资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第三章　概率的进一步认识 章末复习
副标题：深化概率理解，提升应用能力
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：复习目标
巩固概率的基本概念，能准确区分确定事件和随机事件，理解概率的意义。（基础）
熟练掌握用列表法、树状图法计算随机事件的概率，能根据不同情境选择合适的计算方法。（重点）
理解用频率估计概率的思想，能通过多次试验估计随机事件的概率。（重点）
能运用概率知识解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、决策分析等。（难点）
构建本章知识框架，体会随机思想和数形结合思想在概率计算中的应用。
幻灯片 3：知识网络构建
概率的进一步认识
├── 基本概念
│ ├── 确定事件：必然事件（概率为1）、不可能事件（概率为0）
│ ├── 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率范围0│ └── 概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值
├── 概率的计算方法
│ ├── 理论计算：
│ │ ├── 列表法：适用于两步或两步以上试验，列出所有等可能结果
│ │ └── 树状图法：适用于多步试验，直观呈现所有等可能结果
│ └── 实验估计：用频率估计概率，当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近
├── 概率的应用
│ ├── 判断游戏公平性：比较双方获胜的概率是否相等
│ ├── 决策分析：根据概率大小选择最优方案
│ └── 模拟试验：用替代物模拟实际试验计算概率
└── 注意事项
├── 计算概率时要确保所有结果等可能
├── 区分放回试验和不放回试验对结果的影响
└── 频率与概率的关系：频率是试验结果，概率是理论值
幻灯片 4：知识点 1：概率的基本概念
事件的分类：
确定事件：在一定条件下必然发生或必然不发生的事件。
必然事件：发生的概率为\(1\)，如 “太阳从东方升起”。
不可能事件：发生的概率为\(0\)，如 “掷一枚骰子，朝上的点数为\(7\)”。
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率范围是\(0概率的定义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记为\(P(A)\)，其中\(A\)为随机事件。
注意事项：
概率反映的是事件发生的可能性大小，不能确定事件是否一定会发生。
必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)，但概率为\(1\)的事件不一定是必然事件，概率为\(0\)的事件不一定是不可能事件（特殊情境下）。
例题 1：下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 三角形内角和为\(180^{\circ}\) B. 掷一枚骰子，朝上的点数小于\(7\) C. 明天会下雨 D. 太阳从西方升起
答案：C
解析：A、B 是必然事件；C 是随机事件；D 是不可能事件。
幻灯片 5：知识点 2：用列表法计算概率
适用情境：适用于两步试验（或分两步完成的试验），且每一步试验的结果是等可能的。
基本步骤：
确定试验的两步操作，明确每一步的所有可能结果。
列出表格，横行表示第一步试验的所有结果，竖列表示第二步试验的所有结果。
表格中每个单元格表示一个等可能的试验结果。
找出事件\(A\)包含的结果数\(m\)，总结果数为\(n\)，则\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
注意事项：
确保列出的所有结果是等可能的。
区分放回试验和不放回试验：放回试验中，第一步的结果不影响第二步的结果；不放回试验中，第二步的结果受第一步结果的影响（结果数减少）。
例题 2：一个不透明的袋子中装有\(2\)个红球和\(3\)个白球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，求两次摸出的球都是红球的概率。
解答：列表如下：
第一次 / 第二次
红 1
红 2
白 1
白 2
白 3
红 1
（红 1，红 1）
（红 1，红 2）
（红 1，白 1）
（红 1，白 2）
（红 1，白 3）
红 2
（红 2，红 1）
（红 2，红 2）
（红 2，白 1）
（红 2，白 2）
（红 2，白 3）
白 1
（白 1，红 1）
（白 1，红 2）
（白 1，白 1）
（白 1，白 2）
（白 1，白 3）
白 2
（白 2，红 1）
（白 2，红 2）
（白 2，白 1）
（白 2，白 2）
（白 2，白 3）
白 3
（白 3，红 1）
（白 3，红 2）
（白 3，白 1）
（白 3，白 2）
（白 3，白 3）
总结果数为\(25\)，两次摸出红球的结果数为\(4\)，所以\(P\)（两次都是红球）\(=\frac{4}{25}\) 。
幻灯片 6：知识点 3：用树状图法计算概率
适用情境：适用于两步及两步以上的试验，能更直观地展示所有可能的结果，尤其是当试验步骤较多时，比列表法更清晰。
基本步骤：
明确试验的步骤，确定每一步的所有可能结果。
以树状图的形式呈现每一步的结果，从左到右依次列出各步试验的结果。
数出总结果数\(n\)和事件\(A\)包含的结果数\(m\)，则\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
注意事项：
每一步分支的结果要等可能。
树状图的分支要完整，不重复、不遗漏。
例题 3：同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子朝上的点数之和为\(7\)的概率。
解答：画树状图如下：
第一枚骰子：1 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 2，3，4，5，6，7）
第一枚骰子：2 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 3，4，5，6，7，8）
第一枚骰子：3 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 4，5，6，7，8，9）
第一枚骰子：4 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 5，6，7，8，9，10）
第一枚骰子：5 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 6，7，8，9，10，11）
第一枚骰子：6 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 7，8，9，10，11，12）
