资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：21.1 二次函数
副标题：探索变量间的二次函数关系
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：情境引入与学习目标
情境引入：在现实生活中，存在许多变量之间的关系。比如，用长为 20m 的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积 S（m ）与矩形的一边长 x（m）之间存在怎样的关系？又如，物体从高处自由落下，下落的距离 h（m）与下落时间 t（s）之间的关系是 h=4.9t 。这些关系都属于我们今天要学习的二次函数。
学习目标：
理解二次函数的定义，能识别二次函数。
掌握二次函数的一般形式，能确定二次函数中的各项系数。
能根据实际问题列出二次函数关系式，体会二次函数在实际生活中的应用。
通过探究二次函数的定义和关系式，培养抽象思维和数学建模能力。
幻灯片 3：二次函数的定义
实例分析：
上述矩形菜园问题中，矩形另一边长为 (10 - x) m，面积 S = x (10 - x) = -x + 10x。
物体自由下落问题中，h = 4.9t 。
某产品的利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的关系为 y = -x + 50x - 300。
共同特征：这些函数关系式都是关于自变量的二次整式，自变量的最高次数是 2。
定义表述：一般地，形如 y = ax + bx + c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意事项：
a≠0 是二次函数定义的重要组成部分，若 a=0，则函数变为 y = bx + c，是一次函数（当 b≠0 时）或常数函数（当 b=0 时）。
自变量 x 的取值范围是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要根据具体情境确定。
幻灯片 4：二次函数的一般形式及系数识别
一般形式：y = ax + bx + c（a≠0），其中 ax 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项。
系数识别例题：
对于函数 y = 3x + 2x - 1，二次项系数 a=3，一次项系数 b=2，常数项 c=-1。
对于函数 y = -x + 5，二次项系数 a=-1，一次项系数 b=0，常数项 c=5（这里一次项不存在，系数为 0）。
对于函数 y = 2x ，二次项系数 a=2，一次项系数 b=0，常数项 c=0。
练习巩固：给出几个不同的二次函数表达式，让学生快速说出各项系数，强化对二次函数一般形式的理解。
幻灯片 5：二次函数的判定
判定方法：判断一个函数是否为二次函数，需满足以下条件：
函数表达式是关于自变量的整式。
自变量的最高次数是 2。
二次项系数不为 0。
例题判断：
y = x + 2x - 3 是二次函数（满足三个条件）。
y = 2x + 1 不是二次函数（自变量最高次数是 1）。
y = x + x 不是二次函数（自变量最高次数是 3）。
y = (x - 1)(x + 2) - x 化简后为 y = x - 2，不是二次函数（二次项抵消，a=0）。
y = mx + nx + p（m，n，p 是常数）不一定是二次函数（当 m=0 时不是）。
学生互动：让学生自主判断几个函数是否为二次函数，并说明理由，教师进行点评和纠正。
幻灯片 6：根据实际问题列二次函数关系式（一）
例题 1：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天的盈利为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式。
分析：每件衬衫降价 x 元后，每件盈利为 (40 - x) 元，每天可售出 (20 + 2x) 件，根据 “盈利 = 每件盈利 × 销售量” 列出关系式。
解答过程：y = (40 - x)(20 + 2x) = 40×20 + 40×2x - x×20 - x×2x = 800 + 80x - 20x - 2x = -2x + 60x + 800。所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = -2x + 60x + 800（x≥0，且 40 - x≥0，即 0≤x≤40）。
注意事项：在实际问题中，列出函数关系式后，要根据实际意义确定自变量的取值范围。
幻灯片 7：根据实际问题列二次函数关系式（二）
例题 2：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与半径 r 之间的函数关系式。
分析：圆柱的表面积由两个底面面积和一个侧面积组成，底面是圆，面积为 πr ，侧面积为底面圆的周长乘以高，底面圆周长为 2πr，高等于半径 r，所以侧面积为 2πr×r = 2πr 。
解答过程：S = 2×πr + 2πr×r = 2πr + 2πr = 4πr 。所以 S 与 r 之间的函数关系式为 S = 4πr （r > 0）。
方法总结：根据实际问题列二次函数关系式，需先明确问题中的等量关系，再用含自变量的代数式表示相关量，最后代入等量关系得到函数关系式，并确定自变量的取值范围。
幻灯片 8：二次函数与其他函数的区别
与一次函数的区别：
一次函数的一般形式是 y = kx + b（k≠0），自变量最高次数是 1；二次函数的一般形式是 y = ax + bx + c（a≠0），自变量最高次数是 2。
图像形状不同，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线。
与正比例函数的区别：
正比例函数是特殊的一次函数，形式为 y = kx（k≠0），无常数项，自变量最高次数是 1；二次函数有二次项，自变量最高次数是 2。
与反比例函数的区别：
反比例函数的一般形式是 y = k/x（k≠0），自变量在分母上，次数是 - 1；二次函数自变量在分子上，次数是 2，且是整式函数，反比例函数是分式函数。
