资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：6.2.2 反比例函数的性质
副标题：深入探究反比例函数的变化规律
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
掌握反比例函数的增减性，能根据\(k\)的正负判断函数值的变化趋势。（重点）
理解反比例函数比例系数\(k\)的几何意义，能运用其解决相关问题。（重点）
能综合运用反比例函数的性质解决实际问题和数学问题，提升分析能力。（难点）
体会数形结合思想在研究函数性质中的作用，增强数学思维能力。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)和\(y=-\frac{6}{x}\)的图象。
提出问题：观察这两个反比例函数的图象，当自变量\(x\)增大时，函数值\(y\)会发生怎样的变化？这种变化与\(k\)的取值有什么关系？
引入新课：
上节课我们学习了反比例函数的图象，今天我们将通过图象探究反比例函数的性质。
幻灯片 4：知识回顾
反比例函数的表达式：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）。
反比例函数图象的形状：由两条双曲线组成。
反比例函数图象的位置：
当\(k>0\)时，图象位于第一、三象限。
当\(k<0\)时，图象位于第二、四象限。
反比例函数图象的对称性：关于原点对称。
幻灯片 5：反比例函数的增减性（一）—— 当\(k>0\)时
图象分析：以\(y=\frac{6}{x}\)为例，观察其在第一象限和第三象限的图象变化。
在第一象限：当\(x\)的值从 1 增大到 6 时，\(y\)的值从 6 减小到 1，即\(y\)随\(x\)的增大而减小。
在第三象限：当\(x\)的值从\(-6\)增大到\(-1\)时，\(y\)的值从\(-1\)减小到\(-6\)，即\(y\)随\(x\)的增大而减小。
性质总结：当\(k>0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
注意事项：不能说 “\(y\)随\(x\)的增大而减小”，必须强调 “在每个象限内”，因为图象在两个象限，跨象限比较无意义。
幻灯片 6：反比例函数的增减性（二）—— 当\(k<0\)时
图象分析：以\(y=-\frac{6}{x}\)为例，观察其在第二象限和第四象限的图象变化。
在第二象限：当\(x\)的值从\(-6\)增大到\(-1\)时，\(y\)的值从 1 增大到 6，即\(y\)随\(x\)的增大而增大。
在第四象限：当\(x\)的值从 1 增大到 6 时，\(y\)的值从\(-6\)增大到\(-1\)，即\(y\)随\(x\)的增大而增大。
性质总结：当\(k<0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
图形展示：在图象上标注出\(x\)和\(y\)的变化趋势，直观呈现增减性。
幻灯片 7：例题讲解 1（利用增减性比较函数值大小）
例 1 题目：已知反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)，比较下列各组中函数值的大小。
（1）当\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)时，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
（2）当\(x_1 = -2\)，\(x_2 = -3\)时，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
分析过程：
该反比例函数中\(k = 5>0\)，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小。
（1）\(x_1 = 2\)和\(x_2 = 3\)都在第一象限，且\(2<3\)，所以\(y_1>y_2\) 。
（2）\(x_1 = -2\)和\(x_2 = -3\)都在第三象限，且\(-2>-3\)，所以\(y_1解答过程：
（1）\(y_1=\frac{5}{2}=2.5\)，\(y_2=\frac{5}{3}≈1.67\)，所以\(y_1>y_2\) 。
（2）\(y_1=\frac{5}{-2}=-2.5\)，\(y_2=\frac{5}{-3}≈-1.67\)，所以\(y_1幻灯片 8：练习 1（利用增减性比较大小）
题目：已知反比例函数\(y=-\frac{4}{x}\)，比较当\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)时\(y_1\)与\(y_2\)的大小；比较当\(x_1 = -1\)，\(x_2 = -2\)时\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
学生活动：学生独立分析，根据\(k<0\)时的增减性进行比较，教师点评强调 “每个象限内” 的条件。
幻灯片 9：比例系数\(k\)的几何意义
探究过程：在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象上任意取一点\(P(x, y)\)，过点\(P\)作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(A\)、\(B\)。
面积计算：四边形\(OAPB\)是矩形，其面积\(S = OA×OB = |x|×|y| = |xy|\)。因为\(y=\frac{k}{x}\)，所以\(xy = k\)，则\(S = |k|\) 。
几何意义：过反比例函数图象上任意一点作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，所得矩形的面积等于比例系数\(k\)的绝对值，即\(S_{矩形} = |k|\) 。
