) = P(B)\)时，游戏公平。
（三）注意事项
游戏公平性与实际结果无关，只与获胜概率是否相等有关。即使某一方在某次游戏中获胜，只要双方概率相等，游戏仍然是公平的。
需明确游戏的所有可能结果是否为等可能事件，只有在等可能条件下，才能用概率公式计算各方获胜的概率。
二、用概率判断两人游戏的公平性
两人游戏是最常见的游戏类型，判断其公平性需分别计算双方获胜的概率，再比较概率是否相等。
（一）掷硬币或骰子类游戏
例 1：
小明和小刚玩掷一枚质地均匀的硬币游戏，规则如下：若硬币正面朝上，小明获胜；若反面朝上，小刚获胜。这个游戏是否公平？
解：
分析所有可能结果：掷一枚硬币，所有可能的结果有 2 种：正面朝上、反面朝上，且每种结果发生的可能性相等（等可能事件）。
计算双方获胜概率：
小明获胜的概率：\(P(\text{ ° }) = \frac{\text{ é °}}{\text{ °}} = \frac{1}{2}\)；
小刚获胜的概率：\(P(\text{ ° }) = \frac{\text{ é °}}{\text{ °}} = \frac{1}{2}\)。
比较概率：\(P(\text{ ° }) = P(\text{ ° }) = \frac{1}{2}\)，因此游戏是公平的。
例 2：
小华和小丽玩掷两枚质地均匀的骰子游戏，规则如下：若两枚骰子的点数之和为偶数，小华获胜；若点数之和为奇数，小丽获胜。这个游戏是否公平？
解：
分析所有可能结果：掷两枚骰子，所有可能的结果有\(6 6 = 36\)种（见 3.1.1 节例 3 的表格），且每种结果等可能发生。
计算双方获胜概率：
点数之和为偶数的结果：通过表格统计，共有 18 种（如（1,1）、（1,3）、（2,2）等）；
小华获胜的概率：\(P(\text{ ° }) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)；
点数之和为奇数的结果：总结果数 36 种减去偶数结果 18 种，共 18 种；
小丽获胜的概率：\(P(\text{ ° }) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)。
比较概率：\(P(\text{ ° }) = P(\text{ ° }) = \frac{1}{2}\)，因此游戏是公平的。
（二）摸球或抽卡片类游戏
例 3：
一个不透明的袋子中装有 2 个红球和 1 个白球，红球分别记为红 1、红 2，白球记为白。小芳和小亮玩摸球游戏，规则如下：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球。若两次摸出的球都是红球，小芳获胜；若两次摸出的球都是白球，小亮获胜。这个游戏是否公平？
解：
分析所有可能结果：由 3.1.1 节例 2 的树状图可知，所有可能的结果有 9 种，且每种结果等可能发生。
计算双方获胜概率：
小芳获胜（两次都是红球）的结果有 4 种：（红 1, 红 1）、（红 1, 红 2）、（红 2, 红 1）、（红 2, 红 2）；
\(P(\text{ ° è }) = \frac{4}{9}\)；
小亮获胜（两次都是白球）的结果有 1 种：（白，白）；
\(P(\text{ ° }) = \frac{1}{9}\)。
比较概率：\(\frac{4}{9} \neq \frac{1}{9}\)，即\(P(\text{ ° è }) > P(\text{ ° })\)，因此游戏不公平。
例 4：
从分别写有数字 1、2、3、4 的四张卡片中，随机抽取一张后放回，再抽取一张。若两次抽取的数字之和大于 5，甲获胜；若数字之和小于 5，乙获胜；若等于 5，重新抽取。这个游戏是否公平？
解：
分析所有可能结果：用表格列出所有结果（如下），共有\(4 4 = 16\)种等可能结果。
第二次抽取 \ 第一次抽取
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
计算双方获胜概率：
数字之和大于 5 的结果：（1,5）无效，实际有（2,4）、（3,3）、（3,4）、（4,2）、（4,3）、（4,4）等，共 10 种（表格中阴影部分）；
\(P(\text{ }) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\)；
数字之和小于 5 的结果：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、（3,1），共 6 种；
