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3.2 用频率估计概率
在前面的学习中，我们通过树状图或表格法计算了等可能事件的概率，这类方法适用于结果数量有限且每种结果发生可能性相等的情况。但在实际生活中，很多随机事件的结果并不具有等可能性，或者我们无法直接列举所有可能的结果（如掷一枚质地不均匀的骰子、估计某地区降雨的概率等）。这时，我们可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计其概率。本节将详细讲解频率与概率的关系、用频率估计概率的方法及实际应用。
一、频率与概率的关系
（一）频率的定义
在相同条件下，进行\(n\)次重复试验，事件\(A\)发生了\(m\)次，则事件\(A\)发生的频率为：\(
\text{é } = \frac{\text{ }A\text{ °}}{\text{è é °}} = \frac{m}{n}
\)
频率是通过试验得到的具体数值，会随着试验次数的变化而变化。
（二）频率的稳定性
大量重复试验表明，当试验次数\(n\)很大时，事件\(A\)发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件\(A\)发生的概率。这种性质称为频率的稳定性，是用频率估计概率的理论依据。
例如，历史上有多位数学家通过掷硬币试验研究频率与概率的关系：
蒲丰掷硬币 4040 次，正面朝上 2048 次，频率约为\(0.5069\)；
德 摩根掷硬币 4092 次，正面朝上 2048 次，频率约为\(0.5005\)；
费勒掷硬币 10000 次，正面朝上 4979 次，频率约为\(0.4979\)；
皮尔逊掷硬币 24000 次，正面朝上 12012 次，频率约为\(0.5005\)。
从这些试验可以看出，随着掷硬币次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定在\(0.5\)附近，而掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率正是\(0.5\)，这验证了频率的稳定性。
（三）频率与概率的区别和联系
项目
频率
概率
定义
事件发生的次数与试验总次数的比值，是试验结果的统计值
描述事件发生可能性大小的数值，是事件本身的固有属性
性质
随试验次数变化而变化，具有随机性
是一个确定的常数，不随试验次数变化
取值范围
\(0 \leq \frac{m}{n} \leq 1\)
\(0 \leq P(A) \leq 1\)
联系
当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，此时可用频率估计概率
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
二、用频率估计概率的方法
用频率估计概率的核心是通过大量重复试验，观察事件发生的频率变化，当频率稳定在某个常数附近时，用这个常数作为事件概率的估计值。具体步骤如下：
（一）确定试验条件
明确试验的目的和条件，确保每次试验在相同条件下进行（如相同的设备、环境、操作方法等），避免外部因素影响试验结果的准确性。
（二）进行大量重复试验
进行足够多次的重复试验，记录事件发生的次数。试验次数越多，频率越容易稳定在概率附近，估计结果越准确。通常建议试验次数不少于 100 次，对于复杂事件，试验次数应更多。
（三）计算频率
根据试验记录，计算事件发生的频率\(\frac{m}{n}\)。
（四）估计概率
观察频率的变化趋势，当频率稳定在某个常数附近时，用这个常数作为事件概率的估计值。
（五）验证估计结果
通过多次独立试验或扩大试验规模，验证估计的概率是否具有稳定性和合理性。
例 1：
某射击运动员在训练中进行了 1000 次射击试验，其中命中靶心的次数为 820 次，估计该运动员射击命中靶心的概率。
解：
确定试验条件：运动员在相同训练条件下进行射击，每次射击的环境、姿势等保持一致。
进行试验：共射击 1000 次，命中靶心 820 次。
计算频率：命中靶心的频率 = \(\frac{820}{1000} = 0.82\)。
估计概率：由于试验次数较多（1000 次），频率稳定在 0.82 附近，因此估计该运动员射击命中靶心的概率为 0.82。
例 2：
为估计一批产品的次品率，从这批产品中随机抽取 100 件进行检验，发现有 5 件次品；再抽取 200 件检验，发现有 9 件次品；继续抽取 300 件检验，发现有 16 件次品。估计这批产品的次品率。
解：
累计试验数据：
第一次试验：抽取 100 件，次品 5 件，次品频率 = \(\frac{5}{100} = 0.05\)；
第二次试验：累计抽取 300 件，次品 5 + 9 = 14 件，次品频率 = \(\frac{14}{300} \approx 0.047\)；
第三次试验：累计抽取 600 件，次品 14 + 16 = 30 件，次品频率 = \(\frac{30}{600} = 0.05\)。
