资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换
副标题：探究坐标与位似的关系
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
掌握平面直角坐标系中图形位似变换的坐标变化规律。（重点）
能够根据位似中心、位似比和原图形坐标，求出位似图形的坐标。（重点）
能根据位似图形的坐标反推位似中心和位似比，提升逆向思维能力。（难点）
体会数形结合思想在图形变换中的应用，增强数学应用意识。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
在平面直角坐标系中，一个△ABC 和它以原点为位似中心的位似图形△A B C ，标注出各顶点坐标。
提出问题：
观察这两个位似图形的顶点坐标，它们之间存在什么规律？在平面直角坐标系中，位似变换会使图形的坐标发生怎样的变化？
今天我们就来深入探究平面直角坐标系中的位似变换。
幻灯片 4：知识回顾
位似图形的定义：两个相似图形对应顶点连线交于一点，对应边平行或共线，该点为位似中心，相似比为位似比。
位似图形的性质：对应点到位似中心的距离比等于位似比。
上节课坐标画法：以原点为位似中心时，位似图形顶点坐标为原坐标乘以位似比（同侧）或乘以负的位似比（异侧）。
幻灯片 5：以原点为位似中心的坐标规律
探究过程：
已知原图形顶点坐标为 A (x, y)，位似中心为原点 O，位似比为 k 。
当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点 A 的坐标为 (kx, ky) 。
当位似图形与原图形在原点异侧时，对应点 A 的坐标为 (-kx, -ky) 。
规律总结：以原点为位似中心，位似比为 k 的位似变换中，原图形上任意一点 (x, y) 的对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) 。
图形验证：展示具体图形及坐标，如原图形点 (2, 3)，位似比 2，同侧对应点 (4, 6)，异侧对应点 (-4, -6)，直观验证规律。
幻灯片 6：例题讲解 1（原点为中心的位似变换）
例 1 题目：在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A (1, 2)、B (3, 4)、C (5, 2)，以原点为位似中心，位似比为 3，画出△ABC 的位似图形，并写出对应顶点的坐标。
分析过程：
位似中心为原点，位似比 3，需考虑同侧和异侧两种情况。
解答过程：
同侧位似图形顶点坐标：
A (1×3, 2×3) = (3, 6)
B (3×3, 4×3) = (9, 12)
C (5×3, 2×3) = (15, 6)
异侧位似图形顶点坐标：
A (1×(-3), 2×(-3)) = (-3, -6)
B (3×(-3), 4×(-3)) = (-9, -12)
C (5×(-3), 2×(-3)) = (-15, -6)
画图展示：在坐标系中画出原图形和两个位似图形。
幻灯片 7：练习 1（原点为中心的坐标计算）
题目：在平面直角坐标系中，点 P (4, -6) 以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)进行位似变换，求对应点 P 和 P 的坐标。
学生活动：学生独立计算，教师请学生回答并讲解计算依据。
幻灯片 8：位似中心不在原点的坐标规律
探究背景：当位似中心为坐标系中任意一点 O'(a, b) 时，坐标变化规律较为复杂，需通过平移转化为以原点为中心的位似变换。
变换步骤：
将原图形各顶点坐标平移：把位似中心 O'(a, b) 视为新原点，原图形顶点 A (x, y) 平移后坐标为 A'(x - a, y - b) 。
进行以新原点为中心的位似变换：对应点 A'' 坐标为 (k (x - a), k (y - b)) 或 (-k (x - a), -k (y - b)) 。
将坐标平移回原坐标系：位似图形对应点 A 坐标为 (k (x - a) + a, k (y - b) + b) 或 (-k (x - a) + a, -k (y - b) + b) 。
公式总结：位似中心为 (a, b)，位似比为 k，原图形点 (x, y) 的对应点坐标为：
同侧：(k (x - a) + a, k (y - b) + b)
异侧：(-k (x - a) + a, -k (y - b) + b)
幻灯片 9：例题讲解 2（非原点为中心的位似变换）
例 2 题目：在平面直角坐标系中，已知点 A (5, 7)，位似中心为 O'(2, 3)，位似比为 2，求点 A 的对应点 A （同侧）和 A （异侧）的坐标。
分析过程：
按照平移→位似→平移回的步骤计算，先将 A 点坐标平移至以 O' 为原点的坐标系，再进行位似变换，最后平移回原坐标系。
解答过程：
平移后 A' 坐标：(5 - 2, 7 - 3) = (3, 4) 。
同侧位似后 A'' 坐标：(2×3, 2×4) = (6, 8) 。
平移回原坐标系 A 坐标：(6 + 2, 8 + 3) = (8, 11) 。
异侧位似后 A'' 坐标：(-2×3, -2×4) = (-6, -8) 。
平移回原坐标系 A 坐标：(-6 + 2, -8 + 3) = (-4, -5) 。
答：A 的坐标为 (8, 11)，A 的坐标为 (-4, -5) 。
幻灯片 10：练习 2（非原点为中心的坐标计算）
题目：在平面直角坐标系中，点 B (3, -2) 以位似中心 O'(1, -1)，位似比为\(\frac{1}{2}\)进行位似变换，求同侧对应点 B 和异侧对应点 B 的坐标。
学生活动：学生分组讨论解题步骤，完成计算后小组代表展示过程。
幻灯片 11：根据坐标求位似中心和位似比
探究方法：
已知原图形一点 A (x , y ) 和其位似图形对应点 A (x , y )，设位似中心为 O (a, b)，位似比为 k 。
根据位似性质：\(\frac{x - a}{x - a}\) = \(\frac{y - b}{y - b}\) = k（同侧）或\(\frac{x - a}{x - a}\) = \(\frac{y - b}{y - b}\) = -k（异侧）。
联立方程可求解位似中心 (a, b) 和位似比 k 。
示例分析：原图形点 A (2, 4)，对应点 A (4, 8)，通过方程\(\frac{4 - a}{2 - a}\) = \(\frac{8 - b}{4 - b}\) = k，结合图形判断位似中心为原点，k = 2 。