\(P(\text{ }) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)。
比较概率：\(\frac{5}{8} \neq \frac{3}{8}\)，即\(P(\text{ }) > P(\text{ })\)，因此游戏不公平。
三、用概率判断多人游戏的公平性
多人游戏（如三人及以上）的公平性判断，需确保每个参与者获胜的概率相等。
例 5：
三个同学玩转盘游戏，转盘被等分为 3 个扇形，分别标有数字 1、2、3。规则如下：转动转盘两次，记录两次指针指向的数字之和。若和为 2，甲获胜；和为 3，乙获胜；和为 4，丙获胜；和为其他数则重新转动。这个游戏是否公平？
解：
分析所有可能结果：用表格列出两次数字之和的结果：
第二次 \ 第一次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共有 9 种等可能结果。
计算各方获胜概率：
和为 2 的结果：1 种（1,1），\(P(\text{ }) = \frac{1}{9}\)；
和为 3 的结果：2 种（1,2）、（2,1），\(P(\text{ }) = \frac{2}{9}\)；
和为 4 的结果：3 种（1,3）、（2,2）、（3,1），\(P(\text{ }) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)。
比较概率：\(\frac{1}{9} \neq \frac{2}{9} \neq \frac{1}{3}\)，三方获胜概率不相等，因此游戏不公平。
四、调整游戏规则使游戏公平
对于不公平的游戏，可通过修改规则（如改变获胜条件、调整道具数量、修改得分方式等）使各方获胜概率相等，从而实现公平性。
（一）修改获胜条件
例 6：
针对例 3 中的不公平游戏，如何调整规则使游戏公平？
原规则：两次都摸红球小芳胜，两次都摸白球小亮胜（\(P(\text{ ° è }) = \frac{4}{9}\)，\(P(\text{ ° }) = \frac{1}{9}\)）。
调整方案：
新规则：两次摸出的球颜色相同，小芳获胜；两次摸出的球颜色不同，小亮获胜。
计算概率：
颜色相同的结果：两次红球（4 种）+ 两次白球（1 种）=5 种，\(P(\text{ ° è }) = \frac{5}{9}\)？ 不，需重新统计：
正确结果中，颜色相同的结果为（红 1, 红 1）、（红 1, 红 2）、（红 2, 红 1）、（红 2, 红 2）、（白，白）共 5 种；
颜色不同的结果为（红 1, 白）、（红 2, 白）、（白，红 1）、（白，红 2）共 4 种。仍不公平。
另一方案：若第一次摸出红球小芳胜，第一次摸出白球小亮胜（放回后概率不变）。
\(P(\text{ ° è }) = \frac{2}{3}\)，\(P(\text{ ° }) = \frac{1}{3}\)，仍不公平。
合理方案：增加 1 个白球，使袋子中红球 2 个、白球 2 个，规则不变。
此时总结果数为\(4 4 = 16\)种，两次红球结果数为\(2 2 = 4\)种，两次白球结果数为\(2 2 = 4\)种，\(P(\text{ ° è }) = P(\text{ ° }) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)，游戏公平。
（二）调整道具数量
例 7：
针对例 5 中的转盘游戏，如何调整转盘使游戏公平？
原转盘：3 个扇形（1、2、3），三方获胜概率不等。
调整方案：
将转盘等分为 3 个扇形，标有甲、乙、丙，转动一次，指针指向谁谁获胜。
此时\(P(\text{ }) = P(\text{ }) = P(\text{ }) = \frac{1}{3}\)，游戏公平。
（三）修改得分或奖励机制
对于无法改变道具的游戏，可通过设置不同的得分权重，使双方的期望收益相等（适用于概率不等但可通过得分调整的情况）。
例 8：
在例 4 中，甲获胜概率为\(\frac{5}{8}\)，乙为\(\frac{3}{8}\)，若甲获胜得 3 分，乙获胜得 5 分，此时双方每轮的期望得分是否相等？
解：
甲的期望得分：\(3 \frac{5}{8} = \frac{15}{8}\)；
乙的期望得分：\(5 \frac{3}{8} = \frac{15}{8}\)；
期望得分相等，从长期来看游戏是公平的。
五、常见错误与注意事项