图形展示：在反比例函数图象上标注点\(P\)和矩形\(OAPB\)，标注面积与\(|k|\)的关系。
幻灯片 10：比例系数\(k\)的几何意义拓展
三角形面积：过反比例函数图象上任意一点\(P(x, y)\)作\(x\)轴（或\(y\)轴）的垂线，垂足为\(A\)，则\(\triangle OAP\)的面积\(S = \frac{1}{2}×OA×PA = \frac{1}{2}×|x|×|y| = \frac{1}{2}|k|\) 。
实例验证：在\(y=\frac{6}{x}\)的图象上取点\((2, 3)\)，矩形面积为\(2×3 = 6 = |6|\)，三角形面积为\(\frac{1}{2}×2×3 = 3 = \frac{1}{2}×6\) 。
图形展示：展示三角形并计算面积，验证与\(|k|\)的关系。
幻灯片 11：例题讲解 2（利用\(k\)的几何意义求面积）
例 2 题目：如图，点\(A\)是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上的一点，过点\(A\)作\(AB⊥x\)轴于点\(B\)，连接\(OA\)，若\(\triangle OAB\)的面积为 3，求\(k\)的值。
分析过程：
根据\(k\)的几何意义，\(\triangle OAB\)的面积为\(\frac{1}{2}|k|\)，已知面积为 3，可列出方程求解。
解答过程：
由题意得\(\frac{1}{2}|k| = 3\)，解得\(|k| = 6\)，所以\(k = 6\)或\(k = -6\) 。
答：\(k\)的值为 6 或\(-6\) 。
幻灯片 12：练习 2（利用\(k\)的几何意义解决问题）
题目：点\(P\)是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上的一点，过点\(P\)分别向\(x\)轴、\(y\)轴作垂线，所得矩形的面积为 8，求该反比例函数的表达式。
学生活动：学生分组讨论，根据矩形面积与\(|k|\)的关系求出\(k\)的值，得到函数表达式。
幻灯片 13：反比例函数性质的综合应用
应用场景：结合增减性和\(k\)的几何意义解决函数图象与几何图形结合的问题。
例题讲解 3：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k<0\)）的图象经过点\(A(-2, m)\)，过点\(A\)作\(AB⊥x\)轴于点\(B\)，\(\triangle AOB\)的面积为 4，求\(m\)的值和反比例函数的表达式。
分析过程：
由\(\triangle AOB\)的面积为 4，可得\(\frac{1}{2}×|-2|×|m| = 4\)，求出\(m\)的值。
因为\(k<0\)，点\(A\)在第二象限，确定\(m\)的符号，再求出\(k\)的值。
解答过程：
由面积公式得\(\frac{1}{2}×2×|m| = 4\)，解得\(|m| = 4\)，所以\(m = 4\)或\(m = -4\) 。
因为\(k<0\)，图象在第二、四象限，点\(A(-2, m)\)在第二象限，所以\(m>0\)，即\(m = 4\) 。
则\(k = (-2)×4 = -8\)，反比例函数表达式为\(y=-\frac{8}{x}\) 。
幻灯片 14：练习 3（综合应用性质解决问题）
题目：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2, -3)\)，过图象上另一点\(P\)作\(PD⊥y\)轴于点\(D\)，连接\(OP\)，若\(\triangle OPD\)的面积为\(S\)，求\(S\)的值。
学生活动：学生独立完成，先求出\(k\)的值，再根据\(k\)的几何意义求出三角形面积。
幻灯片 15：反比例函数与一次函数的图象交点问题
问题分析：联立反比例函数与一次函数的表达式，可求出它们的交点坐标，交点坐标同时满足两个函数的表达式。
性质应用：根据交点所在的象限，结合反比例函数和一次函数的性质，可判断参数的取值范围。
例题讲解 4：若反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)与一次函数\(y = x + b\)的图象有一个交点在第一象限，求\(b\)的取值范围。
分析过程：
联立方程\(\frac{2}{x}=x + b\)，整理得\(x^2 + bx - 2 = 0\)，根据判别式和根的符号判断\(b\)的范围。
解答过程：
方程有实数根，判别式\(b^2 + 8>0\)恒成立。设交点坐标为\((x, y)\)，\(x>0\)，\(y>0\)，由\(y = x + b>0\)和\(x>0\)，结合韦达定理得\(x_1x_2 = -2<0\)，所以一个正根一个负根，正根对应的\(y>0\)，则\(b\)的取值范围为全体实数（实际可通过图象分析更直观）。
幻灯片 16：课堂小结
知识梳理：
增减性：\(k>0\)时，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；\(k<0\)时，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大（强调 “每个象限内”）。
\(k\)的几何意义：过图象上任意一点作坐标轴垂线，矩形面积为\(|k|\)，三角形面积为\(\frac{1}{2}|k|\)。
综合应用：结合增减性、几何意义解决比较大小、面积计算、交点问题等。
方法总结：
研究函数性质时，充分利用图象的直观性，体现数形结合思想。
比较函数值大小时，先判断自变量所在的象限，再利用增减性比较。
解决面积问题时，紧扣\(k\)的几何意义，建立面积与\(|k|\)的关系。
幻灯片 17：课堂检测
对于反比例函数\(y=\frac{3}{x}\)，下列说法正确的是（ ）
A. \(y\)随\(x\)的增大而减小
