资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2 平行线分线段成比例
副标题：探索几何中的比例奥秘
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论。（重点）
能熟练运用平行线分线段成比例及其推论解决相关几何问题。（难点）
通过观察、猜想、验证等过程，培养逻辑推理能力和数学思维。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：展示生活中梯子的图片，如：一架梯子斜靠在墙上，梯子的横档互相平行。
提出问题：由生活常识可知，若梯子的横档间距离相等（即 AA = BB = CC ），那么在梯子与墙面和地面相交形成的线段中，你能猜想出有什么关系吗？
幻灯片 4：知识回顾
成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，如果 a:b = c:d，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段。
比例的基本性质：若 a:b = c:d，则 ad = bc（b≠0，d≠0）。反之，若 ad = bc（b≠0，d≠0），则 a:b = c:d 。
幻灯片 5：探究平行线分线段的关系
展示图形：给出一组等距离的平行线 a∥b∥c，直线 m、n 与这组平行线相交，交点分别为 A 、A 、A 、B 、B 、B 。
提出问题：
结合图计算 A A 、A A 、A A 、B B 、B B 、B B 的长度。
计算\(\frac{A_{1}A_{2}}{A_{2}A_{3}}\)与\(\frac{B_{1}B_{2}}{B_{2}B_{3}}\)、\(\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}\)与\(\frac{B_{1}B_{2}}{B_{1}B_{3}}\) 等的值，你有什么发现？
学生活动：引导学生观察图形，测量线段长度并计算比值，小组讨论交流发现。
幻灯片 6：平行线分线段成比例定理（基本事实）
定理内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言：若 a∥b∥c，则\(\frac{A_{1}A_{2}}{A_{2}A_{3}}\) = \(\frac{B_{1}B_{2}}{B_{2}B_{3}}\) ，\(\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}\) = \(\frac{B_{1}B_{2}}{B_{1}B_{3}}\) ，\(\frac{A_{2}A_{3}}{A_{1}A_{3}}\) = \(\frac{B_{2}B_{3}}{B_{1}B_{3}}\)等 。
强调要点：
对应线段的理解：对应线段是指在两条被截直线上，由平行线所截得的位置相对应的线段。
所有的成比例线段是指两条被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关。
在应用该定理得到的比例式中，四条线段与两直线的交点位置无关，写比例式时，要注意将对应线段写在对应的位置上。
幻灯片 7：例题讲解 1
例 1 题目：如图，直线 a∥b∥c，直线 m、n 与这组平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F 。已知 AB = 3，BC = 5，DE = 4，求 EF 的长。
分析过程：
根据平行线分线段成比例定理，因为 a∥b∥c，所以\(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{DE}{EF}\) 。
已知 AB = 3，BC = 5，DE = 4，将数值代入比例式。
解答过程：
由\(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{DE}{EF}\)，可得\(\frac{3}{5}\) = \(\frac{4}{EF}\) 。
交叉相乘得：3EF = 4×5 。
解得 EF = \(\frac{20}{3}\) 。
总结方法：利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，求出待求线段长。
幻灯片 8：练习 1
题目：如图，AD 与三条平行线 l 、l 、l 分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F ，若 AB = 2，AC = 6，DE = 1.5，则 EF 的长为（ ）
A. 7.5 B. 6 C. 4.5 D. 3
学生活动：学生独立思考解答，教师巡视指导，之后请学生回答并讲解思路。
幻灯片 9：推论探究
展示图形：将直线 n 向左平移，使其中一条平行线经过三角形的一个顶点，如在△ABC 中，DE∥BC 。
提出问题：在这个图形中，由平行线分线段成比例定理，你能得到哪些线段成比例？
学生活动：引导学生观察图形，结合平行线分线段成比例定理，小组讨论得出结论。
幻灯片 10：平行线分线段成比例定理的推论
推论内容：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例。
符号语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则\(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\) ，\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) ，\(\frac{DB}{AB}\) = \(\frac{EC}{AC}\) 。
常见变形图形展示：展示几种常见的符合该推论的图形，如 “A” 字型和 “8” 字型，帮助学生加深理解。
幻灯片 11：例题讲解 2