混淆 “结果数量” 与 “概率”：认为只要获胜结果数量不同，游戏就不公平，忽略了总结果数的影响。例如，例 2 中双方获胜结果数均为 18 种，总结果 36 种，概率相等则公平。
忽略 “放回” 与 “不放回” 的影响：在摸球游戏中，未明确是否放回导致概率计算错误，进而影响公平性判断。例如，不放回摸球时，第二次的结果概率会变化，需重新计算。
错误调整规则：调整规则时未重新计算概率，导致调整后仍不公平。例如，例 3 中简单修改获胜条件为 “一次红球小芳胜，一次白球小亮胜”，未考虑概率仍不等。
误解公平性含义：认为 “公平的游戏必须各胜一次”，实际公平性是指长期概率相等，而非短期结果平衡。
未考虑等可能条件：在非等可能结果的游戏中（如质地不均匀的骰子），直接用结果数量计算概率，导致判断错误。
六、解题技巧总结
明确游戏规则：清晰梳理游戏的步骤、获胜条件及道具特征（如是否放回、是否等可能）。
列举所有结果：用树状图或表格法列出所有可能的结果，确保不重复、不遗漏。
计算各方概率：根据等可能事件概率公式，分别计算每个参与者获胜的概率。
比较概率判断公平性：若各方概率相等，则公平；否则不公平。
合理调整规则：通过改变获胜条件、调整道具数量或设置得分权重，使各方概率或期望收益相等。
七、课堂总结
公平性标准：参与各方获胜的概率相等（或期望收益相等）。
判断步骤：列举结果→计算概率→比较概率→得出结论。
常见游戏类型：掷硬币 / 骰子、摸球 / 抽卡片、转盘游戏等，均需基于等可能事件计算概率。
调整方法：修改获胜条件、调整道具数量、设置得分权重等，使各方概率或期望相等。
利用概率判断游戏公平性是概率知识在实际生活中的重要应用，体现了数学的客观性和公正性。通过本节学习，应能熟练运用树状图或表格法计算概率，准确判断游戏是否公平，并能提出合理的调整方案，培养用数学思维分析实际问题的能力。
八、课后作业
小明和小红玩掷两枚硬币的游戏，规则：若两枚正面朝上，小明胜；若一正一反，小红胜；若两枚反面朝上，重新掷。这个游戏是否公平？请说明理由。
一个袋子中装有 3 个红球和 2 个蓝球，从中不放回摸出两个球。若都是红球，甲胜；若都是蓝球，乙胜；若一红一蓝，重新摸。游戏是否公平？若不公平，如何调整袋子中的球使游戏公平？
三人玩抽卡片游戏，卡片上分别写有 1、2、3，每人抽一张（不放回）。若抽到 1 者胜，抽到 2 者胜，抽到 3 者胜，这个游戏是否公平？为什么？
一个转盘被等分为 4 个扇形，标有 1、2、3、4。转动两次，若数字之和为奇数，A 胜；若为偶数，B 胜。游戏是否公平？若不公平，如何修改规则使游戏公平？
设计一个公平的三人转盘游戏，说明转盘设计、游戏规则及公平性理由。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.2 利用概率判断游戏的公平性
第三章　概率的进一步认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上， 则小明获胜；若两枚反面向上，小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
你认为这个游戏公平吗？
探究新知
例1 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：
由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
探究新知
解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，
所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：
小明
小颖
所有可能出现的结果
开始
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
（石头、石头）
（石头、剪刀）
（石头、布）
（剪刀、石头）
（剪刀、剪刀）
（剪刀、布）
（布、石头）
（布、剪刀）
（布、布）
平
小明胜
小颖胜
小颖胜
平
小明胜
小明胜
小颖胜
平
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为
小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为
小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为
所以，这个游戏对三人是公平的.