幻灯片 9：课堂练习（一）—— 二次函数的识别与系数确定
题目 1：下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
y = 5x - 3 2. y = x(x - 2) 3. y = 2x + 1 4. y = (x + 1) - x
题目 2：若函数 y = (m - 2) x + 3x - 1 是二次函数，则 m 的取值范围是______。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查学生对二次函数定义和系数识别的掌握情况。
幻灯片 10：课堂练习（二）—— 列二次函数关系式
题目 1：用一根长为 30cm 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x cm，面积为 S cm ，求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。
题目 2：某产品的成本为每件 20 元，售价为每件 x 元，每天的销售量为 (100 - x) 件，求每天的利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。
分析与解答提示：题目 1 根据矩形周长公式求出另一边长，再结合面积公式列出关系式；题目 2 根据 “利润 =（售价 - 成本）× 销售量” 列出关系式，注意售价要大于成本，且销售量不能为负数。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：回顾二次函数的定义，即形如 y = ax + bx + c（a≠0）的函数；强调二次函数的一般形式及各项系数的识别方法；总结根据实际问题列二次函数关系式的步骤和注意事项。
方法归纳：判断二次函数需紧扣定义，关注自变量最高次数为 2 且二次项系数不为 0；列实际问题的函数关系式时，要先分析等量关系，再用代数式表示相关量，最后确定自变量取值范围。
能力提升：通过本节课的学习，要能准确识别二次函数，熟练确定各项系数，并能根据实际问题建立二次函数模型，为后续学习二次函数的图像和性质奠定基础。
幻灯片 12：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固二次函数的定义、系数识别和简单的关系式列出。
提升作业：如图，有一块长为 10m，宽为 6m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的小路，若小路的宽度为 x m，绿地的总面积为 y m ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。
拓展作业：收集生活中应用二次函数的实例，尝试分析其中的变量关系并列出二次函数关系式，下节课进行分享交流。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.1　二次函数
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.
回顾与思考
什么叫函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量， y叫因变量.
目前我们已经学习了哪几种类型的函数？
一次函数：y=kx+b(k≠0)
正比例函数： y=kx(k≠0)
有二次函数吗？
喷泉
投篮
彩虹桥
这些美丽的弧
线会与某种函数
有联系吗？
思考
问题① 如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？
水面面积 = 一条边长×另一条边长
x m
(20–x)m
S m
S=x(20–x)
此式表示了边长x与围网的
面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
S= –x2 +20x
解：设矩形水面的一条边长为xm.
问题② 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
玩具总数=总人数×每人每天装配玩具数
15+x
190–10x
y
解：设增加x人.
y=(15+x)(190–10x)
此式表示了增加的人数x与装
配玩具总数y之间的关系，对于
x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
y= –10x2 +40x +2850
观察下边两个函数关系式，他们有什么特点呢？
y = –10x2 +40x +2850
S = –20x2 +20x
函数表达式都是自变量的二次式
思考
你能给这类特殊的函数下个定义吗？
二次函数
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
归纳
注意：
(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；
(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；
(3) a，b，c是常数，且a≠0.
S = –x2 +20x
思考
这里的x表示的是矩形的一个边长
问题① 如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
在这个函数关系
式中，自变量x的取值有什么限
制呢？
解：设矩形水面的一条边长为xm(面积用S表示).
x＞0
长40m的围网
x＜20
所以x的取值范围是：0＜x＜20
二次函数自变量的取值范围：
一般都是全体实数，但是在一些实
际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
做一做
(1)y=3x –2 ( )
(2)m= –n –3 ( )
(3)y=x(1–2x)+2x ( )
(4)y=x(+3x) ( )
(5)y=+x –2 ( )
(6)y=x (1+x ) ( )
下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
√
√
×
合并后a=0
√
×
×
典型例题
关于x的函数
是二次函数，求m的值.
