资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：6.1 反比例函数
副标题：探索变量之间的反比例关系
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解反比例函数的概念，能根据实际问题列出反比例函数关系式。（重点）
掌握反比例函数的表达式形式，能确定反比例函数中的比例系数。（重点）
能判断一个函数是否为反比例函数，提升对函数概念的理解。（难点）
感受反比例函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的联系。
幻灯片 3：情景引入
展示图片与问题：
问题 1：京沪高速公路全长约为 1318km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行驶的平均速度\(v\)（km/h）与行驶时间\(t\)（h）之间有怎样的关系？
问题 2：一个面积为 6400m 的长方形，它的长\(a\)（m）与宽\(b\)（m）之间有什么关系？
问题 3：已知三角形的面积为 10cm ，它的底边长\(y\)（cm）与这条底边上的高\(x\)（cm）之间的关系如何？
提出问题：
这些问题中的两个变量之间的关系有什么共同特点？它们的函数表达式与我们之前学过的一次函数有什么不同？
今天我们就来学习这种新的函数类型 —— 反比例函数。
幻灯片 4：知识回顾
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量\(x\)和\(y\)，如果对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与其对应，那么就说\(y\)是\(x\)的函数，\(x\)是自变量。
一次函数的定义：形如\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(k≠0\)）的函数叫做一次函数，当\(b = 0\)时，\(y = kx\)是正比例函数。
函数表达式的确定：根据实际问题中的数量关系列出函数表达式。
幻灯片 5：反比例函数的概念
实例分析：
问题 1 中，\(v\)与\(t\)的关系：\(v=\frac{1318}{t}\) 。
问题 2 中，\(a\)与\(b\)的关系：\(a=\frac{6400}{b}\) 。
问题 3 中，\(y\)与\(x\)的关系：\(y=\frac{20}{x}\) 。
共同特点：这些函数表达式都是形如\(y=\frac{k}{x}\)的形式，其中\(k\)是常数且\(k≠0\) 。
定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数值，自变量\(x\)的取值范围是不等于 0 的一切实数。
幻灯片 6：反比例函数的表达式形式
基本形式：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）。
其他形式：
\(y = kx^{-1}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)），这种形式是利用负整数指数幂的意义转化而来。
\(xy = k\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)），由\(y=\frac{k}{x}\)两边同乘\(x\)得到，体现了\(x\)和\(y\)的乘积为定值。
注意事项：
\(k\)是常数，且\(k≠0\)，这是反比例函数定义的重要条件。
自变量\(x\)不能为 0，函数值\(y\)也不能为 0。
幻灯片 7：反比例函数的比例系数
定义：在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）中，常数\(k\)叫做反比例函数的比例系数。
确定方法：
若已知反比例函数表达式，可直接得出比例系数\(k\)。例如，在\(y=\frac{5}{x}\)中，比例系数\(k = 5\) 。
若已知反比例函数上一点的坐标\((x_0, y_0)\)，则\(k = x_0y_0\) 。
实例：已知反比例函数的图像经过点\((2, 3)\)，则比例系数\(k = 2×3 = 6\)，该反比例函数表达式为\(y=\frac{6}{x}\) 。
幻灯片 8：例题讲解 1（判断反比例函数）
例 1 题目：下列函数中，哪些是反比例函数？并指出它们的比例系数。
（1）\(y=\frac{4}{x}\) （2）\(y = -\frac{3}{x}\) （3）\(y = 2x + 1\) （4）\(y = \frac{x}{5}\) （5）\(y = \frac{1}{2x}\) （6）\(xy = 7\)
分析过程：
根据反比例函数的定义，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）、\(y = kx^{-1}\)（\(k≠0\)）或\(xy = k\)（\(k≠0\)）的函数是反比例函数。
解答过程：
（1）是反比例函数，比例系数为 4。
（2）是反比例函数，比例系数为\(-3\)。
（3）是一次函数，不是反比例函数。
（4）是正比例函数（特殊的一次函数），不是反比例函数。
（5）可变形为\(y=\frac{\frac{1}{2}}{x}\)，是反比例函数，比例系数为\(\frac{1}{2}\)。
（6）可变形为\(y=\frac{7}{x}\)，是反比例函数，比例系数为 7。
幻灯片 9：练习 1（判断反比例函数）
题目：下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y = 3x\)
B. \(y = \frac{x}{4}\)
C. \(y = \frac{2}{x^2}\)
D. \(y = -\frac{5}{x}\)
