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幻灯片 1：封面
标题：第一章　特殊平行四边形 章末复习
副标题：梳理性质判定，强化综合应用
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：复习目标
巩固矩形、菱形、正方形的定义，明确它们与平行四边形的关系。（基础）
熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能灵活运用解决计算和证明问题。（重点）
理解特殊平行四边形之间的内在联系与区别，能进行性质和判定的综合应用。（重点）
能运用特殊平行四边形的知识解决实际问题，提升逻辑推理和几何直观能力。（难点）
构建本章知识体系，体会转化思想和数形结合思想在几何问题中的应用。
幻灯片 3：知识网络构建
特殊平行四边形
├── 与平行四边形的关系：特殊平行四边形是具有特殊性质的平行四边形
├── 矩形
│ ├── 定义：有一个角是直角的平行四边形
│ ├── 性质：
│ │ ├── 具有平行四边形的所有性质
│ │ ├── 四个角都是直角
│ │ └── 对角线相等且互相平分
│ └── 判定：
│ ├── 有一个角是直角的平行四边形
│ ├── 对角线相等的平行四边形
│ └── 三个角是直角的四边形
├── 菱形
│ ├── 定义：有一组邻边相等的平行四边形
│ ├── 性质：
│ │ ├── 具有平行四边形的所有性质
│ │ ├── 四条边都相等
│ │ └── 对角线互相垂直平分，且平分每一组对角
│ └── 判定：
│ ├── 有一组邻边相等的平行四边形
│ ├── 对角线互相垂直的平行四边形
│ └── 四条边都相等的四边形
├── 正方形
│ ├── 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形又是菱形）
│ ├── 性质：
│ │ ├── 具有矩形和菱形的所有性质
│ │ ├── 四条边都相等，四个角都是直角
│ │ └── 对角线相等且互相垂直平分，平分每一组对角
│ └── 判定：
│ ├── 有一组邻边相等的矩形
│ ├── 有一个角是直角的菱形
│ ├── 对角线相等且互相垂直的平行四边形
└── 相互关系：正方形 矩形 平行四边形；正方形 菱形 平行四边形
幻灯片 4：知识点 1：矩形的性质与判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）。
特有性质：
四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。
对角线相等（AC=BD）。
矩形的判定：
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
例题 1：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长。
解答：在矩形 ABCD 中，OA=OB=OC=OD（矩形对角线互相平分且相等）。因为∠AOB=60°，所以△AOB 是等边三角形，OA=AB=4，因此 AC=2OA=8，即矩形对角线的长为 8。
幻灯片 5：知识点 2：菱形的性质与判定
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）。
特有性质：
四条边都相等（AB=BC=CD=DA）。
对角线互相垂直（AC⊥BD）。
对角线平分每一组对角（AC 平分∠A 和∠C，BD 平分∠B 和∠D）。
菱形的判定：
定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
例题 2：菱形 ABCD 的对角线 AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积。
解答：菱形对角线互相垂直平分，所以 OA=3，OB=4。在 Rt△AOB 中，AB=√(OA +OB )=√(3 +4 )=5，因此周长为 4×5=20。面积 = ×AC×BD= ×6×8=24。
幻灯片 6：知识点 3：正方形的性质与判定
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（也可定义为：有一组邻边相等的矩形或有一个角是直角的菱形）。
正方形的性质：
具有矩形的所有性质（四个角都是直角、对角线相等）。
具有菱形的所有性质（四条边都相等、对角线互相垂直平分、平分每一组对角）。
特有性质：对角线与边的夹角为 45°。
正方形的判定：
定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
例题 3：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC=10，求正方形的边长和面积。
解答：设正方形边长为 a，由勾股定理得 a +a =AC ，即 2a =100，a =50，a=5√2。面积 = a =50。
幻灯片 7：知识点 4：特殊平行四边形的关系
包含关系：
矩形、菱形是特殊的平行四边形；正方形是特殊的矩形和特殊的菱形。
集合表示：平行四边形 矩形 正方形；平行四边形 菱形 正方形。
转化关系：
平行四边形 + 一个角是直角→矩形；平行四边形 + 对角线相等→矩形。
平行四边形 + 一组邻边相等→菱形；平行四边形 + 对角线垂直→菱形。
矩形 + 一组邻边相等→正方形；菱形 + 一个角是直角→正方形。
对比表格：
图形
边的性质
角的性质
对角线性质
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
相等且互相平分
菱形
四条边都相等
对角相等
互相垂直平分，平分一组对角
正方形
四条边都相等
四个角都是直角
相等且互相垂直平分，平分一组对角
幻灯片 8：知识点 5：特殊平行四边形的综合应用
性质的综合应用：利用特殊平行四边形的性质求角度、线段长度、面积，证明线段相等或垂直等。
判定的综合应用：结合定义和判定定理，证明一个四边形是矩形、菱形或正方形。
动态问题：通过图形变换（如折叠、旋转）探究特殊平行四边形的性质变化。
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN 于点 E。求证：四边形 ADCE 是矩形。
证明：因为 AB=AC，AD 平分∠BAC，所以 AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∠BAD=∠CAD。AN 平分∠CAM，所以∠CAN=∠MAN。又因为∠BAC+∠CAM=180°，所以∠CAD+∠CAN=90°，即∠DAN=90°。因为 CE⊥AN，所以∠AEC=90°，因此四边形 ADCE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
幻灯片 9：解法与技巧总结
性质应用技巧：
求线段长度：利用矩形对角线相等、菱形对角线垂直、正方形对角线相等且垂直等性质，结合勾股定理计算。
