资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：21.2.2 二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象和性质
副标题：探究二次函数图象的上下平移规律与性质变化
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了最简单的二次函数\(y = ax^2\)的图象和性质，知道它的图象是抛物线，其性质受\(a\)的取值影响，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值等。当二次函数的表达式变为\(y = ax^2 + k\)时，它的图象和性质会发生怎样的变化呢？
情境引入：如图，在平面直角坐标系中，已经画出了\(y = x^2\)的图象，若将这个图象向上或向下平移一定的距离，得到的新图象对应的函数表达式会是什么形式？它与原函数的图象和性质有哪些联系与区别？本节课将深入探究这些问题。
学习目标：
理解二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象与\(y = ax^2\)的图象之间的平移关系。
掌握二次函数\(y = ax^2 + k\)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
理解\(a\)和\(k\)的取值对二次函数\(y = ax^2 + k\)图象和性质的影响。
能运用二次函数\(y = ax^2 + k\)的性质解决简单问题，进一步培养数形结合思想。
幻灯片 3：二次函数\(y = x^2 + k\)与\(y = x^2\)的图象关系探究
实例绘制：
分别列出\(y = x^2\)、\(y = x^2 + 1\)、\(y = x^2 - 2\)的函数值表：
\(x\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(y = x^2\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(y = x^2 + 1\)
\(5\)
\(2\)
\(1\)
\(2\)
\(5\)
\(y = x^2 - 2\)
\(2\)
\(-1\)
\(-2\)
\(-1\)
\(2\)
在同一平面直角坐标系中，用描点法画出这三个函数的图象。
图象观察：观察发现\(y = x^2 + 1\)的图象是由\(y = x^2\)的图象向上平移 1 个单位长度得到的；\(y = x^2 - 2\)的图象是由\(y = x^2\)的图象向下平移 2 个单位长度得到的。
平移规律总结：二次函数\(y = x^2 + k\)的图象可以由\(y = x^2\)的图象通过上下平移得到，当\(k\gt0\)时，向上平移\(k\)个单位长度；当\(k\lt0\)时，向下平移\(\vert k\vert\)个单位长度。
幻灯片 4：二次函数\(y = x^2 + k\)的性质分析
以\(y = x^2 + 1\)和\(y = x^2 - 2\)为例：
开口方向：与\(y = x^2\)相同，开口向上，且向上无限延伸。
对称轴：对称轴仍然是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），平移后对称轴不发生变化。
顶点坐标：\(y = x^2 + 1\)的顶点坐标是\((0,1)\)，\(y = x^2 - 2\)的顶点坐标是\((0,-2)\)，顶点的横坐标不变，纵坐标等于\(k\)，顶点是抛物线的最低点。
增减性：与\(y = x^2\)一致，当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
最值：\(y = x^2 + 1\)当\(x = 0\)时，\(y\)有最小值，最小值是 1；\(y = x^2 - 2\)当\(x = 0\)时，\(y\)有最小值，最小值是 - 2，最值的大小等于\(k\)。
幻灯片 5：二次函数\(y=-x^2 + k\)与\(y=-x^2\)的图象关系探究
实例绘制：在同一平面直角坐标系中画出\(y=-x^2\)、\(y=-x^2 + 3\)、\(y=-x^2 - 1\)的图象。
图象观察：\(y=-x^2 + 3\)的图象是由\(y=-x^2\)的图象向上平移 3 个单位长度得到的；\(y=-x^2 - 1\)的图象是由\(y=-x^2\)的图象向下平移 1 个单位长度得到的。
平移规律验证：二次函数\(y=-x^2 + k\)的图象同样可以由\(y=-x^2\)的图象通过上下平移得到，平移规律与\(y = x^2 + k\)一致，即\(k\gt0\)向上平移，\(k\lt0\)向下平移。
幻灯片 6：二次函数\(y=-x^2 + k\)的性质分析
以\(y=-x^2 + 3\)和\(y=-x^2 - 1\)为例：
开口方向：与\(y=-x^2\)相同，开口向下，且向下无限延伸。
对称轴：对称轴还是\(y\)轴（直线\(x = 0\)），平移后对称轴不变。
顶点坐标：\(y=-x^2 + 3\)的顶点坐标是\((0,3)\)，\(y=-x^2 - 1\)的顶点坐标是\((0,-1)\)，顶点横坐标不变，纵坐标为\(k\)，顶点是抛物线的最高点。
增减性：与\(y=-x^2\)一致，当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
最值：\(y=-x^2 + 3\)当\(x = 0\)时，\(y\)有最大值，最大值是 3；\(y=-x^2 - 1\)当\(x = 0\)时，\(y\)有最大值，最大值是 - 1，最值大小等于\(k\)。
幻灯片 7：二次函数\(y = ax^2 + k\)（\(a\neq0\)）的图象与性质总结
性质
当\(a\gt0\)时
当\(a\lt0\)时
图象与\(y = ax^2\)的关系
由\(y = ax^2\)图象向上（\(k\gt0\)）或向下（\(k\lt0\)）平移\(\vert k\vert\)个单位得到
由\(y = ax^2\)图象向上（\(k\gt0\)）或向下（\(k\lt0\)）平移\(\vert k\vert\)个单位得到
开口方向
向上
向下
对称轴
直线\(x = 0\)（\(y\)轴）
直线\(x = 0\)（\(y\)轴）
顶点坐标
\((0,k)\)（最低点）
\((0,k)\)（最高点）
增减性
当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大