总结果数为\(36\)，点数之和为\(7\)的结果数为\(6\)，所以\(P\)（点数之和为 7）\(=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\) 。
幻灯片 7：知识点 4：用频率估计概率
核心思想：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。
试验要求：
试验次数要足够多，次数越多，频率越接近概率。
试验条件要相同，确保试验的公平性和科学性。
计算公式：频率\(=\frac{事件发生的次数}{试验总次数}\)，当试验次数足够多时，频率≈概率。
例题 4：某射击运动员在同一条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数\(n\)
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数\(m\)
8
19
44
92
178
455
击中靶心频率\(\frac{m}{n}\)
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
估计该运动员射击一次击中靶心的概率为 。
答案：\(0.9\)（合理即可）
解析：随着射击次数的增加，击中靶心的频率稳定在\(0.9\)附近，所以估计概率为\(0.9\) 。
幻灯片 8：知识点 5：概率的应用 —— 游戏公平性判断
判断标准：在游戏中，若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。
解决步骤：
分析游戏规则，确定双方各自获胜的所有可能结果。
计算双方获胜的概率。
比较概率大小，若相等则公平，否则不公平；若不公平，可修改规则使双方概率相等。
例题 5：小明和小刚玩掷硬币游戏，规则如下：同时掷两枚硬币，若两枚硬币都正面朝上，则小明获胜；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则小刚获胜。这个游戏公平吗？请说明理由。
解答：列表如下：
第一枚 / 第二枚
正面
反面
正面
（正，正）
（正，反）
反面
（反，正）
（反，反）
总结果数为\(4\)，小明获胜的结果数为\(1\)，\(P\)（小明获胜）\(=\frac{1}{4}\) ；小刚获胜的结果数为\(2\)，\(P\)（小刚获胜）\(=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) 。
因为\(\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}\)，所以游戏不公平。
幻灯片 9：解法与技巧总结
概率计算方法选择：
两步试验优先用列表法或树状图法，列表法更简洁；三步及以上试验优先用树状图法，更清晰直观。
当试验结果无法用理论计算或结果数量较多时，用频率估计概率。
放回与不放回试验的区别：
放回试验：每次试验的结果相互独立，总结果数不变（如摸球后放回）。
不放回试验：后一次试验的结果受前一次影响，总结果数减少（如摸球后不放回）。
游戏公平性修改技巧：
调整获胜条件，使双方获胜的概率相等，可通过增减结果数或修改得分规则实现。
幻灯片 10：常见错误分析
错误 1：计算概率时忽略结果的等可能性。
例如：认为掷两枚骰子，点数之和为\(2\)和\(7\)的概率相等，实际两者的结果数不同（和为\(2\)只有 1 种，和为\(7\)有 6 种）。
错误 2：混淆放回与不放回试验的结果数。
例如：在不放回摸球试验中，误将第二次摸球的结果数按放回计算，导致总结果数错误。
错误 3：用频率估计概率时试验次数不足。
例如：仅通过几次试验就得出概率估计值，结果偏差较大，应强调大量重复试验的必要性。
错误 4：判断游戏公平时只看结果数量，不计算概率。
例如：认为双方获胜的结果数不同就一定不公平，忽略结果的概率可能相等（如不同结果的概率权重不同）。
幻灯片 11：综合例题解析
例题 6：一个不透明的盒子中装有\(3\)个红球和\(2\)个黄球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色相同的概率。
解答：
（1）总球数为\(5\)，红球有\(3\)个，所以\(P\)（摸到红球）\(=\frac{3}{5}\) 。
（2）画树状图如下：
第一次摸球：红 1 - 第二次摸球：红 2，红 3，黄 1，黄 2
第一次摸球：红 2 - 第二次摸球：红 1，红 3，黄 1，黄 2
第一次摸球：红 3 - 第二次摸球：红 1，红 2，黄 1，黄 2
第一次摸球：黄 1 - 第二次摸球：红 1，红 2，红 3，黄 2
第一次摸球：黄 2 - 第二次摸球：红 1，红 2，红 3，黄 1
总结果数为\(20\)，两次颜色相同的结果数为\(8\)（3 红 + 3 红有 6 种，2 黄 + 2 黄有 2 种），所以\(P\)（颜色相同）\(=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\) 。
幻灯片 12：章末检测（选择题）
下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放广告 B. 任意画一个三角形，其内角和为\(180^{\circ}\) C. 明天会下雪 D. 掷一枚硬币，正面朝上
同时掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{3}{4}\)
在一个不透明的袋子中装有\(4\)个红球和\(6\)个白球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A. \(\frac{3}{5}\) B. \(\frac{9}{25}\) C. \(\frac{2}{5}\) D. \(\frac{16}{25}\)
幻灯片 13：章末检测（填空题）
一个不透明的盒子中装有\(5\)个黑球和\(n\)个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为\(\frac{1}{3}\)，则\(n = \) 。
某学习小组做 “用频率估计概率” 的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是 （填序号）。
①掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是\(5\)
②掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
③从一个装有\(2\)个红球和\(1\)个白球的袋子中摸出红球
一个口袋中有\(3\)个红球和\(2\)个蓝球，从中任意摸出两个球，摸到一个红球和一个蓝球的概率是 。
幻灯片 14：章末检测（解答题）
现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是\(1\)和\(2\)。从每组牌中
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
章末复习
第三章　概率的进一步认识
知识结构
概率
列表法
树状图法
求概率
用频率估计概率
1.用树状图或表格求概率.