例 2 题目：在△ABC 中，EF∥BC 。
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
(2) 如果 AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
分析过程：
对于 (1)，因为 EF∥BC，根据推论可得\(\frac{AE}{EB}\) = \(\frac{AF}{FC}\) 。
对于 (2)，由 EF∥BC，可得\(\frac{AE}{AB}\) = \(\frac{AF}{AC}\)，先求出 AC 的长，再求 FC 的长。
解答过程：
(1) 因为\(\frac{AE}{EB}\) = \(\frac{AF}{FC}\)，AE = BE = 7，FC = 4，所以\(\frac{7}{7}\) = \(\frac{AF}{4}\)，解得 AF = 4 。
(2) 因为\(\frac{AE}{AB}\) = \(\frac{AF}{AC}\)，AB = 10，AE = 6，AF = 5，所以\(\frac{6}{10}\) = \(\frac{5}{AC}\)，解得 AC = \(\frac{25}{3}\)，则 FC = AC - AF = \(\frac{25}{3}\) - 5 = \(\frac{10}{3}\) 。
总结方法：紧扣 “基本图形中的比例式” 的特征，结合已知条件找出合适的比例式求解。
幻灯片 12：练习 2
题目：
如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = 。
如图，在△ABC 中，EF//CD，DE//BC 。求证：AF:FD = AD:DB 。
学生活动：学生独立完成练习，教师请学生上台板演或讲解解题过程，集体订正。
幻灯片 13：课堂小结
知识梳理：
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例。
方法总结：
利用平行线分线段成比例及其推论求线段长时，关键是准确找出对应线段，写出正确的比例式。
遇到几何问题，要善于观察图形，识别出 “A” 字型、“8” 字型等基本图形，运用相应的比例关系解题。
幻灯片 14：课堂检测
如图，已知 l ∥l ∥l ，下列比例式中错误的是（ ）
A. \(\frac{AB}{BC}\) = \(\frac{DE}{EF}\)
B. \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{DE}{DF}\)
C. \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{EF}{DF}\)
D. \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{DF}\)
如图，在△ABC 中，EF∥BC，AE = 2cm，BE = 6cm，BC = 4cm，则 EF 长（ ）
A. 1cm
B. \(\frac{4}{3}\)cm
C. 3cm
D. 2cm
在△ABC 中，ED//AB，若\(\frac{CE}{CA}\) = \(\frac{2}{5}\)，则\(\frac{CD}{CB}\) = 。
如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE = 5cm，AF = 4cm，求菱形的边长。
幻灯片 15：课堂检测答案
答案：D
解析：根据平行线分线段成比例定理，A、B、C 选项均正确，D 选项中 AB 与 DE、BC 与 EF 不是对应线段，比例式错误。
答案：A
解析：因为 EF∥BC，所以\(\frac{AE}{AB}\) = \(\frac{EF}{BC}\) ，AB = AE + BE = 2 + 6 = 8cm，代入可得\(\frac{2}{8}\) = \(\frac{EF}{4}\)，解得 EF = 1cm 。
答案：\(\frac{2}{5}\)
解析：因为 ED//AB，所以\(\frac{CE}{CA}\) = \(\frac{CD}{CB}\) = \(\frac{2}{5}\) 。
答案：设菱形的边长为 xcm 。
解析：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 CD∥AB，则\(\frac{CD}{AE}\) = \(\frac{DF}{AF}\) ，即\(\frac{x}{5}\) = \(\frac{4 - x}{4}\) ，交叉相乘得 4x = 5 (4 - x) ，4x = 20 - 5x ，9x = 20 ，解得 x = \(\frac{20}{9}\)cm ，即菱形的边长为\(\frac{20}{9}\)cm 。
幻灯片 16：拓展提升
如图，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是 AD 的中点，CM 交 AB 于点 P，DN∥CP 。
(1) 若 AB = 6cm，求 AP 的长；
(2) 若 PM = 1cm，求 PC 的长。
分析提示：
对于 (1)，利用等腰三角形三线合一及平行线分线段成比例推论，可得出线段之间的比例关系求解 AP 。
对于 (2)，根据平行线分线段成比例推论，结合 (1) 中结论，找出 PC 与 PM 的关系求解 PC 。
解答过程（简略）：
(1) 因为 AB = AC，AD⊥BC，M 是 AD 中点，所以 DB = DC，AM = MD 。又 DN∥CP，可得\(\frac{AP}{PN}\) = \(\frac{AM}{MD}\) = 1，\(\frac{PN}{NB}\) = \(\frac{DM}{MA}\) = 1，即 AP = PN = NB 。因为 AB = 6cm，所以 AP = 2cm 。
