资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.6 利用相似三角形测高
副标题：学以致用，解决实际问题
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
掌握利用相似三角形测量物体高度的基本原理和方法。（重点）
能够运用相似三角形的判定和性质解决实际测高问题。（难点）
体会数学与生活的密切联系，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
高大的树木、建筑物、旗杆等无法直接测量高度的物体。
提出问题：
我们如何在不攀爬树木、不靠近危险建筑物的情况下，测量它们的高度呢？
今天我们就来学习一种巧妙的方法 —— 利用相似三角形测高。
幻灯片 4：知识回顾
相似三角形的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例。
幻灯片 5：利用相似三角形测高的原理
基本原理：利用阳光下的影子，构造两个相似三角形，通过测量已知线段的长度，根据相似三角形对应边成比例求出物体的高度。
原理分析：
阳光下，物体的高度与其影子的长度的比是一个定值。
同一时刻，不同物体的高度和它们的影子的长度成比例。
若能构造两个相似三角形，其中一个三角形的边可以测量，另一个三角形包含被测物体的高度，就可以通过比例关系计算高度。
幻灯片 6：方法一：利用阳光下的影子
测量工具：卷尺、标杆。
测量步骤：
测量出标杆的高度\(h\)。
在同一时刻，测量出标杆的影子长度\(l\)。
测量出被测物体（如旗杆）的影子长度\(L\)。
构造相似三角形：
设被测物体的高度为\(H\)。
标杆和它的影子组成一个直角三角形，被测物体和它的影子组成另一个直角三角形。
因为太阳光线是平行的，所以这两个直角三角形的对应角相等，即两个三角形相似。
计算过程：
由相似三角形对应边成比例可得：\(\frac{h}{l}\) = \(\frac{H}{L}\) 。
解得：\(H\) = \(\frac{hL}{l}\) 。
示例演示：若标杆高度为 1.5m，标杆影子长为 2m，旗杆影子长为 10m，则旗杆高度\(H\) = \(\frac{1.5×10}{2}\) = 7.5m 。
幻灯片 7：练习 1（方法一）
题目：在阳光下，测得一根长为 1m 的竹竿的影长为 0.8m，同时测得一座塔的影长为 24m，求这座塔的高度。
学生活动：学生独立计算，教师请学生上台展示解题过程。
幻灯片 8：方法二：利用标杆
测量工具：卷尺、标杆。
测量步骤：
在被测物体（如大树）前适当位置竖立一根标杆。
调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆的顶端和被测物体的顶端在同一条直线上。
测量出观测者的眼睛到地面的高度\(h\)。
测量出观测者到标杆的距离\(a\)，标杆到被测物体的距离\(b\)。
测量出标杆的高度\(m\)。
构造相似三角形：
设被测物体的高度为\(H\)。
观测者的眼睛、标杆顶端、标杆底部构成一个小直角三角形；观测者的眼睛、被测物体顶端、被测物体底部构成一个大直角三角形。
这两个直角三角形有一个公共角（观测者的视线与水平线的夹角），且都是直角三角形，所以两个三角形相似。
计算过程：
小三角形的一条直角边为（\(m - h\)），另一条直角边为\(a\)。
大三角形的一条直角边为（\(H - h\)），另一条直角边为（\(a + b\)）。
由相似三角形对应边成比例可得：\(\frac{m - h}{a}\) = \(\frac{H - h}{a + b}\) 。
解得：\(H\) = \(h\) + \(\frac{(m - h)(a + b)}{a}\) 。
示例演示：观测者眼睛高度 1.6m，观测者到标杆距离 3m，标杆到大树距离 9m，标杆高度 2.6m，则\(H\) = 1.6 + \(\frac{(2.6 - 1.6)(3 + 9)}{3}\) = 1.6 + 4 = 5.6m 。
幻灯片 9：练习 2（方法二）
题目：为测量某建筑物的高度，在建筑物前 30m 处竖立一根高为 2m 的标杆，观测者站在离标杆 2m 处，眼睛高度为 1.5m，观测者的眼睛、标杆顶端和建筑物顶端在同一直线上，求建筑物的高度。
学生活动：学生分组讨论解题思路，完成计算后小组代表发言。
幻灯片 10：方法三：利用镜子反射
测量工具：卷尺、镜子。
测量步骤：
在被测物体（如旗杆）前的地面上平放一面镜子。
观测者来回移动，直到从镜子中能看到被测物体的顶端。
测量出观测者的眼睛到地面的高度\(h\)。
测量出观测者到镜子的距离\(a\)。
测量出镜子到被测物体的距离\(b\)。
构造相似三角形：
设被测物体的高度为\(H\)。
观测者的眼睛、地面上的镜子、观测者的脚构成一个直角三角形；被测物体的顶端、地面上的镜子、被测物体的底部构成另一个直角三角形。
根据光的反射定律，反射角等于入射角，所以两个直角三角形的对应角相等，即两个三角形相似。
计算过程：
由相似三角形对应边成比例可得：\(\frac{h}{a}\) = \(\frac{H}{b}\) 。
解得：\(H\) = \(\frac{hb}{a}\) 。
示例演示：观测者眼睛高度 1.5m，观测者到镜子距离 2m，镜子到旗杆距离 10m，则旗杆高度\(H\) = \(\frac{1.5×10}{2}\) = 7.5m 。
幻灯片 11：练习 3（方法三）
题目：利用镜子反射测量一座山峰的高度，将镜子放在离山峰底部 50m 处，观测者站在离镜子 3m 处，观测者眼睛高度为 1.6m，从镜子中恰好看到山峰顶端，求山峰的高度。
学生活动：学生独立完成计算，教师巡视指导，对计算错误的学生进行纠正。
幻灯片 12：三种方法的比较与选择
方法一（阳光下的影子）：
优点：操作简单，测量数据少。
缺点：受天气影响大，阴雨天无法使用；需要被测物体有清晰的影子。
方法二（利用标杆）：
优点：不受天气影响，适用范围广。
缺点：需要调整观测位置，操作相对复杂。
方法三（利用镜子反射）：
优点：不受物体影子影响，操作较为简便。