学生活动：学生独立思考后作答，教师讲解判断依据，强调反比例函数中\(x\)的次数为\(-1\) 。
幻灯片 10：例题讲解 2（根据实际问题列反比例函数表达式）
例 2 题目：某住宅小区要种植一个面积为 1000m 的矩形草坪，草坪的长\(y\)（m）随宽\(x\)（m）的变化而变化，求\(y\)与\(x\)之间的函数表达式，并判断它是什么函数。
分析过程：
矩形的面积 = 长 × 宽，已知面积为 1000m ，即\(xy = 1000\)，变形可得\(y\)与\(x\)的函数表达式。
解答过程：
由矩形面积公式可得\(x·y = 1000\)，则\(y=\frac{1000}{x}\) 。
该函数是反比例函数，比例系数为 1000。
幻灯片 11：练习 2（列反比例函数表达式）
题目：已知一个圆柱体的体积为 500cm ，它的高\(h\)（cm）随底面积\(S\)（cm ）的变化而变化，求\(h\)与\(S\)之间的函数表达式，并指出它的比例系数。
学生活动：学生分组讨论，根据圆柱体体积公式列出函数表达式，教师巡视指导。
幻灯片 12：例题讲解 3（求反比例函数表达式）
例 3 题目：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点\((-2, 5)\)，求这个反比例函数的表达式。
分析过程：
反比例函数图像经过某点，说明该点的坐标满足函数表达式，将点的坐标代入表达式可求出\(k\)的值。
解答过程：
因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点\((-2, 5)\)，所以将\(x = -2\)，\(y = 5\)代入\(y=\frac{k}{x}\)中，得\(5=\frac{k}{-2}\) 。
解得\(k = -10\) 。
所以这个反比例函数的表达式为\(y=-\frac{10}{x}\) 。
幻灯片 13：练习 3（求反比例函数表达式）
题目：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点\((3, -4)\)，求该反比例函数的表达式，并判断点\((6, -2)\)是否在这个函数的图像上。
学生活动：学生独立完成，先求出\(k\)的值得到函数表达式，再将点\((6, -2)\)代入表达式验证是否在图像上。
幻灯片 14：反比例函数自变量的取值范围
分析：在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)中，由于分母不能为 0，所以自变量\(x\)的取值范围是\(x≠0\)的一切实数。
实际意义：在实际问题中，自变量的取值范围不仅要满足函数表达式有意义，还要符合实际情况。例如，在矩形草坪问题中，宽\(x\)必须是正数，即\(x>0\) 。
实例：在行程问题中，速度\(v\)和时间\(t\)都应为正数，所以自变量\(t>0\)，函数值\(v>0\) 。
幻灯片 15：反比例函数的应用场景
场景 1：行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例关系，即\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)为定值）。
场景 2：几何问题：面积一定时，矩形的长与宽、三角形的底与高成反比例关系；体积一定时，圆柱体的高与底面积成反比例关系。
场景 3：工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系，即\(工作效率=\frac{工作总量}{工作时间}\)（工作总量为定值）。
图片展示：展示与这些应用场景相关的图片，帮助学生理解反比例函数在实际中的应用。
幻灯片 16：课堂小结
知识梳理：
反比例函数的定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数。
表达式形式：\(y=\frac{k}{x}\)、\(y = kx^{-1}\)、\(xy = k\)（\(k≠0\)）。
比例系数：反比例函数中的常数\(k\)，可由函数图像上一点的坐标确定（\(k = xy\)）。
自变量取值范围：\(x≠0\)，实际问题中需结合实际意义确定。
方法总结：
判断反比例函数时，紧扣定义，看函数表达式是否符合三种形式之一且\(k≠0\) 。
列反比例函数表达式时，先找出实际问题中的等量关系，再变形为反比例函数形式。
求反比例函数表达式时，利用待定系数法，将已知点的坐标代入表达式求出\(k\) 。
幻灯片 17：课堂检测
下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y = x + 5\)
B. \(y = \frac{2}{x}\)
C. \(y = 3x^2\)
D. \(y = 4x\)
若函数\(y=\frac{m + 1}{x}\)是反比例函数，则\(m\)的取值范围是 。
已知反比例函数的图像经过点\((4, -2)\)，求这个反比例函数的表达式，并求出当\(x = -1\)时的函数值。
幻灯片 18：课堂检测答案
答案：B
解析：选项 B 符合反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k = 2≠0\)）的形式，其他选项都不是反比例函数。
答案：\(m≠-1\)
解析：反比例函数要求比例系数不为 0，即\(m + 1≠0\)，所以\(m≠-1\) 。
答案：设反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)，将\((4, -2)\)代入得\(-2=\frac{k}{4}\)，解得\(k = -8\)，所以表达式为\(y=-\frac{8}{x}\) 。
当\(x = -1\)时，\(y=-\frac{8}{-1}=8\) 。