当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小
最值
当\(x = 0\)时，\(y\)有最小值\(k\)
当\(x = 0\)时，\(y\)有最大值\(k\)
开口大小
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
\(k\)的影响
\(k\)决定顶点的纵坐标和最值大小，不影响开口方向、对称轴和增减性趋势
\(k\)决定顶点的纵坐标和最值大小，不影响开口方向、对称轴和增减性趋势
幻灯片 8：二次函数\(y = ax^2 + k\)性质的应用（一）—— 图象平移
例题 1：将二次函数\(y = 2x^2\)的图象向下平移 3 个单位长度，得到的函数表达式是什么？若再将得到的图象向上平移 5 个单位长度，函数表达式又是什么？
分析：根据平移规律，向下平移 3 个单位长度，在函数表达式后减 3；再向上平移 5 个单位长度，在新的函数表达式后加 5。
解答过程：将\(y = 2x^2\)的图象向下平移 3 个单位长度，得到的函数表达式是\(y = 2x^2 - 3\)。再将\(y = 2x^2 - 3\)的图象向上平移 5 个单位长度，得到的函数表达式是\(y = 2x^2 - 3 + 5 = 2x^2 + 2\)。
幻灯片 9：二次函数\(y = ax^2 + k\)性质的应用（二）—— 性质分析
例题 2：已知二次函数\(y=-3x^2 + 4\)，回答下列问题：
该函数的图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当\(x\)取何值时，\(y\)有最值？最值是多少？
当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而如何变化？
分析：根据\(y = ax^2 + k\)的性质，\(a=-3\lt0\)，\(k = 4\)，结合表格中的性质总结进行解答。
解答过程：
因为\(a=-3\lt0\)，所以图象开口向下；对称轴是直线\(x = 0\)（\(y\)轴）；顶点坐标是\((0,4)\)。
因为\(a\lt0\)，所以当\(x = 0\)时，\(y\)有最大值，最大值是\(4\)。
当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
幻灯片 10：二次函数\(y = ax^2 + k\)性质的应用（三）—— 求函数表达式
例题 3：已知二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象经过点\((1,3)\)和\((-2,-6)\)，求该二次函数的表达式。
分析：将两点坐标代入函数表达式，得到关于\(a\)和\(k\)的二元一次方程组，解方程组求出\(a\)和\(k\)的值，即可得到函数表达式。
解答过程：将点\((1,3)\)和\((-2,-6)\)代入\(y = ax^2 + k\)得：
a×1^2 + k = 3 即a + k = 3，
a×(-2)^2 + k = -6 即4a + k = -6，
用第二个方程减去第一个方程得：\(3a=-9\)，解得\(a=-3\)。
将\(a=-3\)代入\(a + k = 3\)得：\(-3 + k = 3\)，解得\(k = 6\)。
所以该二次函数的表达式是\(y=-3x^2 + 6\)。
幻灯片 11：课堂练习（一）—— 图象平移与性质基础应用
题目 1：指出二次函数\(y=\frac{1}{2}x^2 - 5\)的图象是由哪个函数的图象经过怎样的平移得到的，说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。
题目 2：将二次函数\(y=-4x^2 + 2\)的图象向上平移 7 个单位长度后，得到的函数表达式是什么？新函数的顶点坐标是多少？
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查学生对平移规律和函数性质的掌握情况。
幻灯片 12：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：已知点\(A(-3,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)在二次函数\(y = 2x^2 + 1\)的图象上，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
题目 2：已知二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象开口向下，顶点坐标是\((0,-3)\)，且经过点\((1,-5)\)，求该函数的表达式。
分析与提示：题目 1 可代入点的坐标求出函数值比较，或利用函数对称性和增减性比较；题目 2 根据顶点坐标确定\(k\)的值，再代入已知点求出\(a\)的值。
幻灯片 13：课堂总结
知识梳理：回顾二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象与\(y = ax^2\)的图象之间的上下平移关系，总结其图象性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值以及\(a\)和\(k\)的取值对图象和性质的影响。
方法归纳：研究\(y = ax^2 + k\)的图象和性质时，采用了与\(y = ax^2\)对比的方法，通过图象平移规律推导性质变化，体现了从已知到未知、从特殊到一般的研究思路。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练掌握二次函数图象的上下平移规律，准确描述\(y = ax^2 + k\)的性质，能运用性质解决图象平移、表达式求解、函数值比较等问题。
幻灯片 14：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象平移规律和性质应用。
提升作业：已知二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象与直线\(y = 2x + 1\)交于点\((0,3)\)和\((2,m)\)，求\(a\)，\(k\)，\(m\)的值，并求出当 (x =
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象，概括出图象的特点.