B. 图象位于第二、四象限
C. 在第一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小
D. 图象经过点\((1, -3)\)
点\(A(1, y_1)\)、\(B(2, y_2)\)在反比例函数\(y=-\frac{6}{x}\)的图象上，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（ ）
A. \(y_1>y_2\)
B. \(y_1C. \(y_1=y_2\)
D. 无法确定
如图，点\(P\)是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上的一点，\(PA⊥x\)轴于点\(A\)，\(PB⊥y\)轴于点\(B\)，若矩形\(OAPB\)的面积为 5，求\(k\)的值。
幻灯片 18：课堂检测答案
答案：C
解析：\(k = 3>0\)，图象在第一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小，A 错误，C 正确；B 错误；点\((1, -3)\)代入函数得\(-3≠3\)，D 错误。
答案：A
解析：\(k = -6<0\)，在第四象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大，因为\(1<2\)，所以\(y_1答案：由矩形面积为\(|k| = 5\)，得\(k = 5\)或\(k = -5\) 。
幻灯片 19：课后作业
教材课后相关练习题。
拓展作业：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象上有两点\(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，当\(x_1<0y_2\)，求\(k\)的取值范围，并说明理由。
幻灯片 20：结束页
感谢语：感谢同学们的深入探究！今天我们学习了反比例函数的增减性和比例系数\(k\)的几何意义，进一步掌握了反比例函数的性质。
鼓励语：希望大家能灵活运用这些性质解决问题，体会函数性质在数学和生活中的应用价值！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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6.2.2 反比例函数的性质
第六章　反比例函
反比例函数 的图象大致是图中的( )．
D
观察反比例函数 的图象，你能发现它们共同的特征吗？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于一、三象限.
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
随着x值的增大，y越来越小.
议一议
考察当k=－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，它们有哪些共同特征？
归 纳
反比例函数 的图象
当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
Q
在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？
想一想
P
S1
S2
Q
P
S1
S2
想一想
设P点坐标为（x1，y1）， Q点坐标（x2，y2），
则S1=|x1| |y1|
=|k|
S2=|x2| |y2|
=|k|
S1=S2=|k|
归 纳
反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线y= （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
Q
P
S1
S2
随堂练习
1.（1）若点A（－6，y1），B（－4，y2）在反比例函数 上，试比较y1与y2的大小. 你是怎么做的？
k<0，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
所以y1＜y2.
（2）已知点（4，y3），（6，y4）在反比例函数 的图象上，试比较y3和y4的大小.
（3）已知点（－4，y5），（6，y6）在反比例函数 的图象上，试比较y5和y6的大小.
y3＜y4
y6＜y5
＞0
＜0
2. 下列函数中，其图象位于一、三象限的有_____________；在其图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有______.
（1） （2） （3） （4）
k＞0
（1）
（2）
（3）
k＜0
（4）
3. 如图，P（x，y）是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）
O
P
B
A
x
y
A．不变 B.增大
C. 减小 D.无法确定
B
返回
A
1.
A．减小
B．增大
C．不变
D．先减小，后不变
返回
2.
C
返回
3.
B
A．图象分布在第二、四象限
B．当x>0时，y随x的增大而减小
C．图象经过点(1，－2)
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在图象上，且x1返回
4.
a>c>b
5.
课堂结
当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
反比例函数 的图象
当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
反比例函数 的图象
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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