观察频率稳定性：三次试验的次品频率分别为 0.05、0.047、0.05，稳定在 0.05 附近。
估计概率：因此估计这批产品的次品率为 0.05（即 5%）。
三、用频率估计概率的实际应用
用频率估计概率在实际生活中有着广泛的应用，尤其适用于无法通过理论计算概率的场景，如天气预报、产品质量检测、医学研究等。
（一）产品质量检测
在工业生产中，常用频率估计产品的合格率、次品率等，为质量控制提供依据。
例 3：
某工厂生产一批灯泡，随机抽取 500 个灯泡进行寿命测试，其中有 480 个灯泡寿命达到标准，估计这批灯泡的合格率。
解：
合格灯泡的频率 = \(\frac{480}{500} = 0.96\)，
由于试验次数较多，估计这批灯泡的合格率为 0.96（即 96%）。
（二）天气预报
气象部门通过长期记录某地区的降雨情况，用降雨的频率估计降雨概率，为天气预报提供数据支持。
例 4：
某城市过去 1000 天的气象记录显示，有 365 天出现降雨，估计该城市某天降雨的概率。
解：
降雨的频率 = \(\frac{365}{1000} = 0.365\)，
估计该城市某天降雨的概率为 0.365（即 36.5%）。
（三）游戏与抽奖
在抽奖、彩票等游戏中，可用频率估计中奖的概率，帮助参与者了解游戏的公平性。
例 5：
某彩票站销售一种彩票，过去共售出 10000 张，其中有 100 张中奖，估计购买该彩票的中奖概率。
解：
中奖的频率 = \(\frac{100}{10000} = 0.01\)，
估计购买该彩票的中奖概率为 0.01（即 1%）。
（四）医学研究
在医学试验中，通过大量临床试验，用药物有效的频率估计药物有效的概率，评估药物的疗效。
例 6：
一种新药在临床试验中，对 2000 名患者进行治疗，其中 1600 名患者病情得到缓解，估计该药物治疗有效的概率。
解：
治疗有效的频率 = \(\frac{1600}{2000} = 0.8\)，
估计该药物治疗有效的概率为 0.8（即 80%）。
四、频率估计概率的误差与注意事项
（一）误差来源
试验次数不足：试验次数过少时，频率波动较大，无法稳定在概率附近，导致估计误差较大。
试验条件不一致：试验过程中条件发生变化（如设备老化、环境改变等），会影响频率的稳定性。
样本选取不合理：在抽样试验中，样本未随机选取或样本量过小，会导致频率不能反映总体的概率。
（二）注意事项
保证试验次数足够多：试验次数越多，频率越接近概率，估计结果越可靠。一般来说，试验次数应不少于 100 次，对于重要的试验，次数应更多。
确保试验条件一致：严格控制试验条件，避免外部因素干扰，保证每次试验的公平性和一致性。
随机选取样本：在抽样试验中，应采用随机抽样的方法选取样本，确保样本具有代表性，避免因样本偏差导致估计错误。
理解估计的不确定性：用频率估计的概率是近似值，而非精确值，存在一定的误差。在实际应用中，需根据试验次数和稳定性判断误差大小。
结合理论分析：对于可通过理论计算概率的事件（如等可能事件），应优先用理论方法计算，频率估计可作为验证手段。
五、常见错误与误区
混淆频率与概率：将某次试验的频率当作概率，例如认为 “掷 10 次硬币正面朝上 6 次，因此正面朝上的概率是 0.6”，忽略了频率的随机性和概率的稳定性。
试验次数不足却过度相信结果：仅通过少数几次试验的频率就估计概率，例如 “射击 3 次命中 2 次，就认为命中率是\(\frac{2}{3}\)”，导致估计结果偏差较大。
忽略试验条件的一致性：在不同条件下进行试验，却将频率合并计算，例如 “第一天晴天射击命中率 0.8，第二天雨天射击命中率 0.6，合并后认为命中率是 0.7”，忽略了天气对射击的影响。
认为频率稳定就是完全相等：错误地认为当试验次数足够多时，频率会等于概率，实际上频率只是稳定在概率附近，可能会有微小波动。
对非随机事件用频率估计概率：对确定性事件（如 “太阳从东方升起”）或非随机事件用频率估计概率，这类事件的概率为 1 或 0，无需通过试验估计。
六、解题技巧总结
明确问题类型：判断事件是否可通过理论计算概率，若不能，则采用频率估计法。
收集试验数据：记录试验总次数和事件发生的次数，确保数据准确。
计算频率并观察稳定性：多次计算频率，观察其是否稳定在某个常数附近。
合理估计概率：用稳定的频率值作为概率的估计值，并注明估计的依据（如试验次数）。
分析误差并改进：若估计结果误差较大，需增加试验次数或优化试验条件，提高估计的准确性。
七、课堂总结
频率与概率的关系：频率是试验的统计值，随次数变化；概率是事件的固有属性，是频率的稳定值。当试验次数足够多时，频率可估计概率。
估计方法步骤：确定条件→大量试验→计算频率→估计概率→验证结果。
实际应用场景：产品质量检测、天气预报、游戏抽奖、医学研究等无法理论计算概率的场景。
注意事项：保证试验次数足够、条件一致、样本随机，理解估计的不确定性。
用频率估计概率是一种基于试验的统计方法，体现了 “从实践中来到实践中去” 的数学思想。通过本节学习，应能理解频率与概率的区别和联系，掌握用频率估计概率的方法，并能在实际问题中合理应用，同时认识到估计结果的误差和局限性。
八、课后作业
某同学做掷骰子试验，共掷了 500 次，其中点数为 6 的次数为 80 次，估计掷一次骰子点数为 6 的概率。
