资源简介

(共41张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第三章　概率的进一步认识 章末复习
副标题：深化概率理解，提升应用能力
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：复习目标
巩固概率的基本概念，能准确区分确定事件和随机事件，理解概率的意义。（基础）
熟练掌握用列表法、树状图法计算随机事件的概率，能根据不同情境选择合适的计算方法。（重点）
理解用频率估计概率的思想，能通过多次试验估计随机事件的概率。（重点）
能运用概率知识解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、决策分析等。（难点）
构建本章知识框架，体会随机思想和数形结合思想在概率计算中的应用。
幻灯片 3：知识网络构建
概率的进一步认识
├── 基本概念
│ ├── 确定事件：必然事件（概率为1）、不可能事件（概率为0）
│ ├── 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，概率范围0│ └── 概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值
├── 概率的计算方法
│ ├── 理论计算：
│ │ ├── 列表法：适用于两步或两步以上试验，列出所有等可能结果
│ │ └── 树状图法：适用于多步试验，直观呈现所有等可能结果
│ └── 实验估计：用频率估计概率，当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近
├── 概率的应用
│ ├── 判断游戏公平性：比较双方获胜的概率是否相等
│ ├── 决策分析：根据概率大小选择最优方案
│ └── 模拟试验：用替代物模拟实际试验计算概率
└── 注意事项
├── 计算概率时要确保所有结果等可能
├── 区分放回试验和不放回试验对结果的影响
└── 频率与概率的关系：频率是试验结果，概率是理论值
幻灯片 4：知识点 1：概率的基本概念
事件的分类：
确定事件：在一定条件下必然发生或必然不发生的事件。
必然事件：发生的概率为\(1\)，如 “太阳从东方升起”。
不可能事件：发生的概率为\(0\)，如 “掷一枚骰子，朝上的点数为\(7\)”。
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率范围是\(0概率的定义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，记为\(P(A)\)，其中\(A\)为随机事件。
注意事项：
概率反映的是事件发生的可能性大小，不能确定事件是否一定会发生。
必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)，但概率为\(1\)的事件不一定是必然事件，概率为\(0\)的事件不一定是不可能事件（特殊情境下）。
例题 1：下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 三角形内角和为\(180^{\circ}\) B. 掷一枚骰子，朝上的点数小于\(7\) C. 明天会下雨 D. 太阳从西方升起
答案：C
解析：A、B 是必然事件；C 是随机事件；D 是不可能事件。
幻灯片 5：知识点 2：用列表法计算概率
适用情境：适用于两步试验（或分两步完成的试验），且每一步试验的结果是等可能的。
基本步骤：
确定试验的两步操作，明确每一步的所有可能结果。
列出表格，横行表示第一步试验的所有结果，竖列表示第二步试验的所有结果。
表格中每个单元格表示一个等可能的试验结果。
找出事件\(A\)包含的结果数\(m\)，总结果数为\(n\)，则\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
注意事项：
确保列出的所有结果是等可能的。
区分放回试验和不放回试验：放回试验中，第一步的结果不影响第二步的结果；不放回试验中，第二步的结果受第一步结果的影响（结果数减少）。
例题 2：一个不透明的袋子中装有\(2\)个红球和\(3\)个白球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，求两次摸出的球都是红球的概率。
解答：列表如下：
第一次 / 第二次
红 1
红 2
白 1
白 2
白 3
红 1
（红 1，红 1）
（红 1，红 2）
（红 1，白 1）
（红 1，白 2）
（红 1，白 3）
红 2
（红 2，红 1）
（红 2，红 2）
（红 2，白 1）
（红 2，白 2）
（红 2，白 3）
白 1
（白 1，红 1）
（白 1，红 2）
（白 1，白 1）
（白 1，白 2）
（白 1，白 3）
白 2
（白 2，红 1）
（白 2，红 2）
（白 2，白 1）
（白 2，白 2）
（白 2，白 3）
白 3
（白 3，红 1）
（白 3，红 2）
（白 3，白 1）
（白 3，白 2）
（白 3，白 3）
总结果数为\(25\)，两次摸出红球的结果数为\(4\)，所以\(P\)（两次都是红球）\(=\frac{4}{25}\) 。
幻灯片 6：知识点 3：用树状图法计算概率
适用情境：适用于两步及两步以上的试验，能更直观地展示所有可能的结果，尤其是当试验步骤较多时，比列表法更清晰。
基本步骤：
明确试验的步骤，确定每一步的所有可能结果。
以树状图的形式呈现每一步的结果，从左到右依次列出各步试验的结果。
数出总结果数\(n\)和事件\(A\)包含的结果数\(m\)，则\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
注意事项：
每一步分支的结果要等可能。
树状图的分支要完整，不重复、不遗漏。
例题 3：同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子朝上的点数之和为\(7\)的概率。
解答：画树状图如下：
第一枚骰子：1 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 2，3，4，5，6，7）
第一枚骰子：2 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 3，4，5，6，7，8）
第一枚骰子：3 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 4，5，6，7，8，9）