幻灯片 12：例题讲解 3（求位似中心和位似比）
例 3 题目：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A (1, 2) 对应位似图形△A B C 的顶点 A (3, 6)，B (2, 4) 对应 B (6, 12)，求位似中心和位似比。
分析过程：
观察对应点坐标关系，A (3, 6) = 3×A (1, 2)，B (6, 12) = 3×B (2, 4)，推测位似中心为原点，位似比 3 。
验证：连接 OA 和 OA ，看是否在同一直线，计算比例是否为 3 。
解答过程：
计算\(\frac{3}{1}\) = 3，\(\frac{6}{2}\) = 3，\(\frac{6}{2}\) = 3，\(\frac{12}{4}\) = 3 ，对应点坐标比为 3 。
位似中心为原点 (0, 0)，位似比为 3 。
幻灯片 13：练习 3（求位似中心和位似比）
题目：已知原图形点 P (2, 3) 和位似图形对应点 P (-4, -6)，求位似中心和位似比（位似中心为原点）。
学生活动：学生独立分析，得出位似中心为原点，位似比为 2（异侧）。
幻灯片 14：位似变换的应用
实际应用场景：
图像缩放：在计算机图形学中，通过位似变换缩放图像，保持图形形状不变。
地图绘制：不同比例尺的地图是位似图形，通过位似变换实现比例尺转换。
应用示例：一幅地图的比例尺为 1:1000，地图上某两点坐标为 (2, 3) 和 (5, 7)，则实际两点的坐标（以地图原点为位似中心）为 (2000, 3000) 和 (5000, 7000) 。
幻灯片 15：课堂小结
知识梳理：
以原点为位似中心：对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky)，k 为位似比。
以 (a, b) 为位似中心：对应点坐标需通过平移→位似→平移回计算，公式为 (k (x - a) + a, k (y - b) + b) 或其异侧形式。
已知坐标求位似中心和位似比：利用对应点与位似中心的比例关系列方程求解。
方法总结：
解决坐标位似问题时，先确定位似中心位置，再根据同侧或异侧选择对应坐标公式。
运用数形结合思想，结合图形直观理解坐标变化规律。
幻灯片 16：课堂检测
在平面直角坐标系中，点 M (-2, 5) 以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)，则同侧对应点 M 的坐标为（ ）
A. (-1, \(\frac{5}{2}\))
B. (1, -\(\frac{5}{2}\))
C. (-4, 10)
D. (4, -10)
位似中心为 (1, 1)，原图形点 N (3, 5)，位似比为 2，异侧对应点 N 的坐标为 。
已知点 A (2, 4) 和其位似对应点 A (6, 12)，且位似中心为原点，求位似比；若另一点 B (3, 5)，求其对应点 B 的坐标。
幻灯片 17：课堂检测答案
答案：A
解析：同侧对应点坐标为 (-2×\(\frac{1}{2}\), 5×\(\frac{1}{2}\)) = (-1, \(\frac{5}{2}\)) 。
答案：(-3, -7)
解析：平移后 N' 坐标 (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4)，异侧位似后 (-4, -8)，平移回 (-4 + 1, -8 + 1) = (-3, -7) 。
答案：位似比为\(\frac{6}{2}\) = 3 。
解析：B 坐标为 (3×3, 5×3) = (9, 15)（同侧）或 (-9, -15)（异侧）。
幻灯片 18：拓展提升
题目：在平面直角坐标系中，△ABC 与△A B C 是位似图形，位似中心为点 O，已知 A (1, 2)、A (2, 4)、B (3, 6)、B (6, 12)，求位似中心 O 的坐标和位似比。
分析提示：
设位似中心 O (a, b)，根据\(\frac{2 - a}{1 - a}\) = \(\frac{4 - b}{2 - b}\) = k 和\(\frac{6 - a}{3 - a}\) = \(\frac{12 - b}{6 - b}\) = k，联立方程求解。
解答过程：
由\(\frac{2 - a}{1 - a}\) = \(\frac{6 - a}{3 - a}\)，交叉相乘得 (2 - a)(3 - a) = (6 - a)(1 - a)，解得 a = 0 。
代入得 k = 2，进而得 b = 0 ，所以位似中心为原点 (0, 0)，位似比 2 。
幻灯片 19：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：在平面直角坐标系中绘制一个简单图形（如四边形），选择不同的位似中心和位似比进行位似变换，记录原图形和位似图形的坐标，验证坐标变化规律。
幻灯片 20：结束页
感谢语：感谢同学们的积极探索！今天我们掌握了平面直角坐标系中位似变换的坐标规律，体会了数形结合的魅力。
鼓励语：坐标与图形变换是数学的重要内容，希望大家能灵活运用所学知识，解决更多实际问题！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
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a
N
g
4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换
第四章　图形的相似
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。
（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？如果位似，指出位似中心和相似比。
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-6
-2
-4
-6
A
B
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到O′（ ），A′（ ），B′（ ）
0,0
A′
B′
6,0
4,6
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，位似中心是点O，相似比是2.
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。
（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？如果位似，指出位似中心和相似比。