为估计某鱼塘中鱼的数量，第一次捕捞出 100 条鱼并做标记后放回，一段时间后第二次捕捞出 200 条鱼，其中有标记的鱼有 20 条，估计鱼塘中鱼的总数（提示：用标记鱼的频率估计标记鱼的概率）。
某品牌节能灯的使用寿命测试中，随机抽取 1000 只节能灯，其中 950 只使用寿命超过 5000 小时，估计该品牌节能灯使用寿命超过 5000 小时的概率。
某班有 50 名同学，随机选取一名同学调查其生日在 1 月份的情况，重复试验 100 次，其中有 8 次选中生日在 1 月份的同学，估计该班同学生日在 1 月份的概率。
设计一个试验，估计你掷一枚质地不均匀的骰子（或其他非均匀物体）某一面朝上的概率，写出试验步骤、数据记录和估计结果。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2 用频率估计概率
第三章　概率的进一步认识
a
i
T
u
j
m
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a
N
g
播放
<<红楼梦>>第62回中有这样的情节:
当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同……
　　　袭人笑道：“这是他来给你拜寿.今儿也是他们生日，你也该给他拜寿.”宝玉听了喜的忙作了下揖去，说：“原来今儿也是姐妹们芳诞。”平儿还福不迭……
　　　探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿？我怎么就忘了。”
　　　……
　　　探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几个生日。人多了，便这等巧，也有三个一日的，两个一日的……
400个同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？
300个同学中，一定有2人的生日相同吗？
探究新知
50个人中有2人生日相同的概率
探究新知
如果你们班50个同学中有两个同学的生日相同，那么说明50个同学中有两个同学的生日相同的概率是1吗？为什么
想一想
如果你们班50个同学中没有两个同学的生日相同，那么能说明50个同学中没有两个同学的生日相同的概率是0吗？为什么？
想一想
做一做
（1）每个同学课外调查10个人的生日.
（2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案，估计50个人中有两个人的生日相同的概率.
达标检测
1. (1)课外调查的10个人的生肖分别是什么
(2)他们中有2个人的生肖相同吗 为什么
(3) 6个人中呢 为什么
(4)利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有两个人的生肖相同的概率.
【选自教材P70 随堂练习】
达标检测
2. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球.请你估计这个口袋中红球和白球的数量.
【选自教材P70 随堂练习】
红球7个，白球3个.
达标检测
【选自教材P70 习题3.4】
3. 小明和几位同学在课堂上进行摸球试验，大家认为，摸球的人每次摸球前应当将盒中的球摇一摇，使得每个球被摸到的可能性相同.但小明有不同想法，他认为，如果连续两次都是自己摸球，那么他只要在第二次摸球时有意识地避开第一次放进去的那个球，而随意的摸取其他球，就可以保证每个球被摸到的可能性相同.你觉得他的想法对吗？为什么？
返回
C
1.
关于频率和概率的关系，下列说法正确的是(　　)
A．频率等于概率
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
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2.
D
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3.
C
通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为(　　)
返回
4.
0.53
[2024扬州中考] 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后，整理的试验数据如下表：
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为________(精确到0.01)．
累计抛 掷次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000
盖面朝 上次数 28 54 106 157 264 527 1 056
盖面朝 上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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