求面积：矩形面积 = 长 × 宽；菱形面积 = 底 × 高 = × 对角线乘积；正方形面积 = 边长 = × 对角线 。
证明线段关系：利用对角线互相平分、相等、垂直等性质，结合全等三角形或等腰三角形知识。
判定思路：
证明矩形：先证是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等；或直接证三个角是直角。
证明菱形：先证是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直；或直接证四条边相等。
证明正方形：先证是矩形再证一组邻边相等；或先证是菱形再证一个角是直角。
幻灯片 10：常见错误分析
错误 1：混淆特殊平行四边形的性质。
例如：认为菱形的对角线相等（实际菱形对角线垂直但不一定相等，矩形对角线相等但不一定垂直）。
错误 2：判定时忽略前提条件。
例如：认为 “对角线相等的四边形是矩形”（实际需先证是平行四边形）。
错误 3：计算面积时记错公式。
例如：菱形面积误用 “对角线之和的一半”（正确应为对角线乘积的一半）。
错误 4：忽略正方形的双重性。
例如：证明正方形时，只证明是矩形未证明邻边相等，或只证明是菱形未证明有直角。
幻灯片 11：综合例题解析
例题 5：如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，连接 BE、DE。求证：BE=DE。若 BE=2，求四边形 ABED 的面积。
解答：
证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°。在△ABE 和△ADE 中，AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，所以△ABE≌△ADE（SAS），因此 BE=DE。
面积计算：连接 BD 交 AC 于 O，正方形对角线互相垂直平分，BO=DO，AO⊥BD。S△ABE= ×AO×BO，S△ADE= ×AO×DO，因为 BO=DO，所以 S△ABE=S△ADE。四边形 ABED 的面积 = S△ABD + S△ADE= ×AB×AD + S△ABE。因为 BE=2，在 Rt△BOE 中，BO=OE=√2（正方形对角线夹角 45°），AO=BO+OE=2√2，BD=2BO=2√2，S△ABD= ×BD×AO× = ×2√2×2√2=4，因此四边形 ABED 的面积 = 4 + 2=6（具体计算需结合图形细节调整）。
幻灯片 12：章末检测（选择题）
下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A. 矩形的对角线互相垂直 B. 矩形的四条边都相等 C. 矩形的对角线相等 D. 矩形的邻边相等
菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 四个角都是直角
下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形 B. 对角线互相垂直的矩形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 四个角都是直角的四边形
幻灯片 13：章末检测（填空题）
矩形的对角线长为 10cm，一条边长为 6cm，则另一条边长为 cm。
菱形的一个内角为 60°，边长为 4，则菱形的面积为 。
正方形的对角线长为 8，则正方形的边长为 ，面积为 。
幻灯片 14：章末检测（解答题）
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 OA、OD 的中点，求证：四边形 BCFE 是等腰梯形。
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是中线，过点 A 作 AE⊥CD，交 CD 的延长线于点 E，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F。求证：四边形 AEBF 是菱形。
幻灯片 15：章末检测答案
答案：C
解析：矩形对角线相等且互相平分，A 错误；矩形对边相等，邻边不一定相等，B、D 错误；C 正确。
答案：C
解析：A、B 是两者共有的性质；D 是矩形特有性质；C 是菱形特有性质。
答案：B
解析：A 缺少平行四边形条件；B 对角线互相垂直的矩形是正方形；C 是矩形的判定；D 是矩形的定义。
答案：8
解析：矩形对角线与两边构成直角三角形，另一条边长 =√(10 -6 )=8。
答案：8√3
解析：菱形面积 = 边长 × 高 = 4×(4×sin60°)=4×2√3=8√3。
答案：4√2；32
解析：边长 = 8/√2=4√2，面积 =(4√2) =32。
证明：在矩形 ABCD 中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC。E、F 分别是 OA、OD 的中点，所以 OE=OF，EF∥AD，因此 EF∥BC。∠OEF=∠OFE，∠OBC=∠OCB，又因为∠AOD=∠BOC，所以∠OEF=∠OBC，因此 EF∥BC 且 BE=CF，四边形 BCFE 是等腰梯形。
证明：在 Rt△ABC 中，CD 是中线，所以 CD=AD=BD。AE⊥CD，BF⊥CD，所以∠AED=∠BFD=90°。∠ADE=∠BDF，所以△ADE≌△BDF（AAS），AE=BF。因为 AE⊥CD，BF⊥CD，所以 AE∥BF，四边形 AEBF 是平行四边形。又因为 AE⊥EF，所以平行四边形 AEBF 是菱形（有一组邻边垂直的平行四边形是菱形）。
幻灯片 16：结束页
总结语：本章重点学习了矩形、菱形、正方形的性质与判定，核心是理解它们与平行四边形的关系及各自的特殊性，掌握性质与判定的综合应用。
建议：多进行性质与判定的对比练习，通过综合题训练提升逻辑推理能力，注重数形结合思想的运用，构建清晰的知识框架。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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章末复习
第一章　特殊平行四边形
复习回顾
特殊四边形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一个角是直角且邻边相等
邻边相等
邻边相等
有一个角是直角
几种特殊四边形的性质：
边 角 对角线 对称性
矩形
菱形
正方形
平行且相等
四个角
都是直角
互相平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
平行
且四边相等
平行
且四边相等
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相垂直平分
互相垂直平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
几种特殊四边形的常用判定方法：
判定方法
矩形
菱形
正方形
1.定义：有一角是直角的平行四边形
2.三个角是直角的四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形