幻灯片 19：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：在生活中寻找一个反比例函数的实例，记录相关数据，列出反比例函数表达式，并与同学分享。
幻灯片 20：结束页
感谢语：感谢同学们的积极参与！今天我们学习了反比例函数的概念、表达式和基本应用，认识了变量之间的另一种重要关系。
鼓励语：希望大家能带着今天所学的知识，去发现生活中更多反比例函数的应用，感受数学的实用性！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
6.1 反比例函数
第六章　反比例函
当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强如何变化？
亮度可调节的台灯，当电压一定时，怎样通过调节电阻来控制电流的变化从而改变灯光的明暗？
我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式 U=IR，当U=220V时.
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表：
R/ 20 40 60 80 100
I/A
11
5.5
3.67
2.75
2.2
R/ 20 40 60 80 100
I/A
11
5.5
3.67
2.75
2.2
当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？
当R越来越大时，I越来越小；
当R越来越小时，I越来越大.
（3）变量I是R的函数吗？为什么
亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可
以通过调节总电阻来控制电流的变化实现.
因为当电流I较小时，灯光较暗，反之，当电
流I较大时，灯光较亮.
京沪高速铁路全长约为1318km，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京每列车行完全程所需要的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
上面的函数关系式，有哪些共同的特点？
都具有 的形式，其中k是常数.
归 纳
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成 （k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
注意：变量x，y都不能等于0.
下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
k值为4
k值为
k值为1
k值为2
归 纳
反比例函数的三种表示形式
（k为常数，k ≠0）
1. 一个矩形的面积为20cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
变量y是变量x的反比例函数.
做一做
2. 某村有耕地346.2hm2，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（hm2/人）是全村人口数量n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
变量m是变量n的反比例函数.
3. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值.
x －2 －1 1 3
y 2 －1
（1）写出这个反比例函数的表达式.
（2）根据函数的表达式完成上表.
－3
1
4
－4
－2
2
随堂练习
1. 下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比例函数？每一个反比例函数的k值是多少？
（1）
（2）
（3）
（4）
k值为5
k值为0.4
k值为2
2. 你能举出两个反比例函数的实例吗？写出表达式，并与同伴交流.
返回
A
1.
下列函数中不是反比例函数的是(　　)
返回
2.
C
返回
3.
B
返回
4.
3
[2025天津期中]若函数y＝x2－m(m是常数)是反比例函数，则m＝________．
返回
5.
A
[教材P151习题T2变式] 若等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式为(　　)
返回
6.
反
[2025菏泽期中]邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
用y表示包数，用x表示每包的本数，用式子表示y与x的关系为________，y与x成________比例关系．
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
7.
杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，若阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm，设动力为y(N)，动力臂长为x(cm)(杠杆本身所受重力忽略不计)．
(1)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数；
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成 （k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
反比例函数的三种表示形式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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