第一枚骰子：4 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 5，6，7，8，9，10）
第一枚骰子：5 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 6，7，8，9，10，11）
第一枚骰子：6 - 第二枚骰子：1，2，3，4，5，6（和为 7，8，9，10，11，12）
总结果数为\(36\)，点数之和为\(7\)的结果数为\(6\)，所以\(P\)（点数之和为 7）\(=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\) 。
幻灯片 7：知识点 4：用频率估计概率
核心思想：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。
试验要求：
试验次数要足够多，次数越多，频率越接近概率。
试验条件要相同，确保试验的公平性和科学性。
计算公式：频率\(=\frac{事件发生的次数}{试验总次数}\)，当试验次数足够多时，频率≈概率。
例题 4：某射击运动员在同一条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数\(n\)
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数\(m\)
8
19
44
92
178
455
击中靶心频率\(\frac{m}{n}\)
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
估计该运动员射击一次击中靶心的概率为 。
答案：\(0.9\)（合理即可）
解析：随着射击次数的增加，击中靶心的频率稳定在\(0.9\)附近，所以估计概率为\(0.9\) 。
幻灯片 8：知识点 5：概率的应用 —— 游戏公平性判断
判断标准：在游戏中，若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。
解决步骤：
分析游戏规则，确定双方各自获胜的所有可能结果。
计算双方获胜的概率。
比较概率大小，若相等则公平，否则不公平；若不公平，可修改规则使双方概率相等。
例题 5：小明和小刚玩掷硬币游戏，规则如下：同时掷两枚硬币，若两枚硬币都正面朝上，则小明获胜；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则小刚获胜。这个游戏公平吗？请说明理由。
解答：列表如下：
第一枚 / 第二枚
正面
反面
正面
（正，正）
（正，反）
反面
（反，正）
（反，反）
总结果数为\(4\)，小明获胜的结果数为\(1\)，\(P\)（小明获胜）\(=\frac{1}{4}\) ；小刚获胜的结果数为\(2\)，\(P\)（小刚获胜）\(=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) 。
因为\(\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}\)，所以游戏不公平。
幻灯片 9：解法与技巧总结
概率计算方法选择：
两步试验优先用列表法或树状图法，列表法更简洁；三步及以上试验优先用树状图法，更清晰直观。
当试验结果无法用理论计算或结果数量较多时，用频率估计概率。
放回与不放回试验的区别：
放回试验：每次试验的结果相互独立，总结果数不变（如摸球后放回）。
不放回试验：后一次试验的结果受前一次影响，总结果数减少（如摸球后不放回）。
游戏公平性修改技巧：
调整获胜条件，使双方获胜的概率相等，可通过增减结果数或修改得分规则实现。
幻灯片 10：常见错误分析
错误 1：计算概率时忽略结果的等可能性。
例如：认为掷两枚骰子，点数之和为\(2\)和\(7\)的概率相等，实际两者的结果数不同（和为\(2\)只有 1 种，和为\(7\)有 6 种）。
错误 2：混淆放回与不放回试验的结果数。
例如：在不放回摸球试验中，误将第二次摸球的结果数按放回计算，导致总结果数错误。
错误 3：用频率估计概率时试验次数不足。
例如：仅通过几次试验就得出概率估计值，结果偏差较大，应强调大量重复试验的必要性。
错误 4：判断游戏公平时只看结果数量，不计算概率。
例如：认为双方获胜的结果数不同就一定不公平，忽略结果的概率可能相等（如不同结果的概率权重不同）。
幻灯片 11：综合例题解析
例题 6：一个不透明的盒子中装有\(3\)个红球和\(2\)个黄球，这些球除颜色外完全相同。
（1）从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色相同的概率。
解答：
（1）总球数为\(5\)，红球有\(3\)个，所以\(P\)（摸到红球）\(=\frac{3}{5}\) 。
（2）画树状图如下：
第一次摸球：红 1 - 第二次摸球：红 2，红 3，黄 1，黄 2
第一次摸球：红 2 - 第二次摸球：红 1，红 3，黄 1，黄 2
第一次摸球：红 3 - 第二次摸球：红 1，红 2，黄 1，黄 2
第一次摸球：黄 1 - 第二次摸球：红 1，红 2，红 3，黄 2
第一次摸球：黄 2 - 第二次摸球：红 1，红 2，红 3，黄 1
总结果数为\(20\)，两次颜色相同的结果数为\(8\)（3 红 + 3 红有 6 种，2 黄 + 2 黄有 2 种），所以\(P\)（颜色相同）\(=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\) 。
幻灯片 12：章末检测（选择题）
下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放广告 B. 任意画一个三角形，其内角和为\(180^{\circ}\) C. 明天会下雪 D. 掷一枚硬币，正面朝上
同时掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{4}\) B. \(\frac{1}{3}\) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(\frac{3}{4}\)
在一个不透明的袋子中装有\(4\)个红球和\(6\)个白球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到白球的概率是（ ）
A. \(\frac{3}{5}\) B. \(\frac{9}{25}\) C. \(\frac{2}{5}\) D. \(\frac{16}{25}\)