2.四条边都相等的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形
3.有一个角是直角的菱形
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C
1.
如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，连接AD，BD⊥AD，AB＝6，BC＝8，则DF＝(　　)
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2.
如图，四边形ABCD是菱形，AB＝BD＝4，则菱形ABCD的周长、面积分别为(　　)
A
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3.
A
4.
[2024威海中考] 将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝________.
【点拨】
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5.
[2024重庆中考] 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为(　　)
【点拨】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠ADC＝∠C＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4，
∴∠ADF＝90°，∴∠ABE＝∠ADF.
又∵BE＝DF＝1，∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF，∵AM平分∠EAF，∴∠EAM＝∠FAM，
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△AFM(SAS)，∴EM＝FM，
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【答案】D
6.
[2025太原月考] 已知一个正方形花园ABCD．
(1)如图①，E，F是它的两个门(门的宽度忽略不计)，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，问这两条路等长吗？为什么？
解：这两条路等长．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.
∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，
∴这两条路等长．
(2)如图②，在正方形花园ABCD的四边各开一个门E，F，G，H(门的宽度忽略不计)，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？
解：这两条路等长．理由如下：
如图，过点E作EM⊥BC于点M，交HF于点P，
过点H作HN⊥CD于点N，交EM于点Q，
则∠EMG＝∠EMC＝∠HNF＝∠HND＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝CD.
∴∠A＝∠HND＝∠D＝90°，
∠EMC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形AHND、四边形EMCD都是矩形．
∴EM∥CD，HN＝AD，EM＝CD.
∴∠HQP＝∠HNF＝90°，HN＝EM.
∴∠NHF＋∠HPQ＝90°. ∵EG⊥FH，
∴易得∠MEG＋∠HPQ＝90°，
∴∠MEG＝∠NHF.
又∵EM＝HN，∠EMG＝∠HNF，∴△EMG≌△HNF，
∴EG＝FH，∴这两条路等长．
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7.
如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN.
(1)求证：∠DMN＝∠BNM；
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.
∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO.
又∵∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON，∴BM＝DN.
∴四边形BMDN为平行四边形．
∴BN∥DM.∴∠DMN＝∠BNM.
(2)若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.
∴AB＝BC.∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴MN⊥BD.
∴平行四边形BMDN是菱形．
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8.
如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个条件中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为矩形.
①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4.
(1)你添加的条件是____________(填序号)；
①(或②)
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
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9.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？请说明理由.
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10.
[教材P25习题T4变式] 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O旋转，两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积大小有什么规律？请说明理由.
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四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
两组对边分别平行的四边形
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
有一组邻边相等的矩形
有一个角是直角的菱形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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