2.掌握形如y=ax2+k的二次函数的性质并会简单应用.
3.理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系.
4.让学生通过对比发现不同形式二次函数图象的特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法.
回顾思考
二次函数y=ax (a≠0)的图象和性质：
形如y＝ax2＋k的图象和性质又会怎样呢？
思考
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1的函数图象？
(1)列表；
(2)描点；
(3)连线.
x … –2 – –1 – 0 1 2 …
y=2x … 8 2 0 2 8 …
y=2x +1 … 9 3 1 3 9 …
y=2x –1 … 7 1 – –1 – 1 7 …
解：列表.
对称选点
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1的函数图象？
解：列表.
描点、连线，即得这两个函数的图象.
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=2x
y=2x +1
y=2x –1
连线的时候一定用平滑的曲线
观察
观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题：
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=2x
y=2x +1
y=2x –1
(1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？
都开口向上
对称轴都是y轴
y=2x2的顶点坐标(0，0)
开口方向
对称轴
y=2x2+1的顶点坐标(0，1)
y=2x2–1的顶点坐标(0，–1)
观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题：
(2)对于同一个x，这三个函数对应的y之间有什么关系？
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=2x
y=2x +1
y=2x –1
x … –2 – –1 – 0 1 2 …
y=2x … 8 2 0 2 8 …
y=2x +1 … 9 3 1 3 9 …
y=2x –1 … 7 1 – –1 – 1 7 …
+1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
横坐标相等，纵坐标“+1”或“–1”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向上平移一个单位或向下平移一个单位.
这三个函数的图象在位置上有什么关系？
上移1个
单位长度
下移1个
单位长度
观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题：
(3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=2x
y=2x +1
y=2x –1
求最小值也就是先找到图象上的最低点
y=2x2的最低点坐标是(0，0)，所以最小值函数是0.
y=2x2+1的最低点坐标是(0，1)，所以最小函数值是1.
y=2x2–1的最低点坐标是(0，–1)，所以最小函数值是–1.
试着画出y=–2x2、
y=–2x2+1和y=–2x2–1三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？
归纳
请你说一说函数y=ax2+k的图象和性质.
y=ax +k(a≠0) a＞0 a＜0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口向上
开口向下
在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小；
在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大.
在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大；
在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小.
x=0时，y最小=k
x=0时，y最大=k
y轴
顶点是(0，k)
顶点是(0，k)
y轴
函数 y=ax y=ax +k
相同点 不同点 (1)形状；
(2)开口大小和开口方向；
(位置)
当k＞0时，抛物线y=ax +k由抛物线y=ax 沿y轴方向向上移动k个单位得到；
当k＜0时，抛物线y=ax +k由抛物线y=ax 沿y轴方向向下移动|k|个单位得到.
请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象的相同点与不同点.
(3)增减性.
顶点坐标(最值)不同
典型例题
例 在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y = – x2–1.
x … –3 –2 –1 0 1 2 3 …
y= –x +1 … –8 –3 0 1 0 –3 –8 …
y= –x –1 … –10 –5 –2 –1 –2 –5 –10 …
解：(1)列表；
–2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
横坐标相等，纵坐标 “–2”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的.
