资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.7.1 相似三角形中特殊线段的性质
副标题：深入探究相似三角形的内在联系
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
掌握相似三角形中高、中线、角平分线等特殊线段的性质。（重点）
能够证明相似三角形中特殊线段的性质，并运用性质解决相关问题。（难点）
体会类比和转化的数学思想，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
两个相似的三角形，分别画出它们的一条高、一条中线和一条角平分线。
提出问题：
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，那么它们的高、中线、角平分线这些特殊线段之间有什么关系呢？
今天我们就来探究相似三角形中特殊线段的性质。
幻灯片 4：知识回顾
相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
对应角相等。
对应边成比例，相似比为\(k\)。
三角形的特殊线段：高、中线、角平分线。
幻灯片 5：探究一：相似三角形对应高的性质
提出问题：如图，△ABC∽△A B C ，相似比为\(k\)，AD 和 A D 分别是 BC 和 B C 边上的高，那么 AD 与 A D 的比与相似比\(k\)有什么关系？
证明过程：
因为△ABC∽△A B C ，所以∠B = ∠B 。
又因为 AD⊥BC，A D ⊥B C ，所以∠ADB = ∠A D B = 90° 。
因此△ABD∽△A B D （两角分别相等的两个三角形相似）。
所以\(\frac{AD}{A_{1}D_{1}}\) = \(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(k\) 。
结论：相似三角形对应高的比等于相似比。
幻灯片 6：练习 1（对应高的性质）
题目：已知△ABC∽△DEF，相似比为 2:3，△ABC 中 BC 边上的高为 4cm，求△DEF 中 EF 边上的高。
学生活动：学生独立完成，教师请学生讲解解题思路。
幻灯片 7：探究二：相似三角形对应中线的性质
提出问题：如图，△ABC∽△A B C ，相似比为\(k\)，AE 和 A E 分别是 BC 和 B C 边上的中线，那么 AE 与 A E 的比与相似比\(k\)有什么关系？
证明过程：
因为△ABC∽△A B C ，所以\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(k\)，∠B = ∠B 。
因为 AE 和 A E 是中线，所以 BE = \(\frac{1}{2}\)BC，B E = \(\frac{1}{2}\)B C ，因此\(\frac{BE}{B_{1}E_{1}}\) = \(k\) 。
所以△ABE∽△A B E （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
所以\(\frac{AE}{A_{1}E_{1}}\) = \(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(k\) 。
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。
幻灯片 8：练习 2（对应中线的性质）
题目：△ABC∽△A B C ，相似比为 1:4，△A B C 中 A B 边上的中线长为 12cm，求△ABC 中 AB 边上的中线长。
学生活动：学生分组讨论，完成后小组代表发言。
幻灯片 9：探究三：相似三角形对应角平分线的性质
提出问题：如图，△ABC∽△A B C ，相似比为\(k\)，AF 和 A F 分别是∠BAC 和∠B A C 的角平分线，那么 AF 与 A F 的比与相似比\(k\)有什么关系？
证明过程：
因为△ABC∽△A B C ，所以∠BAC = ∠B A C ，∠B = ∠B ，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(k\) 。
因为 AF 和 A F 是角平分线，所以∠BAF = \(\frac{1}{2}\)∠BAC，∠B A F = \(\frac{1}{2}\)∠B A C ，因此∠BAF = ∠B A F 。
所以△ABF∽△A B F （两角分别相等的两个三角形相似）。
所以\(\frac{AF}{A_{1}F_{1}}\) = \(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(k\) 。
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
幻灯片 10：练习 3（对应角平分线的性质）
题目：已知△ABC∽△DEF，∠A 和∠D 是对应角，△ABC 中∠A 的角平分线长为 5cm，△DEF 中∠D 的角平分线长为 10cm，求△ABC 与△DEF 的相似比。
学生活动：学生独立完成，教师巡视指导。
幻灯片 11：相似三角形特殊线段性质总结
共性结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
符号表示：若△ABC∽△A B C ，相似比为\(k\)，对应高分别为\(h\)和\(h_1\)，对应中线分别为\(m\)和\(m_1\)，对应角平分线分别为\(t\)和\(t_1\)，则\(\frac{h}{h_1}\) = \(\frac{m}{m_1}\) = \(\frac{t}{t_1}\) = \(k\) 。
拓展思考：相似三角形中其他特殊线段（如中位线）的比是否也等于相似比？（提示：中位线是中线的特殊情况，因此也满足）
幻灯片 12：例题讲解 1
例 1 题目：如图，△ABC∽△DEF，相似比为 3:5，△ABC 的边 BC 上的高 AD = 6cm，求△DEF 的边 EF 上的高 DG 的长；若△DEF 的边 DE 上的中线为 15cm，求△ABC 的边 AB 上的中线的长。
分析过程：
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可直接列出比例式求 DG。
同理，利用对应中线的比等于相似比求△ABC 中 AB 边上的中线。
解答过程：
因为△ABC∽△DEF，相似比为 3:5，所以\(\frac{AD}{DG}\) = \(\frac{3}{5}\) 。
已知 AD = 6cm，即\(\frac{6}{DG}\) = \(\frac{3}{5}\)，解得 DG = 10cm 。
设△ABC 的边 AB 上的中线为\(m\)，则\(\frac{m}{15}\) = \(\frac{3}{5}\)，解得\(m\) = 9cm 。
答：DG 的长为 10cm，△ABC 的边 AB 上的中线长为 9cm 。
幻灯片 13：例题讲解 2
例 2 题目：在△ABC 和△A B C 中，AD 和 A D 分别是 BC 和 B C 边上的高，且\(\frac{AD}{A_{1}D_{1}}\) = \(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\)，∠B = ∠B 。求证：△ABC∽△A B C 。
分析过程：
先证明△ABD∽△A B D ，得到对应角相等和对应边成比例。
再结合已知条件推出△ABC 与△A B C 的对应角相等和对应边成比例，从而证明相似。
解答过程：
因为 AD⊥BC，A D ⊥B C ，所以∠ADB = ∠A D B = 90° 。
又因为\(\frac{AD}{A_{1}D_{1}}\) = \(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\)，∠B = ∠B ，所以△ABD∽△A B D （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
所以∠BAD = ∠B A D ，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) 。
进而可证∠BAC = ∠B A C ，又∠B = ∠B ，所以△ABC∽△A B C （两角分别相等的两个三角形相似）。
幻灯片 14：练习 4