幻灯片 13：章末检测（填空题）
一个不透明的盒子中装有\(5\)个黑球和\(n\)个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到黑球的概率为\(\frac{1}{3}\)，则\(n = \) 。
某学习小组做 “用频率估计概率” 的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是 （填序号）。
①掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是\(5\)
②掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
③从一个装有\(2\)个红球和\(1\)个白球的袋子中摸出红球
一个口袋中有\(3\)个红球和\(2\)个蓝球，从中任意摸出两个球，摸到一个红球和一个蓝球的概率是 。
幻灯片 14：章末检测（解答题）
现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是\(1\)和\(2\)。从每组牌中
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
章末复习
第四章　图形的相似
相似图形
比例线段
相似三角形
位似
比例的基本性质
比例线段
平行线分线段成比例
判定
性质
应用
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复习回顾
比例的基本性质：
如果ad=bc，其中a，b，c，d为非零实数，那么 成立
平行于三角形一边的直线截与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
首页
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理1
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理2
三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形判定定理3
首页
相似三角形对应高的比、对应的角平分线的比、对应边上的中线的比等于相似比.
相似三角形的性质
相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
首页
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标，纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 .
位似
首页
1.判断正误：
(1)若线段a=5cm, b=2cm，则a : b=5 : 2； ( )
(2)若A，B两地在地图上的距离为7cm，地图的比例尺为l∶5000，则A，B两地的实际距离为35m； ( )
(3)若线段AB= cm，C是AB的黄金分割点，且AC > BC，则 cm. ( )
√
×
√
随堂练习
2. (1)四条线段a， b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.
(2)已知 ，且a+b-2c =3，求a的值.
6a=3×2，∴a=1cm
代入a+b-2c =3中，求得a=6
3.如图，已知直线a//b//c，分别交直线 m，n于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的长.
m
n
a
b
c
A
C
E
B
D
F
∵ AC=4，CE=6，BD=3
∴解得 DF=4.5
∴BF=4.5+3=7.5
4.如图，点B，D在AF 上，点C，E在AG上，BC//DE//FG ,图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？
A
C
E
B
D
F
G
△ABC∽△ADE；
△ABC ∽△AFG；
△ADE∽△AFG.
提示:由BC//DE//FG，得∠ABC= ∠ADE= ∠AFG,而∠A是公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得结论;或由BC//DE//FG，得 而∠A是公共角，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得结论.
5.如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2acm，DB=acm，BC=bcm，∠A=70°， ∠B=50°.
A
C
E
B
D
（1）求∠ADE的度数；（2）求∠AED的度数；（3）求DE 的长.
解 （1）∠B=∠ADE=50°
（2）∠AED=∠C=180°-∠A -∠B
=180°-70°-50°=60°
∵ BC=bcm
6.如果两个相似三角形面积比为4∶9，那么这两个相似三角形对应边的比是多少？
这两个相似三角形对应边的比是2∶3
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC、AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE.
A
C
E
B
D
解 ∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∵AD=3BD
∴AD= AB
∵ S△ABC=48
∴ S△ADE=27
8.如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD.OA·OD=OC·OB成立吗？为什么？
A
C
O
B
D
证明 成立.
∵ AC∥BD
∴∠D=∠C， ∠B=∠A
∴△DOB∽△AOC
∴OA·OD=OC·OB
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且AD=31，DB=29，AE=30，EC=32.请找出∠1，∠2，∠3，∠4中相等的角.
证明 ∵ AD=31，DB=29，AE=30，EC=32
∴AB=60，AC=62
∴△ABC∽△AED
∴∠1=∠4，∠2=∠3
10. 公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2∶3，面积的差为30m2，它们的面积之和为多少
11.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数.