缺点：镜子放置需水平，对地面平整度有要求。
选择建议：根据实际环境和条件选择合适的测量方法，如晴天优先选方法一，阴天可选择方法二或三。
幻灯片 13：例题讲解
例 1 题目：如图，小明想测量一棵大树的高度，他站在离大树底部 10m 处，将一根长为 1.5m 的标杆竖直立在地面上，测得标杆的影长为 1m，同时测得大树的影长为 8m，求大树的高度。
分析过程：
本题可采用方法一，利用阳光下的影子构造相似三角形。
标杆高度、标杆影长、大树高度、大树影长构成比例关系。
解答过程：
设大树的高度为\(H\)。
由相似三角形对应边成比例可得：\(\frac{1.5}{1}\) = \(\frac{H}{8}\) 。
解得：\(H\) = 1.5×8 = 12m 。
答：大树的高度为 12m 。
幻灯片 14：课堂小结
知识梳理：
三种利用相似三角形测高的方法：阳光下的影子、利用标杆、利用镜子反射。
每种方法的测量步骤、相似三角形的构造及计算原理。
方法总结：
无论哪种方法，核心都是构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质计算高度。
测量时要注意工具的正确使用和数据的准确读取。
根据实际情况选择合适的测量方法，提高测量的准确性。
幻灯片 15：课堂检测
小明在阳光下测得自己的影长为 1.2m，同时测得教学楼的影长为 24m，已知小明的身高为 1.6m，则教学楼的高度为（ ）
A. 32m
B. 20m
C. 18m
D. 16m
利用标杆测量旗杆高度，标杆高 2m，观测者眼睛高度 1.5m，观测者到标杆距离 5m，标杆到旗杆距离 15m，求旗杆高度。
利用镜子反射测量塔高，镜子离塔底 30m，观测者离镜子 5m，观测者眼睛高度 1.7m，求塔高。
幻灯片 16：课堂检测答案
答案：A
解析：设教学楼高度为\(H\)，由\(\frac{1.6}{1.2}\) = \(\frac{H}{24}\)，解得\(H\) = 32m 。
答案：设旗杆高度为\(H\) 。
解析：小三角形直角边为\(2 - 1.5 = 0.5\)m，另一直角边 5m；大三角形直角边为\(H - 1.5\)m，另一直角边\(5 + 15 = 20\)m 。由\(\frac{0.5}{5}\) = \(\frac{H - 1.5}{20}\)，解得\(H - 1.5 = 2\)，\(H = 3.5\)m 。
答案：设塔高为\(H\) 。
解析：由\(\frac{1.7}{5}\) = \(\frac{H}{30}\)，解得\(H\) = \(\frac{1.7×30}{5}\) = 10.2m 。
幻灯片 17：拓展提升
题目：如图，为测量某河的宽度，在河对岸岸边有一棵大树，在河岸这边选取一点 A，测得树顶的仰角为 60°，向前走 20m 到达点 B，测得树顶的仰角为 30°，求河的宽度（结果保留根号）。
分析提示：
设河的宽度为\(x\)m，树高为\(h\)m 。
在 Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，利用三角函数和相似三角形的知识建立方程求解。
解答过程：
设河宽为\(x\)m，树高为\(h\)m 。
在 Rt△ACD 中，tan60° = \(\frac{h}{x}\)，即\(h\) = \(x\sqrt{3}\) 。
在 Rt△BCD 中，tan30° = \(\frac{h}{x + 20}\)，即\(h\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 20)\) 。
所以\(x\sqrt{3}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 20)\)，解得\(3x = x + 20\)，\(x = 10\) 。
答：河的宽度为 10m 。
幻灯片 18：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：选择校园内的一个高大物体（如旗杆、教学楼），运用今天学习的至少一种方法测量其高度，记录测量过程和数据，并计算出高度。
幻灯片 19：结束页
感谢语：感谢同学们的积极参与！今天我们学习了利用相似三角形测量物体高度的方法，体会到了数学在实际生活中的应用价值。
鼓励语：生活中处处有数学问题等待我们去解决，希望大家多观察、多思考，用数学知识解决更多实际问题！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
4.6 利用相似三角形测高
第四章　图形的相似
活动课题
利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度
活动方式
分组活动、全班交流研讨
活动工具
小镜子、标杆、皮尺等测量工具
方法一
利用阳光下的影子
太阳光近似地看成平行光线
观测者的身高可测量
旗杆影长可测量
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？
观测者的影长可测量
方法一
利用阳光下的影子
太阳光近似地看成平行光线
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？
A
B
C
D
E
△EAD∽△ABC
代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
方法二
利用标杆
观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。
观测者的身高可测量
观测者到标杆底端的距离可测量
观测者到旗杆底端的距离可测量
标杆的高可测量
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？
方法二
利用标杆
A
B
C
D
E
H
G
过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H.
F
可得△DHF∽△DGC
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？
