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(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第六章　反比例函数 章末复习
副标题：整合知识体系，强化应用能力
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：复习目标
巩固反比例函数的定义，能准确识别反比例函数并确定比例系数。（基础）
熟练掌握反比例函数的图象特征，能根据比例系数判断图象的位置和形状。（重点）
深入理解反比例函数的性质，能运用增减性和比例系数的几何意义解决问题。（重点）
能运用反比例函数解决实际问题，提升数学建模和分析问题的能力。（难点）
构建本章知识框架，体会数形结合思想在函数学习中的重要作用。
幻灯片 3：知识网络构建
反比例函数
├── 定义：形如y = k/x（k为常数，k≠0）的函数，也可表示为y = kx 或xy = k（k≠0）
│ ├── 比例系数：常数k（k≠0）
│ └── 自变量取值范围：x≠0（实际问题中需结合实际意义）
├── 图象：双曲线
│ ├── 位置：k>0时在第一、三象限；k<0时在第二、四象限
│ ├── 对称性：关于原点对称，关于直线y = x和y = -x对称
│ └── 与坐标轴关系：不相交，无限接近x轴和y轴
├── 性质
│ ├── 增减性：k>0时，每个象限内y随x增大而减小；k<0时，每个象限内y随x增大而增大
│ └── 比例系数几何意义：过图象上任意点作坐标轴垂线，矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2
└── 应用：解决行程、工程、几何、经济等实际问题，建立反比例函数模型
幻灯片 4：知识点 1：反比例函数的定义
定义回顾：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数，叫做反比例函数。也可表示为\(y = kx^{-1}\)（\(k≠0\)）或\(xy = k\)（\(k≠0\)）的形式。
构成要素：
等号右边是分式形式，分母中含有自变量\(x\)。
比例系数\(k\)为常数且\(k≠0\)。
自变量\(x\)的次数为\(-1\)（即分母中\(x\)的次数为 1）。
注意事项：
区分反比例函数与其他函数：反比例函数不是一次函数，也不是二次函数。
确定比例系数\(k\)时，需将函数表达式化为最简形式。
例题 1：下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y = 2x + 1\) B. \(y = \frac{x}{3}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x^2\)
答案：C
解析：A 是一次函数；B 是正比例函数（特殊的一次函数）；C 符合反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k = 3≠0\)）的形式；D 是二次函数。
幻灯片 5：知识点 2：反比例函数的图象
图象特征：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象是由两条曲线组成的双曲线。
位置分布：
当\(k>0\)时，图象位于第一、三象限。
当\(k<0\)时，图象位于第二、四象限。
对称性：
关于原点对称：若点\((a, b)\)在图象上，则点\((-a, -b)\)也在图象上。
关于直线\(y = x\)和\(y = -x\)对称（可通过具体点验证）。
与坐标轴关系：
图象与\(x\)轴、\(y\)轴都没有交点（因为\(x≠0\)且\(y≠0\)）。
当\(x\)的绝对值无限增大时，\(y\)的绝对值无限趋近于 0，图象无限接近坐标轴。
例题 2：反比例函数\(y=\frac{m - 2}{x}\)的图象位于第二、四象限，求\(m\)的取值范围。
解答：因为图象位于第二、四象限，所以\(k<0\)，即\(m - 2<0\)，解得\(m<2\) 。
幻灯片 6：知识点 3：反比例函数的性质（一）—— 增减性
性质内容：
当\(k>0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
当\(k<0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
关键强调：
“每个象限内” 是增减性的前提，不能跨象限描述增减性。例如，对于\(y=\frac{6}{x}\)，不能说 “\(y\)随\(x\)的增大而减小”，因为当\(x\)从\(-2\)增大到\(2\)时，\(y\)从\(-3\)增大到\(3\)。
例题 3：已知反比例函数\(y=-\frac{5}{x}\)，比较下列各组中函数值的大小。
（1）当\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 3\)时，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
（2）当\(x_1 = -2\)，\(x_2 = -4\)时，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
解答：
（1）\(k = -5<0\)，在第四象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。因为\(1<3\)，所以\(y_1（2）\(k = -5<0\)，在第二象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。因为\(-2>-4\)，所以\(y_1>y_2\) 。
幻灯片 7：知识点 3：反比例函数的性质（二）—— 比例系数的几何意义
核心结论：
过反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上任意一点\(P(x, y)\)作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(A\)、\(B\)，则矩形\(OAPB\)的面积\(S = |x·y| = |k|\) 。
过反比例函数图象上任意一点\(P(x, y)\)作\(x\)轴（或\(y\)轴）的垂线，垂足为\(A\)，则\(\triangle OAP\)的面积\(S = \frac{1}{2}|x·y| = \frac{1}{2}|k|\) 。
拓展应用：
若已知反比例函数图象上一点构成的矩形或三角形面积，可直接求出\(|k|\)，进而确定\(k\)的值（结合图象位置判断符号）。