若
是二次函数，须满
足什么条件？
等号右边的整式要含有二次项
二次项系数不等于0
m2–m=2
m+1≠0
解：由题意可得，m2–m=2，m+1≠0.
解得，m=2.
所以m=2时函数
是二次函数.
知识点1 二次函数的概念及自变量的取值范围
1． [知识初练]若y关于x的函数y＝axb－7是二次函数，则b＝
______，a应该满足______，自变量x的取值范围是
__________．
2． [2024·江苏期中]下列函数中一定是二次函数的是(　　)
A． y＝3x－1 B． y＝ax2＋bx＋c
D． s＝2t2－2t＋1
2
a≠0
全体实数
D
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3． 若关于x的函数y＝(a－1)x2＋x－2是二次函数，则a应满
足的条件是(　　)
A． a≠0 B． a＝0
C． a≠1 D． a＝1
C
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4. [原创题]分别指出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数和常数项．
二次项系数 一次项系数 常数项
y＝x2＋4x
y＝1－x2
y＝(－x＋2)(x－3)
1
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0
－1
0
1
－1
5
－6
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知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
【主题情境】
3D打印技术
某3D打印工作室主要承接各类创意模型的打印订单，随
着技术的推广，业务上有不同方面的变化，这些变化可以用
二次函数来描述．请完成5－7题．
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5． 已知该3D打印工作室年初开业时，第一个月完成了50件
3D打印作品，之后由于线上宣传推广，订单量逐月增长，
设每月的增长率都是x，经过两个月增长后的月订单量y(件)
与x的函数关系式为_________________．
6．3D打印工作室准备设计一款新的圆形打印平台，若圆的
半径是4 cm，当半径增加x(cm)，圆的面积增加y(cm2)，则y
关于x的函数关系式是______________．
y＝50(1＋x)2
y＝πx2＋8πx
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7． 如图，3D打印工作室有一个户外展示区域，计划用长为
24 m的挡板，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围
成中间隔有一道挡板的矩形场地来展示大型3D打印雕塑作
品．设AB为x m，面积为S m2.
(1)求S关于x的函数关系式；
解：(1)因为AB为x m，挡板长为24 m，
所以AD＝(24－3x)m，
所以S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
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7． 如图，3D打印工作室有一个户外展示区域，计划用长为24 m的挡板，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道挡板的矩形场地来展示大型3D打印雕塑作品．设AB为x m，面积为S m2.
（2）自变量的取值范围是多少？
因为矩形的长和宽都要大于0，
且墙的最大可利用长度为10 m，所以有
解得 ≤x<8.
所以自变量的取值范围是 ≤x<8.
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编者注：中档练每题均提供1～2道变式题(扫码下载Word版)．
8．下列函数关系中，可以看成二次函数的是（ ）
A. 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B. 正方形的周长与边长之间的关系
C. 正方形的面积与边长之间的关系
D. 圆的周长与半径之间的关系
C
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9． [2025·安庆月考改编]已知关于x的函数y＝(m2＋2m)x2＋
mx＋m＋1.请写出下列各题中m需满足的条件．
(1)当________时，此函数是一次函数；
(2)当______________时，此函数是二次函数．
m＝－2
m≠－2且m≠0
点拨：(1)因为函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函数，
所以m2＋2m＝0且m≠0.解得m＝－2.
(2)因为函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函数，
所以m2＋2m≠0，解得m≠－2且m≠0.
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10. [2025年1月芜湖期末] 超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元。为了尽快减少库存，超市决定采取适当降价的措施. 经调查发现，若每箱每降价1元，每天可多售5箱。若设每箱降价x元。
(1) 根据题意，填表：
每箱利润（元） 日销售量（箱） 利润（元）
降价前 30 20 600
降价后 ①___________ ②__________
30－x
20＋5x
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10. [2025年1月芜湖期末] 超市的某种牛奶平均每天可销售20箱，每箱盈利30元. 为了尽快减少库存，超市决定采取适当降价的措施. 经调查发现，若每箱每降价1元，每天可多售5箱. 若设每箱降价x元.
(2) 若每天获得利润W元，求W与x之间的函数关系式.（不必写出x的取值范围）
根据题意，得W＝(30－x)(20＋5x)，
化简，得W＝－5x2＋130x＋600，
所以W与x之间的函数关系式为W＝－5x2＋130x＋600.
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二次函数
二次函数的定义：
自变量的取值范围：
一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.
一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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