资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.5 相似三角形判定定理的证明
副标题：严谨推理，夯实基础
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握相似三角形三个判定定理的证明过程。（重点）
体会证明过程中所运用的数学思想方法，如转化思想、构造法等。（难点）
培养严谨的逻辑推理能力和对数学证明的严谨性的认识。
幻灯片 3：情景引入
提出问题：我们已经学习了相似三角形的三个判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。这些定理为什么是正确的呢？它们的证明过程蕴含着怎样的数学推理？
引入课题：今天我们就来深入探究这些判定定理的证明方法，感受数学证明的严谨性。
幻灯片 4：知识回顾
相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
已学相关知识：
平行线分线段成比例定理及其推论。
全等三角形的判定定理（SAS、ASA、SSS 等）。
比例的基本性质。
幻灯片 5：判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似
定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。
已知：在△ABC 和△A B C 中，∠A = ∠A ，∠B = ∠B 。
求证：△ABC∽△A B C 。
证明思路：
要证明两个三角形相似，需证明三个角分别相等且三条边成比例。
由三角形内角和定理，可推出∠C = ∠C ，即三个角分别相等。
重点证明三条边成比例，可通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理及全等三角形进行转化。
证明过程：
假设 AB > A B ，在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E 。
因为 DE∥BC，所以∠ADE = ∠B = ∠B ，∠AED = ∠C 。
又因为∠A = ∠A ，AD = A B ，所以△ADE≌△A B C （ASA）。
由 DE∥BC，得\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\) 。
因为△ADE≌△A B C ，所以 A B = AD，A C = AE，B C = DE 。
因此\(\frac{A_{1}B_{1}}{AB}\) = \(\frac{A_{1}C_{1}}{AC}\) = \(\frac{B_{1}C_{1}}{BC}\) ，且三个角分别相等，故△ABC∽△A B C 。
要点强调：构造全等三角形是证明边成比例的关键，体现了转化的数学思想。
幻灯片 6：练习 1（针对定理一证明）
题目：在证明两角分别相等的两个三角形相似时，为什么可以通过构造平行线得到比例线段？请结合平行线分线段成比例定理说明。
学生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师进行点评和补充。
幻灯片 7：判定定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
已知：在△ABC 和△A B C 中，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = k，∠A = ∠A 。
求证：△ABC∽△A B C 。
证明思路：
同样通过构造辅助线，在较长的边上截取与较短边相等的线段，构造全等三角形。
利用平行线分线段成比例定理得到对应边成比例，进而证明三角形相似。
证明过程：
在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E 。
则∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\) 。
因为\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = k，AD = A B ，所以\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{1}{k}\)，则 AE = \(\frac{1}{k}\)AC 。
又因为\(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = k，所以 A C = \(\frac{1}{k}\)AC = AE 。
因为∠A = ∠A ，AD = A B ，AE = A C ，所以△ADE≌△A B C （SAS）。
因此∠ADE = ∠B ，∠AED = ∠C ，进而∠B = ∠B ，∠C = ∠C 。
又因为对应边成比例，所以△ABC∽△A B C 。
要点强调：通过比例关系转化线段长度，构造全等三角形是证明的核心步骤。
幻灯片 8：练习 2（针对定理二证明）
题目：在证明两边成比例且夹角相等的两个三角形相似时，构造的△ADE 为什么与△A B C 全等？请详细说明全等的条件。
学生活动：学生独立思考后，在练习本上写出答案，教师抽查并讲解。
幻灯片 9：判定定理三：三边成比例的两个三角形相似
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
已知：在△ABC 和△A B C 中，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = k 。
求证：△ABC∽△A B C 。
证明思路：
在较长的边 AB 上截取线段 AD 等于 A B ，构造△ADE，使△ADE 与△A B C 全等。
利用三边对应成比例证明△ADE∽△ABC，进而得到△ABC 与△A B C 相似。
证明过程：
在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E 。
则△ADE∽△ABC，所以\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\) = \(\frac{1}{k}\) 。
因此 AE = \(\frac{1}{k}\)AC = A C ，DE = \(\frac{1}{k}\)BC = B C 。
因为 AD = A B ，AE = A C ，DE = B C ，所以△ADE≌△A B C （SSS）。
所以△ABC∽△A B C 。
要点强调：先构造相似三角形，再借助全等三角形完成证明，体现了知识间的内在联系。
幻灯片 10：练习 3（针对定理三证明）
题目：在三边成比例的两个三角形相似的证明中，为什么先证明△ADE∽△ABC？这一步的作用是什么？
学生活动：学生小组交流讨论，教师引导学生理解这一步是为了建立与△A B C 的联系。
幻灯片 11：三种判定定理证明的比较与总结
相同点：
都运用了构造辅助线（平行线）的方法。
都借助了全等三角形进行转化。
最终都回归到相似三角形的定义进行证明。
不同点：
构造全等三角形的依据不同，分别对应 ASA、SAS、SSS 全等判定定理。
证明过程中利用比例关系的侧重点不同。
数学思想：转化思想、构造法在证明过程中贯穿始终，将未知问题转化为已知问题。
幻灯片 12：例题讲解
例 1 题目：利用相似三角形判定定理的证明思路，证明：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