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-6
-2
-4
-6
A
B
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到O′（ ），A′（ ），B′（ ）
0,0
A′
B′
-6,0
-4,-6
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，位似中心是点O，相似比是-2.
在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
A′(2,1)
B′(4,3)
C′(3,5)
D′(-1,3)
探究新知
将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 呢？
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
A′(2,1)
B′(4,3)
C′(3,5)
D′(-1,3)
A′′(-2,-1)
B′′(-4,-3)
C′′(-3,-5)
D′′(1,-3)
例 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3.
y
2
4
6
-2
-4
-6
A
B
C
O
x
2
4
6
-2
-4
-6
y
2
4
6
-2
-4
-6
A
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘 分别是O(0,0)，A′(4,0)，B′(2,4)，C′(-2,2)；
在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，
A′
B′
C′
O
x
2
4
6
-2
-4
-6
用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形.
y
4
6
-6
A
B
C
A′
B′
C′
x
2
4
6
四边形OABC的顶点坐标都乘 分别是O(0,0)，A(4,0)，B′′(2,4)，C′′(-2,2)；
在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′，
用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形.
-4
-6
A′
B′
C′
2
-2
O
-2
-4
如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(3,0)，B(4,4)，C(-2,3).画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2:1.
y
4
6
-2
-4
-8
-2
-6
-4
-6
8
-8
B
C
O
x
2
2
4
6
8
A
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘2 分别是O(0,0)，A′(6,0)，B′(8,8)，C′(-4,6)；在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形.
B′
C′
y
2
4
6
-4
-6
8
-8
x
2
4
6
-2
-4
-8
-6
8
A
A′
O
-2
y
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘-2分别是O(0,0)，A′
(-6,0)，B′(-8,-8)，C′(4,-6)；在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′，用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形.
B′
C′
B′′
C′′
2
4
6
-2
-4
-6
8
-8
x
2
4
6
-2
-4
-8
-6
8
A
A′
A′′
O
返回
D
1.
[2025福建期中]如图，以原点O为位似中心，将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，若D(4，1)，则端点B的坐标为(　　)
A．(6，6)
B．(6，8)
C．(8，6)
D．(8，2)
返回
2.
B
返回
3.
A
[2024浙江中考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　)
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
4.
解：如图，四边形OA′B′C′即为所求．
[教材P117随堂练习变式] 如图，
点O是平面直角坐标系的原点，
点A，B，C的坐标分别是
(1，－1)，(2，1)，(1，1)．
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2：1(点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′)；
解：A′(－2，2)，B′(－4，－2)，C′(－2，－2)．
(2)直接写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
返回
返回
5.
A
如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD．△OAB与△OCD的相似比为(　　)
A．2∶3
B．3∶2
C．1∶2
D．2∶1
返回
6.
(4，8)　
[2025扬州期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，4)，若四边形ABCD关于点O的位似图形为四边形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′的面积是四边形ABCD面积的4倍，则在第一象限内的点B′的
坐标为________．
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标，纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 .
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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