资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：6.2.1 反比例函数的图象
副标题：探究反比例函数图象的特征与画法
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
掌握反比例函数图象的画法，能正确画出反比例函数的图象。（重点）
理解反比例函数图象的形状和位置分布特点，知道图象与坐标轴的关系。（重点）
能根据反比例函数的表达式判断图象的位置，提升数形结合能力。（难点）
感受函数图象的直观性，体会数形结合思想在函数学习中的应用。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
一次函数\(y = 2x + 1\)的图象（直线）。
提出问题：我们已经学习了反比例函数的概念，那么反比例函数的图象是什么形状呢？它与一次函数的图象有什么不同？
引入新课：
函数的图象能直观地反映函数的性质，今天我们就来学习反比例函数的图象，探究它的画法和特征。
幻灯片 4：知识回顾
反比例函数的定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数叫做反比例函数。
函数图象的定义：把一个函数的自变量\(x\)与对应的函数值\(y\)分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
一次函数图象的画法：列表、描点、连线（一次函数的图象是一条直线，通常取两点即可画出）。
幻灯片 5：反比例函数图象的画法步骤
步骤 1：列表：
选取适当的自变量\(x\)的值（注意\(x≠0\)），计算出对应的函数值\(y\)。
为了使图象对称、完整，\(x\)应选取互为相反数的值，且不宜过大或过小。
步骤 2：描点：
在直角坐标系中，根据列表得到的坐标\((x, y)\)，描出相应的点。
步骤 3：连线：
用平滑的曲线按照自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接各点，注意图象的两个分支不能连接起来。
注意事项：
列表时要考虑\(x\)的取值范围，既要取正数，也要取负数。
连线时要用平滑的曲线，不能画成折线。
幻灯片 6：例题讲解 1（画反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象）
步骤 1：列表：
\(x\)
\(-6\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(6\)
\(y\)
\(-1\)
\(-2\)
\(-3\)
\(-6\)
\(6\)
\(3\)
\(2\)
\(1\)
步骤 2：描点：
在直角坐标系中描出点\((-6, -1)\)、\((-3, -2)\)、\((-2, -3)\)、\((-1, -6)\)、\((1, 6)\)、\((2, 3)\)、\((3, 2)\)、\((6, 1)\)。
步骤 3：连线：
用平滑的曲线连接第一象限的点，得到图象的一个分支；用平滑的曲线连接第三象限的点，得到图象的另一个分支。
图象展示：在坐标系中画出\(y=\frac{6}{x}\)的图象，标注出关键点。
幻灯片 7：例题讲解 2（画反比例函数\(y=-\frac{6}{x}\)的图象）
步骤 1：列表：
\(x\)
\(-6\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(6\)
\(y\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(6\)
\(-6\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
步骤 2：描点：
在直角坐标系中描出点\((-6, 1)\)、\((-3, 2)\)、\((-2, 3)\)、\((-1, 6)\)、\((1, -6)\)、\((2, -3)\)、\((3, -2)\)、\((6, -1)\)。
步骤 3：连线：
用平滑的曲线连接第二象限的点和第四象限的点，得到\(y=-\frac{6}{x}\)的图象。
图象展示：画出图象并与\(y=\frac{6}{x}\)的图象进行对比。
幻灯片 8：练习 1（画反比例函数的图象）
题目：画出反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)和\(y=-\frac{4}{x}\)的图象，比较它们的异同。
学生活动：学生按照列表、描点、连线的步骤独立画图，教师巡视指导，强调画图规范。
幻灯片 9：反比例函数图象的形状
形状特征：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象是由两条曲线组成的，这样的曲线叫做双曲线。
与一次函数图象的区别：一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条双曲线，且不经过原点。
图形展示：展示不同反比例函数的图象，强调其双曲线的特征。
幻灯片 10：反比例函数图象的位置分布（与\(k\)值的关系）
当\(k>0\)时：
反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象位于第一、三象限。
在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
实例：\(y=\frac{6}{x}\)、\(y=\frac{4}{x}\)的图象分布在第一、三象限。
当\(k<0\)时：
反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象位于第二、四象限。
在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
实例：\(y=-\frac{6}{x}\)、\(y=-\frac{4}{x}\)的图象分布在第二、四象限。
图象展示：对比\(k>0\)和\(k<0\)时的反比例函数图象，直观展示位置差异。
幻灯片 11：反比例函数图象与坐标轴的关系
关系分析：
反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)中，\(x≠0\)且\(y≠0\)，所以图象与\(x\)轴、\(y\)轴都没有交点。
当\(x\)的绝对值越来越大时，\(y\)的绝对值越来越小，图象越来越接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
当\(x\)的绝对值越来越小时，\(y\)的绝对值越来越大，图象向远离坐标轴的方向延伸。
图形演示：在反比例函数图象上标注出\(x\)变化时\(y\)的变化趋势，展示图象与坐标轴的无限接近关系。
幻灯片 12：例题讲解 3（根据\(k\)值判断图象位置）
例 3 题目：反比例函数\(y=\frac{m - 2}{x}\)的图象位于第一、三象限，求\(m\)的取值范围。
分析过程：
反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数\(k>0\)，即\(m - 2>0\)。
解答过程：