(2) 由 DN∥CP，可得\(\frac{PM}{DN}\) = \(\frac{AM}{AD}\) = \(\frac{1}{2}\)，\(\frac{DN}{PC}\) = \(\frac{BD}{BC}\) = \(\frac{1}{2}\) ，所以 PC = 2ND = 4PM 。因为 PM = 1cm，所以 PC = 4cm 。
幻灯片 17：课后作业
教材课后相关练习题。
拓展作业：寻找生活中还有哪些场景可以用平行线分线段成比例的知识来解释，并记录下来。
幻灯片 18：结束页
感谢语：感谢同学们的积极参与和认真学习！希望大家通过本节课的学习，对平行线分线段成比例有更深入的理解，在今后的几何学习中能够灵活运用这一知识。
鼓励语：数学的世界丰富多彩，每一个新的发现都可能开启一扇智慧之门，期待大家在数学学习中不断探索，收获更多的知识和快乐！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2 平行线分线段成比例
第四章　图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情景导入
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是 2:3
A
B
C
探究新知
探究活动一
如图，小方格的边长都是1，直线 l1∥l2∥l3 ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。
　　　
计算 你有什么发现？
（1）
l1
l2
l3
（2）将l2向下平移到如下图的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将 l2 平移到其他位置呢？
(图2）
l1
l2
l3
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥c ，则 。
1.如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
议一议
如图左，直线 a∥b∥c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 ，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3（如图右），图右中有哪些成比例线段？
探究新知
图左
图右
做一做
m
n
A1
A2
A3
B1
B2
B3
a
b
c
m
A1
A2
A3
B1
B2
B3
a
b
c
n
C2
C3
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
推论
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
熟悉该定理及推论的几种基本图形
例 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC .
（1）如果AE = 7, EB=5，FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
（2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
A
B
C
E
F
解：
达标检测
1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求 x 的值 .
【选自教材P84 随堂练习】
x
3
4
7
达标检测
2. 如图，两条直线被三条平行线所截 .
（1）在图（1）中，AB = 5, BC = 7 ，EF=4，求DE的长；
（2）在图（2）中，DE = 6, EF = 7 ，AB=5，求AC的长 .
l3
l2
A
B
C
D
E
F
l1
（1）
l3
l2
A
B
C
D
E
F
l1
（2）
【选自教材P84 习题4.3】
3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC .
（1）如果AD = 3.2cm， DB = 1.2cm ，AE=2.4cm，那么 EC 的长是多少？
（2）如果 AB = 5cm, AD = 3cm，AC = 4cm ，那么 EC的长是多少？
A
B
C
D
E
解（1）EC=0.9 cm
（2）EC=1.6 cm
【选自教材P84 随堂练习 第2题】
达标检测
达标检测
4.如图，在△ABC 中，D，E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC， ，求
【选自教材P84 习题4.3】
A
B
C
D
E
达标检测
5.如图，在△ABC 中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥BC， EF∥AB， AD∶DB = 2∶3 ，BC=20 cm，求BF的长.
A
B
F
C
D
E
返回
B
1.
如图，l1∥l2∥l3，则下列比例式成立的是(　　)
返回
2.
B
返回
3.
6
[2025西安期中] 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝4，BC＝8，DF＝9，则EF的长为________．
4.
如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.
(1)若AB＝8，BC＝4，EF＝12，求DE的长；
(2)若DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．
返回
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5.
A
课堂小结
1. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例；
2. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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