例题 4：如图，点\(A\)是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上的一点，过点\(A\)作\(AB⊥x\)轴于点\(B\)，连接\(OA\)，若\(\triangle OAB\)的面积为 4，求\(k\)的值。
解答：由比例系数的几何意义得\(\frac{1}{2}|k| = 4\)，所以\(|k| = 8\)，即\(k = 8\)或\(k = -8\) 。
幻灯片 8：知识点 4：反比例函数的应用
应用步骤：
分析实际问题中的变量关系，确定两个变量成反比例关系。
设出反比例函数表达式\(y=\frac{k}{x}\)（或其他形式）。
根据已知条件求出比例系数\(k\)，得到具体的函数表达式。
利用函数表达式或其性质解决实际问题（如求最值、取值范围等）。
常见类型：
行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例（\(v=\frac{s}{t}\)）。
工程问题：工作总量一定时，工作效率与时间成反比例（\(效率=\frac{总量}{时间}\)）。
几何问题：面积一定时，矩形的长与宽、三角形的底与高成反比例。
经济问题：总价一定时，单价与数量成反比例。
例题 5：一辆汽车往返于甲、乙两地，路程为 240km，汽车行驶的速度\(v\)（km/h）与行驶时间\(t\)（h）之间的函数关系是什么？若汽车的速度不超过 80km/h，那么从甲地到乙地至少需要多少小时？
解答：
函数表达式为\(v=\frac{240}{t}\)（\(t>0\)）。
当\(v = 80\)时，\(80=\frac{240}{t}\)，解得\(t = 3\) 。
因为\(k = 240>0\)，在第一象限内\(v\)随\(t\)的增大而减小，所以当\(v≤80\)时，\(t≥3\) 。
答：从甲地到乙地至少需要 3 小时。
幻灯片 9：解法与技巧总结
反比例函数表达式的确定：
若已知函数类型，用待定系数法，将图象上一点的坐标代入表达式求出\(k\)。
若已知比例系数的几何意义，通过面积求出\(|k|\)，结合图象位置确定\(k\)的符号。
函数性质的应用技巧：
比较函数值大小时，先判断自变量所在的象限，再利用增减性比较。
解决与图象相关的面积问题时，紧扣\(|k|\)与矩形、三角形面积的关系。
实际问题的解题关键：
准确找出题目中的定值（即\(k\)的值），明确两个变量之间的反比例关系。
注意自变量的实际取值范围，确保解的合理性。
幻灯片 10：常见错误分析
错误 1：忽略反比例函数定义中\(k≠0\)的条件。
例如：认为函数\(y=\frac{0}{x}\)是反比例函数，实际\(k = 0\)时不符合定义。
错误 2：描述增减性时遗漏 “每个象限内” 的条件。
例如：对于\(y=\frac{6}{x}\)，错误表述为 “\(y\)随\(x\)的增大而减小”，忽略跨象限的情况。
错误 3：应用比例系数几何意义时忘记取绝对值。
例如：已知矩形面积为 3，直接得出\(k = 3\)，忽略\(k\)也可能为\(-3\)。
错误 4：解实际问题时未考虑自变量的实际意义。
例如：在行程问题中，求出时间为负数未舍去，或速度为零未排除。
幻灯片 11：综合例题解析
例题 6：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\(A(2, -3)\)。
（1）求该反比例函数的表达式。
（2）判断点\(B(-1, 6)\)是否在该函数的图象上。
（3）若点\(C(x_1, y_1)\)、\(D(x_2, y_2)\)在该函数的图象上，且\(x_1<0解答：
（1）将点\(A(2, -3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k = -6\)，所以表达式为\(y=-\frac{6}{x}\) 。
（2）当\(x = -1\)时，\(y=-\frac{6}{-1}=6\)，所以点\(B(-1, 6)\)在该函数的图象上。
（3）\(k = -6<0\)，图象位于第二、四象限。因为\(x_1<0\)，所以点\(C\)在第二象限，\(y_1>0\)；因为\(x_2>0\)，所以点\(D\)在第四象限，\(y_2<0\)。因此\(y_1>y_2\) 。
幻灯片 12：章末检测（选择题）
下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y = 3x\) B. \(y = \frac{3}{x^2}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x + 1\)
反比例函数\(y=-\frac{4}{x}\)的图象位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
对于反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)，下列说法正确的是（ ）
A. \(y\)随\(x\)的增大而减小 B. 图象经过点\((1, -5)\) C. 在第一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小 D. 图象与坐标轴有交点
幻灯片 13：章末检测（填空题）
若函数\(y=\frac{m + 2}{x}\)是反比例函数，则\(m\)的取值范围是 。
已知反比例函数的图象经过点\((3, -2)\)，则该函数的表达式为 。
点\(P\)是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)图象上的一点，过点\(P\)作\(PA⊥x\)轴于点\(A\)，若\(\triangle OPA\)的面积为 2，则\(k\)的值为 。
幻灯片 14：章末检测（解答题）
已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2, 4)\)。
（1）求该反比例函数的表达式。
（2）若点\(M(a, b)\)在该函数的图象上，且\(a>0\)，当\(a\)增大时，\(b\)如何变化？
（3）过点\((2, 4)\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(B\)，求\(\triangle OAB\)的面积（\(O\)为坐标原点）。
某车间要加工一批零件，总工作量为 1200 个，每天加工的零件数\(x\)（个）与加工天数\(y\)（天）之间的函数关系是什么？若要求在 15 天内完成加工任务，每天至少要加工多少个零件？
幻灯片 15：章末检测答案
答案：C
答案：B
答案：C
答案：\(m≠-2\)
答案：\(y=-\frac{6}{x}\)