分析过程：
已知两个直角三角形 Rt△ABC 和 Rt△A B C ，∠C = ∠C = 90°，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) 。
可仿照两边成比例且夹角相等的判定定理证明方法，构造辅助线进行证明。
解答过程：
在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E 。
因为∠C = 90°，DE⊥AC，所以 DE∥BC，△ADE∽△ABC 。
由相似得\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\) ，结合已知比例关系可得 AE = A C 。
证明△ADE≌△A B C （HL），进而得到△ABC∽△A B C 。
幻灯片 13：课堂小结
知识梳理：
详细回顾了三个相似三角形判定定理的证明过程。
明确了每个定理证明的关键步骤和依据。
方法总结：
构造辅助线（平行线）是证明的重要手段。
全等三角形在转化线段和角的关系中起到关键作用。
转化思想是解决此类证明问题的核心思想。
幻灯片 14：课堂检测
下列关于相似三角形判定定理证明的说法中，正确的是（ ）
A. 证明过程中不需要用到全等三角形
B. 只有两角分别相等的判定定理需要构造平行线
C. 三边成比例的判定定理证明中用到了 SSS 全等判定
D. 证明的最终依据是相似三角形的定义
尝试简述 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的证明思路。
幻灯片 15：课堂检测答案
答案：C、D
解析：A 选项错误，证明过程中都用到了全等三角形；B 选项错误，三个定理证明都用到了构造平行线；C 选项正确，三边成比例的判定定理证明中用了 SSS 全等判定；D 选项正确，最终都依据相似三角形定义证明。
答案：在较长边 AB 上截取 AD = A B ，作 DE∥BC 交 AC 于 E，由平行线分线段成比例得\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\)，结合已知比例得 AE = A C ，再证△ADE≌△A B C （SAS），进而通过角相等和边成比例证明△ABC∽△A B C 。
幻灯片 16：拓展提升
题目：运用今天学习的证明方法，尝试证明：如果两个三角形的两组对应边成比例，且其中一组对应边的对角相等，那么这两个三角形不一定相似（举反例说明或进行逻辑证明）。
分析提示：可以构造一个锐角三角形和一个钝角三角形，使它们有两组对应边成比例，且一组对应边的对角相等，但两个三角形不相似。
解答思路：
画△ABC，使 AB = 4，AC = 6，∠B = 60° 。
以 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 D，连接 AD 。
则△ABD 和△ABC 中，AB = AB，AD = AC，∠B = ∠B，但△ABD 与△ABC 不相似 。
幻灯片 17：课后作业
教材课后相关练习题，重新梳理三个判定定理的证明过程，写出证明步骤。
思考题：除了本节课学习的证明方法，你还能想到其他证明相似三角形判定定理的方法吗？尝试查阅资料并整理。
幻灯片 18：结束页
感谢语：感谢同学们的认真思考和积极参与！通过今天的学习，我们深入理解了相似三角形判定定理的证明过程。
鼓励语：数学证明需要严谨的逻辑和创新的思维，希望大家在今后的学习中继续保持这份严谨和探索精神！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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4.5 相似三角形判定定理的证明
第四章　图形的相似
复习导入
判定两个三角形相似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
∵∠A =∠A′ ，
∴△ABC∽△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠B＝∠ADE，
∠C＝∠AED，
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠A＝∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
探究新知
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
你要如何
证明呢？
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
随堂练习
1. 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.
C
A
B
E
D
F
△ABC∽△DEF
证明：等边三角形ABC中， AE=BF=CD
则BE=CF=AD，∠A=∠B=∠C
∴△AED≌△BFE≌△CDF
∴DE=DF=EF
∴△EFD是等边三角形
∴∠EDF=∠A=60°，∠EFD=∠B=60°
∴△ABC∽△DEF
2. 已知：如图， 求证：AB＝AE.
A
B
D
E
C
证明：
∴△ADE∽△CAB
∴∠B=∠AEB
∴AB=AE
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A
1.
2.
②④①③⑤(或①③②④⑤)
李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了证明过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是___________________________．
已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，
求证：△ADE∽△DBF.证明：
①∵DF∥AC，②∵DE∥BC，
③∴∠A＝∠BDF，④∴∠ADE＝∠B，⑤∴△ADE∽△DBF.
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3.
∠A＝∠D(答案不唯一)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB∥DE，若使△ABC∽△DEF，则还需添加一个条件是____________________．(只需填一个)
4.
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：
(1)AD2＝AE·AC；
证明：由(1)可知，∠ADC＝∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ABC＝60°.
∴∠ABD＝∠ECD＝120°.
∴△ABD∽△DCE.
(2)△ABD∽△DCE.
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5.
C
[2025扬州月考]下列条件能判断△ABC∽△A′B′C′的是(　　)
通过本节课的学习，你有哪些收获？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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