复习导入
回顾：用树状图或表格求概率时应注意什么情况？
2.用频率估计概率.
如何用频率估计概率？
复习导入
核心考点训练
考点一 用列表格或画树状图求概率
考点二 用频率估计概率
1.某个事件发生的概率是 ,这意味着在两次重复试验中该事件必有一次发生吗
2.你能用试验的方法估计哪些事件发生的概率 举例说明.
3.有时通过试验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度,你能否通过模拟试验估计该事件发生的概率
4.你掌握了哪些求概率的方法 举例说明.
随机事件概率的计算
简单的随机事件
复杂的随机事件
具有等可能性
不具有等可能性
树状图
列表
试验法
摸拟试验
理论计算
试验估算
概率定义
用概率的意义求概率解决实际问题
1.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看某电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看该电视台早间新闻的概率大约是多少
【选自教材P72 复习题 知识技能】
解:根据概率的意义，可以认为其概率大约等于
=0.125
等可能性，用树状图或表格求概率
2.(1)连掷两枚骰子，它们的点数相同的概率是多少
(2)转动如图所示的转盘（转盘被分成面积相等的六个扇形）两次，两次所得的颜色相同的概率是多少
(3)某口袋装有编号为 1~6 的六个球（除编号外都相同）,先从中摸出一个球，将它放回口袋中，再摸一次，
两次摸到的球相同的概率是多少
白
红
蓝
黑
黄
绿
【选自教材P72 复习题 知识技能】
（4）小明认为，上面几个求概率的问题本质上是相同的，你同意他的观点吗？
白
红
蓝
黑
黄
绿
有放回摸拟试验用树状图和表格求概率
3.一个密码锁的密码由四个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开.粗心的小明忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是多少
【选自教材P72 复习题 知识技能】
解:其概率为 . 第一次从0-9这10个数字中抽取1个数字,其概率为 ;第二次仍从0-9中抽取每二个数字,其概率仍为 .故概率为 .
用树状图和表格求概率
4.用如图所示的两个转盘进行配“紫色”游戏，其概率是多少
白
蓝
红
黄
绿
蓝
红
【选自教材P73 复习题 数学理解】
有放回摸拟试验用树状图和表格求概率
5.某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1-15这15个数字中选择5个数字(可以重复)，若彩民所选择的5个数字与获奖号码相同，即可获得特等奖.
小明观察了最近100期获奖号码，发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相同)，66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻).他认为，获奖号码中不应该有这么多重号或连号，获奖号码不可能是随机产生的，有失公允.
小明的观点有道理吗 重号的概率大约是多少 利用计算器摸拟试验估计重号的概率.
用树状图和表格求概率
6.小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次.
(1)若两次数字之和为6,7或8,则小明胜,否则小亮胜.这个游戏对双方公平吗 说说你的理由.
(2)若两次数字之和为奇数,则小明胜；
若两次数字之和为偶数，则小亮胜.
这个游戏对双方公平吗 说说你的理由.
1
2
5
3
4
2
【选自教材P73 复习题 数学理解】
3
4
5
6
2
A盘
B盘
用试验的方法求概率
*7.如图,地面上铺满了正方形的地板砖(40cm×40cm),现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟,圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少 具体做做看.
【选自教材P74 复习题 问题解决】
1.
为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类(依次用A，B，C表示这三类比赛内容)．现将正面分别写有A，B，C的三张除正面内容外完全相同的卡片背面朝上并洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母．请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
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2.
[2025福州月考] 某校九年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．在每名学生只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
(1)本次共调查了
________名学生；
100
(2)请补全条形统计图；
解：选中B社团的人数为100－40－25－15＝20，
补全条形统计图如图所示．
(3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．
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3.
“少年易学老难成，一寸光阴不可轻．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物(唐僧，孙悟空，猪八戒，沙僧)的肖像制成编号为 A，B，C，D 的四张卡片(除编号和人物肖像外其余完全相同)，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面朝上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y.若他们取出的两张卡片上对应的人物关系是师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出(x，y)所有可能出现的结果；
解：列表如下．(用画树状图法也可以)
x A B C D
y A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
返回
概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.
从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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