∴BC =GC+GB
=GC+AD
方法三
利用镜子的反射
在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.
你知道需要测量哪些数据吗？根据你所测的结果你能求出旗杆的高度吗？
光线的入射角等于反射角
方法三
利用镜子的反射
A
B
C
D
E
△EAD∽△BAC
代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
想一想
你还有哪些测量旗杆高度的方法？
随堂练习
1. 高4m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度.
所以，建筑物高度为16 m.
解：设建筑物高度为x m，则 ，
解得x=16.
2. 旗杆的影子长6 m，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m，如果此时附近一座纪念塔的影子长30 m，那么这座纪念塔有多高
解：旗杆长度：
（m）
纪念塔高度为：
（m）
4．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m. 已知某一时刻BC在地面的影长CN =1.5 m， AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度.
解：由题意知
，解得AC=3.
∴窗户的高度AB=2m.
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C
1.
[教材P105习题T1变式] 如图，在同一时刻，身高为
1.6 m的小丽在阳光下的影长为2.5 m，一棵树的影长为5 m，则这棵树的高度为(　　)
A．1.5 m
B．2.3 m
C．3.2 m
D．7.8 m
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2.
1.2
[教材P105习题T4变式] 如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离BC＝0.4 m，AM和BN表示射入室内的光线，若某一时刻BC在地面的影长CN＝0.5 m，AC在地面的影长CM＝2 m，则窗户的高度AB为___________m.
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3.
6
《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝
40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，
则树高PQ＝________m.
4.
[2025西安校级模拟]为测量一棵大树的高度，小明设计的测量方案如图．标杆高度CD＝3 m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14 m，人的眼睛的高度AB＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离BD＝2 m，
B，D，N三点共线，AB⊥BN，
CD⊥BN，MN⊥BN，求大树
MN的高度．
解：如图所示，过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E.
∵B，D，N三点共线，AB⊥BN，
CD⊥BN，MN⊥BN，
∴易得四边形ABDE，四边形ABNF是矩形．
∴AE＝BD＝2 m，AF＝BN＝BD＋DN＝2＋14＝16(m)，
FN＝AB＝DE＝1.6 m.
∴CE＝CD－DE＝3－1.6＝1.4(m)．
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5.
B
[2025广州期中]如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为(　　)
A．6.4 m
B．8 m
C．9.6 m
D．12.5 m
6.
某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用了以下方法：如图，把支架(EF)竖直放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量出
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4.1
BF＝6 m，DF＝2 m，EF＝0.5 m，观测者目高CD＝1.7 m．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，
AB⊥BD于点B，则这棵树的高度(AB的长)是__________m.
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7.
C
如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM∶ON＝5∶3，蜡烛高为10 cm，则像BN的长为(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
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8.
4.4
[2025无锡期中]如图，在离某建筑物4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m长的竹竿A′B′竖直立于地面，影长BB′为2 m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高CD为2 m，那么这棵树的高为________m.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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