探究新知
列表：
小明 小颖 石头 剪刀 布
石头
剪刀
布
（石头、石头）
（剪刀、石头）
（布、石头）
（石头、剪刀）
（剪刀、剪刀）
（布、剪刀）
（石头、布）
（剪刀、布）
（布、布）
你能用列表的方法来解答例1吗？
做一做
小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下：每人从1,2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可能出现的结果：
从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7，概率最大！
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
第一次
第二次
有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率
随堂练习
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
1下 2下 3下
1上 (1上，1下) (1上，2下) (1上，3下)
2上 (2上，1下) (2上，2下) (2上，3下)
3上 (3上，1下) (3上，2下) (3上，3下)
第一个盒子
第二个盒子
从中发现，这两张恰好能拼成原来的一幅画
的概率为：
达标检测
1.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1,2,3.从每组牌中各摸出一张牌.
（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？
（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？
（3）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？
【选自教材P64 习题3.2】
达标检测
解：
和
开始
1
2
3
1 2
2 3
3 4
1 3
2 4
3 5
1 4
2 5
3 6
（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是0.
（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是 .
（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大.
（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是 .
达标检测
2.经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，求下列事件的概率：
（1）两人都左拐；
（2）恰好有一人直行，另一人左拐；
（3）至少有一人直行.
达标检测
解：
开始
左拐
直行
右拐
左拐
直行
右拐
左拐
直行
右拐
左拐
直行
右拐
（1） ;（2） ；（3） .
达标检测
3.掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：
（1）至少有一枚骰子的点数为1；
（2）两枚骰子的点数和为奇数；
（3）两枚骰子的点数和大于9；
（4）第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数.
达标检测
解：共有 36 种情况．
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
达标检测
4.小明和小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子。
（1）若两人掷得的点数之和为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）若两人掷得的点数之积为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
达标检测
解：(1)公平，小军获胜和小明获胜的概率相同，均为 ；
(2)不公平. 小军获胜的概率为 ，小明获胜的概率为 ，因此这个游戏对双方不公平.
达标检测
5.如图，小明和小红正在做一个游戏：每人先掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品.现在轮到小明掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得“汽车”吗？小红下一次掷骰子可能得到“汽车”吗？她下一次得到“汽车”的概率是多少？
达标检测
解:小明不能一次就获得“汽车”，因为从“1”到“汽车”需7步，而骰子中的数字最多为6；小红下一次可能得到“汽车”，要得到“汽车”即要使小明小红所掷骰子点数和为7.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
小明
小红
和
易知小红下一次得到“汽车”的概率为 .
达标检测
※6.在本节课的“石头、剪刀、布”游戏中，小凡没有参加活动，有“任人宰割”的感觉，于是他们修改游戏规则如下：三人同时做“石头、剪刀、布”游戏，如果三人的手势都相同或三人的手势互不相同，那么三人不分胜负；如果有两个人的手势相同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定胜负（有可能有两个胜者）.这个游戏对三人公平吗？先算一算，再做一做.
达标检测
解:公平.小明、小凡、小颖三人获胜的概率都为 . 故游戏对三人公平.
返回
C
1.
小颖、小明两人做游戏，掷两枚硬币，双方约定：两枚均正面朝上小颖胜，朝上面一正一反小明胜，否则两人平局，则这个游戏(　　)
A．公平　
B．对小颖有利　
C．对小明有利　
D．无法确定
2.
[2024青岛中考] 小明和小红决定一起做“摸牌”游戏．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
解：画树状图如图所示．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是________；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
返回
返回
3.
公平
甲、乙两名同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________；此游戏________(填“公平”或“不公平”)．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