题目：△ABC∽△DEF，相似比为 2:3，△ABC 的周长为 16cm，面积为 12cm ，求△DEF 的周长和面积；若△ABC 中 AC 边上的角平分线长为 4cm，求△DEF 中 DF 边上的角平分线长。
学生活动：学生独立完成，教师对周长、面积和角平分线的计算分别进行讲解。
幻灯片 15：课堂小结
知识梳理：
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
这些性质可用于解决线段长度的计算和三角形相似的证明问题。
方法总结：
证明特殊线段的比等于相似比时，常通过证明包含该线段的两个三角形相似。
运用性质解题时，要准确找出对应线段，明确相似比的关系。
幻灯片 16：课堂检测
下列关于相似三角形特殊线段性质的说法中，正确的是（ ）
A. 相似三角形对应高的比等于周长比
B. 相似三角形对应中线的比等于面积比
C. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
D. 相似三角形对应边的比不等于对应高的比
△ABC∽△A B C ，相似比为 1:2，△ABC 中 BC 边上的高为 3，则△A B C 中 B C 边上的高为 。
已知△ABC∽△DEF，∠B 和∠E 是对应角，△ABC 中∠B 的角平分线长为 6，△DEF 中∠E 的角平分线长为 18，求△ABC 与△DEF 的相似比及面积比。
幻灯片 17：课堂检测答案
答案：C
解析：相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，所以 A、B、D 错误，C 正确。
答案：6
解析：设△A B C 中 B C 边上的高为\(h\)，由\(\frac{3}{h}\) = \(\frac{1}{2}\)，得\(h\) = 6 。
答案：相似比为\(\frac{6}{18}\) = \(\frac{1}{3}\) 。
解析：面积比为相似比的平方，即\(\left(\frac{1}{3}\right)^2\) = \(\frac{1}{9}\) 。
幻灯片 18：拓展提升
题目：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，△ABC∽△ACD，求△ABC 与△ACD 的相似比。
分析提示：
设 AB = AC = \(x\)，BC = \(2y\)，则 BD = DC = \(y\) 。
由△ABC∽△ACD，根据对应边成比例列出关系式求解。
解答过程：
因为△ABC∽△ACD，所以\(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{BC}{CD}\) = \(\frac{AC}{AD}\) 。
因为 AB = AC，所以\(\frac{x}{x}\) = \(\frac{2y}{y}\) = 2，即相似比为 2:1 。
幻灯片 19：课后作业
教材课后相关练习题。
思考题：相似三角形中，对应边上的垂直平分线的比是否等于相似比？请尝试证明。
幻灯片 20：结束页
感谢语：感谢同学们的积极探究！今天我们学习了相似三角形中特殊线段的性质，进一步加深了对相似三角形的认识。
鼓励语：数学的探索永无止境，希望大家继续保持好奇心和严谨的思维，在数学的世界里收获更多知识！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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4.7.1 相似三角形中特殊线段的性质
第四章　图形的相似
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C′D′分别是它们的立柱。
(1)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
(2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
想一想
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
A
B
C
A′
B′
C′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°
△AHB∽∠A′H′B′
同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比
证明
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
∴△ABT∽△A′B′T′
同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点
∵∠B=∠B′
∴△ABD∽△A′B′D′
同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
议一议
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上.
（1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则
等于多少？
（2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则 等于多少？
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABD∽△A′B′D′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ，
∴△ABE∽△A′B′E′
∵BE= BC， B′E′= B′C′
相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ （相似三角形对应高的比等于相似比），
即
当SR= BC时，得 .解得DE= .
当SR= BC时，得 .解得DE= .
随堂练习
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，
，BD=4cm，求B′D′的长.
2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长？
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
返回
B
1.
[2025成都月考]已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为(　　)
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
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2.
20
如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm.
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3.
A
若两个相似三角形的对应边之比为4：5，则这两个相似三角形的对应角平分线之比为(　　)
A．4：5
B．16：5
C．16：25
D．5：4
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4.
已知△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高线和角平分线，若AD＝4，BE＝3，A′D′＝2，则B′E′的长为________．
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5.
B
若△ABC∽△DEF，且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的相似比为(　　)
A．3：2
B．2：3
C．4：9
D．9：16
返回
6.
[教材P108习题T1变式] 两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm，那么较长的中线是________ cm.
相似三角形的性质(1)
相似三角形对应高的比、对应的角平分线的比、对应边上的中线的比等于相似比.
A
B
C
A′
B′
C′
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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