例 在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y = – x2–1.
解：(2)描点、连线.
由图象，很容易得到抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
y= –x +1
y= –x –1
解：(1)填表；
1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2、y=–x2+1和y = –x2–1的图象.
x … …
y= –x … …
y= –x +1 … …
y= –x –1 … …
x … –3 –2 –1 0 1 2 3 …
y= –x … – –2 – 0 – –2 – …
y= –x +1 … – –1 1 –1 – …
y= –x –1 … – –3 – –1 – –3 – …
(2)描点、连线.
1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2、y=–x2+1和y = –x2–1的图象.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
y= –x –1
y= –x +1
y= –x
(1)抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到．
(2)抛物线y＝–x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y= –x2．
(3)抛物线y＝–2x2–5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐
标是 .
上
3
下
1
y轴
(0，–5)
向下
2.填空.
3.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
(1)y = x2+3; (2)y = – 3x2 – 4.
解：(1)开口向上，对称轴为y轴，顶点为(0，3).
(2)开口向下，对称轴为y轴，顶点为(0，– 4).
知识点1 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1． 填表．
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值
y＝2x2＋3
y＝5x2－4
y＝－ x2＋5
y＝－x2－6
向上
(0，3)
y轴
最小值3
向上
(0，－4)
y轴
最小值－4
向下
(0，5)
y轴
最小值5
向下
(0，－6)
y轴
最小值－6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2. [2025·合肥月考]二次函数y＝－x2－1的图象大致是(　　)
A B C D
3． 抛物线y＝x2＋2在y轴左侧的部分是________的．(填“上
升”或“下降”)
B
下降
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
4． 已知A(－1，y1)，B(4，y2)是抛物线y＝x2－5上的两点，
则y1和y2的大小关系是y1____y2(填“>”“<”或“＝”)．
<
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(1)填空：a＝________，c＝________；
(2)在坐标系(如图)中画出这个函数的图象；
2
5． [2024·北京期中]函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是
(0，2)，且形状及开口方向与函数y＝－x2的图象相同．
由(1)可知，这个函数的表达式为y＝－x2＋2.
列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－ x2＋2 … 0 2 0 …
描点、连线可
得图象，如图．
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
(3)当x为何值时，y随x的增大而减小？
(4)当x＝________时，y取最________值，是______．
由图象知，当x≥0时，y随x的增大而减小．
5． [2024·北京期中]函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是
(0，2)，且形状及开口方向与函数y＝－x2的图象相同．
0
大
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
知识点2 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的关系
6． [知识初练]如图，将抛物线y＝x2向______平移________
个单位得到抛物线y＝x2＋2；将抛物线y＝x2向______平
移________个单位得到抛物线y＝x2－2.
上
2
下
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
7． 把抛物线向上平移3个单位得到新抛物线y＝2x2＋1，则原
抛物线的表达式是__________．
8． [2025·江苏模拟]抛物线y＝－x2与y＝－x2＋5的不同之处
是(　　)
A． 开口方向 B． 对称轴
C． 形状 D． 顶点坐标
y＝2x2－2
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
9． 函数y＝ax与y＝ax2＋a(a≠0)在同一直角坐标系中的大致
图象可能是(　　)
A B C D
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
10． [2024·马鞍山期末]抛物线y＝2x2－1经过点A(－3，y1)，
B(1，y2)，C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A． y1C． y2C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
11． [2025·安庆模拟]已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，
x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为
(　　)
A． a＋c B． a－c
C． －c D． c
D
点拨：因为二次函数y＝ax2＋c图象的对称轴是y轴，且当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，所以x1＋x2＝0，当x取x1＋x2时，函数值y＝0＋c＝c.
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12． [2025·天津模拟]二次函数y＝－2x2＋3，当－2≤x<3时，y
的取值范围为__________．
13． 已知抛物线y＝－x2＋c经过点(－2，a)和点(2，b)．
(1)该抛物线的对称轴为________，a，b的关系为________；
(2)若该抛物线经过点A(3，－5)，求c的值；
(3)在(2)的条件下，y＝－x2＋c可由抛物线y＝－x2向________
平移________个单位得到．
－15y轴
a＝b
将点A(3，－5)的坐标代入y＝－x2＋c，
可得－5＝－9＋c，解得c＝4.
上
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二次函数y=
ax2+k的图象和性质
函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象异同：
函数y=ax2+k的图象和性质：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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