A
C
B
D
P
解 ∵△ACP∽△PDB
∴∠A=∠BPD，∠B=∠APC
∵∠CPD+2∠BPD+2∠APC=180°
且∠CPD=60°
∴2∠BPD+2∠APC=120°
∴∠BPD+∠APC=60°
∴ ∠APB=∠BPD+∠APC+∠CPD =120°
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A (6，0), B (6，4)，C(0，4).已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ，求点B'的坐标.
∴两个四边形的相似比是
∴ B′(3,2)
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上去一点E，连接OE交BC于点F.已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长.
A
C
B
D
G
F
E
O
解 如图，延长EO与AD相交于点G
∵OA=OC，∠OAG=∠OCF， ∠AOG=∠COF
∴△AOG≌△COF
∴AG=CF
∵BC∥AD，
∴△CEF∽△DEG
∵ AB=a，BC=b，CE=c
解得 CF=
14.如图，在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比.
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
-8
-10
A
B
C
A′(-4,-8)
B′(4,-10)
C′(8,0)
15.将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图
（1）所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？(如图(2)(3))
三角形和正方形相似，长方形不相似
16.如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图(1)相似的图形.
沿着直线l截去上面一块，就可以变为与图（1）相似的图形
17.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q、求BP : PQ: QR.
BP∶PQ∶QR =3∶1∶2.
提示:易证BC=CE，PC//RE，于是BP=PR，
，△PCQ∽△RDQ，所以
， 所以 ， .
18.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB= .BC=1，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1)求证：△BFG∽△FEG；(2)求AP : PC.
且可知 ∠BGF=∠FGE
∴ △BFG∽△FEG
18.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB= .BC=1，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1)求证：△BFG∽△FEG；(2)求AP : PC.
（2）由（1）可知∠PBC=∠EFG=∠BAC，
又∠BCP=∠ACB
∴△BCP∽△ACB
∴AP∶PC=2∶1
19.如图，在平面直角坐标系中，以原点О为位似中心画一个四边形，使它与矩形OBCD位似，且相似比为1∶2．你有几种方法？
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
-8
-10
D
B
C
D′(0,2)
B′(4,0)
C′(4,2)
D′′(0,-2)
B′′(-4,0)
C′′(-4,-2)
20.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M.已知 AB= 10m，CD=15m，求点M离地面的高度MH.
解 ∵AB∥CD，∴△ABM∽△CDM
BH等于△ABM的边AB上的高，
HD等于△CDM的边CD上的高.
∵MH∥CD，∴△BHM∽△BDC,
21.一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为 1.5m，怎样才能把它加第四章图形的相似工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.
解 由题意可知BC=2m，AC=2.5m
在图（甲）中，过点B作AC的垂线，分别交ED和AC于点K，H，求得BH=1.2m.设正方形的边长为xm，∵△BDE∽△BCA
在图（乙）中，设正方形的边长为ym，∵△BDE∽△BCA
因为y＞x，所以乙的面积更大.
K
H
22.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当以P、C、D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长.
两个三角形相似有两种情况：
（1）∠A=∠CPD.此时有 ，即 ，
求得PB=12或2.
（2）∠A=∠C.此时有 ，即 ，
求得PB=8.4.
23.如图，△ABC的三边长分别为a， b，c ( a>b > c )，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1， △ABC∽△A1B1C1 ，相似比为k (k>-1) .
(1)若c=a1，求证：a = kc；
(2)若c =a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数；
(3)若b=a，c=b1，是否存在△ABC和△ABC使得k=2？请说明理由.
（2）答案不唯一，如可以取a=8，b=6，c=4，
a1=4，b1=3，c1=2，
所以△ABC∽△A1B1C1
（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1.
若k=2，则a=2a1， b=2b1， c=2c1;
于是a=2a1=2b=4b1=4c，所以b=2c；所以b+c=2c+c＜4c=a，这与b+c＞a相矛盾.
返回
A
1.
已知a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3 cm，c＝6 cm，d＝9 cm，则线段a的长为(　　)
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
返回
2.
[2024连云港中考]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为(　　)
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
D
返回
3.
如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C，D都是线段AB的黄金分割点(AC>CD)．已知AC＝2 cm，那么AB＝________cm.
返回
4.
D
返回
5.
如果线段a，b，c，d满足ad＝bc，那么下列各式中不成立的是(　　)
B
返回
6.
如图，AB∥CD∥EF，DE＝2AE，BC＝9，则CF的长为(　　)
A．6
B．8
C．9
D．10
A
返回
7.
已知△ABC∽△DEF，△DEF的周长是△ABC周长的一半，S△DEF＝6，AB＝8，则AB边上的高等于(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
B
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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