由题意得\(m - 2>0\)，解得\(m>2\) 。
所以\(m\)的取值范围是\(m>2\) 。
幻灯片 13：练习 2（根据图象位置求参数范围）
题目：若反比例函数\(y=\frac{3 - k}{x}\)的图象位于第二、四象限，求\(k\)的取值范围。
学生活动：学生独立思考，根据\(k<0\)时图象的位置特征列出不等式求解，教师点评。
幻灯片 14：反比例函数图象的对称性
对称性特征：
反比例函数的图象关于原点对称，即若点\((a, b)\)在反比例函数的图象上，则点\((-a, -b)\)也在该图象上。
反比例函数的图象关于直线\(y = x\)和\(y = -x\)对称（可简单介绍，不作深入要求）。
实例验证：
在\(y=\frac{6}{x}\)的图象中，点\((2, 3)\)在图象上，点\((-2, -3)\)也在图象上，验证关于原点对称。
图形展示：在反比例函数图象上标注出对称点，展示对称性。
幻灯片 15：例题讲解 4（利用对称性判断点是否在图象上）
例 4 题目：已知点\((2, 5)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象上，判断点\((-2, -5)\)是否在该图象上。
分析过程：
先根据已知点求出\(k\)的值，得到函数表达式，再验证对称点是否满足表达式；或直接利用图象的原点对称性判断。
解答过程：
方法一：因为点\((2, 5)\)在图象上，所以\(5=\frac{k}{2}\)，解得\(k = 10\)，函数表达式为\(y=\frac{10}{x}\) 。当\(x = -2\)时，\(y=\frac{10}{-2}=-5\)，所以点\((-2, -5)\)在该图象上。
方法二：根据反比例函数图象关于原点对称，点\((2, 5)\)关于原点的对称点是\((-2, -5)\)，所以点\((-2, -5)\)在该图象上。
幻灯片 16：练习 3（利用对称性解决问题）
题目：点\((3, -4)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象上，求\(k\)的值，并判断点\((-3, 4)\)是否在该图象上。
学生活动：学生独立完成，可选择代入表达式或利用对称性的方法解决。
幻灯片 17：课堂小结
知识梳理：
反比例函数图象的画法：列表、描点、连线（图象是双曲线）。
图象的位置分布：\(k>0\)时在第一、三象限；\(k<0\)时在第二、四象限。
图象与坐标轴的关系：不相交，无限接近坐标轴。
图象的对称性：关于原点对称。
方法总结：
画反比例函数图象时，要合理选取\(x\)的值，确保图象对称、完整。
根据\(k\)的正负可直接判断图象的位置，反之亦然。
利用图象的对称性可简化问题的解决过程。
幻灯片 18：课堂检测
反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)的图象位于（ ）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
若反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2, -3)\)，则该函数的图象位于（ ）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
画出反比例函数\(y=-\frac{8}{x}\)的图象，并说明它的位置分布和与坐标轴的关系。
幻灯片 19：课堂检测答案
答案：B
解析：\(k = 5>0\)，所以反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)的图象位于第一、三象限，选 B。
答案：D
解析：将点\((2, -3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k = -6<0\)，所以图象位于第二、四象限，选 D。
答案：图象为双曲线，列表、描点、连线略。
位置分布：位于第二、四象限。
与坐标轴的关系：不相交，无限接近\(x\)轴和\(y\)轴。
幻灯片 20：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：画出反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)和\(y=-\frac{2}{x}\)的图象，对比它们的位置、形状和对称性，写出你的发现。
幻灯片 21：结束页
感谢语：感谢同学们的积极探索！今天我们学习了反比例函数图象的画法和特征，直观地认识了反比例函数的图象。
鼓励语：函数图象是研究函数性质的重要工具，希望大家多动手画图，通过图象深入理解函数的性质！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
6.2.1 反比例函数的图象
第六章　反比例函
1. 下列函数中，哪些是反比例函数？
（1） （2） （3）
（4） （5）
你还记得画函数图象的步骤吗？
① 列表；
②描点；
③连线。
你能尝试画出反比例函数 的图象吗？
1. 列表
x ··· －8 －4 －3 －2 －1
··· －1 －2 －4 －8
x 1 2 3 4 8 ···
8 4 2 1 ···
2. 描点
3. 连线
用光滑的曲线顺次连接各点
你认为画反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴交流.
议一议
x ≠ 0；
用光滑的曲线连接各点；
图象是延伸的，不要画成有明确端点；
曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴，但不和坐标轴相交.
做一做
在图中的平面直角坐标系中画出反比例函数 的图象.
议一议
观察函数 与函数 的图象，它们有
什么相同点和不同点？
反比例函数的图象是由两支曲线组成的，
双曲线
当k＞0时，两支曲线分别位于一、三象限内；
当k＜0时，两支曲线分别位于二、四象限内；
归 纳
想一想
反比例函数是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.
原点
想一想
反比例函数是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.
随堂练习
1. 下图给出了反比例函数 和 的图象，你知道哪一个是 的图象吗？为什么？
（2）
（1）
k＜0，双曲线位于二、四象限.
2. 在同一直角坐标系内，画出函数 与函数y=x－1的图象，并利用图象求它们的交点坐标.
y=x－1
（2，1）
（－1，－2）
返回
C
1.
返回
2.
D
3.
－1
3
－1
解：如图．
(2)在下图中描点、画出函数图象．
①②③
返回
返回
4.
C
返回
5.
B
返回
6.
2
已知反比例函数的图象经过点(8，－2)和点(－8，m)，则m的值为________．
当k＞0时，两支曲线分别位于一、三象限内；
当k＜0时，两支曲线分别位于二、四象限内；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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