答案：\(±4\)
解答：
（1）将\((2, 4)\)代入得\(4=\frac{k}{2}\)，\(k = 8\)，表达式为\(y=\frac{8}{x}\) 。
（2）\(k = 8>0\)，当\(a>0\)时，\(b\)随\(a\)的增大而减小。
（3）\(B\)点坐标为\((2, 0)\)，\(\triangle OAB\)的面积为\(\frac{1}{2}×2×4 = 4\) 。
解答：
函数关系为\(y=\frac{1200}{x}\)（\(x>0\)）。
当\(y = 15\)时，\(x=\frac{1200}{15}=80\)，所以每天至少要加工 80 个零件。
幻灯片 16：结束页
总结语：本章主要学习了反比例函数的定义、图象、性质及应用，核心是理解\(k\)的意义和数形结合思想的运用。
建议：多结合图象分析函数性质，通过实际问题练习强化建模能力，及时纠正易错点，巩固知识体系。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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章末复习
第六章　反比例函数
回顾旧知
反比例函数
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成 （k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.
另两种表示形式：
反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是两支曲线.
两支曲线不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
反比例函数的图象与性质
当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小.
当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
反比例函数的图象与性质
Q
P
S1
S2
反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线y= （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
S1=S2=|k|
随堂练习
完成教材P161页，复习题的1—5题.
1. 点（23，－3）在反比例函数 的图象上，那么k_____，该反比例函数的图象位于第_________象限.
xy=k
－69
二、四
2. 反比例函数 的图象经过点（32，3），那么点（2，23）是否在该反比例函数的图象上？为什么？
将点（32，3）代入 中得
∴ k=96
故此反比例函数为：
∴当x=2时，
即点（2，23）不在此反比例函数图象上.
3. 已知反比例函数 的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是_________.
k＜0
即m+1＜0，
m＜－1
4. 如果反比例函数 的图象经过点（－2， ），那么直线 y=（k－1）x 一定经过点（2，_______）.
k=－2·
5. 考察函数 的图象，当x=－2时，y = ______；当x＜－2时，y的取值范围是_____________；当y≥－1时，x的取值范围是_______________.
－1
－1＜y＜0
x ≤－2 或 x＞0
－2
－1
完成教材P161页第6题，P162页的第7题.
6. 函数y=ax－a与 （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
a＜0
a＞0
a＜0
a＞0
a＞0
a＜0
a＜0
a＜0
D
7. 已知点A（－2，y1）， B（－1，y2）和 C（3，y3）都在反比例函数 的图象上，比较 y1，y2与y3的大小.
当k＞0时，
y3＞y1＞y2
当k＜0时，
y2＞y1＞y3
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1.
[2025哈尔滨月考]下列表达式:
其中，表示y是x的反比例函数的是(　　)
A．①②④ B．①③④
C．②③ D．①③
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2.
[2025丽水期中]若函数y＝(m＋1)xm ＋3m＋1是y关于x的反比例函数，则m的值为________．
－2
3.
列表：
建立平面直角坐标系，描点、连线，得反比例函数的图象如图．
x … －4 －2 －1 1 2 4 …
y … －1 －2 －4 4 2 1 …
(2)观察图象，当y≥－1时，写出x的取值范围．
解：由图象可知，当y≥－1时，x的取值范围是x≤－4或x>0.
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4.
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5.
y16.
[2024盐城中考] 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，求：
(1)反比例函数的表达式；
(2)点C的坐标．
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7.
[2024河北中考]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是(　　)
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
C
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8.
如图①是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图②所示．小明通过调节电阻，发现当R从10 Ω增加到20 Ω时，电功率P减少了20 W，则当R＝25 Ω时，P＝_________W.
16
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9.
C
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10.
3
11.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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