资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：21.2.3 二次函数\(y = a(x + h)^2\)的图象和性质
副标题：探究二次函数图象的左右平移规律与性质变化
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了二次函数\(y = ax^2\)和\(y = ax^2 + k\)的图象和性质，知道\(y = ax^2 + k\)的图象是由\(y = ax^2\)的图象上下平移得到的，\(k\)的值影响顶点的纵坐标。当二次函数的表达式变为\(y = a(x + h)^2\)时，它的图象和性质又会发生怎样的变化呢？
情境引入：如图，在平面直角坐标系中，已经画出了\(y = x^2\)的图象，若将这个图象向左或向右平移一定的距离，得到的新图象对应的函数表达式会是什么形式？它与原函数的图象和性质有哪些联系与区别？本节课将深入探究这些问题。
学习目标：
理解二次函数\(y = a(x + h)^2\)的图象与\(y = ax^2\)的图象之间的平移关系。
掌握二次函数\(y = a(x + h)^2\)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
理解\(a\)和\(h\)的取值对二次函数\(y = a(x + h)^2\)图象和性质的影响。
能运用二次函数\(y = a(x + h)^2\)的性质解决简单问题，进一步培养数形结合思想。
幻灯片 3：二次函数\(y = (x + h)^2\)与\(y = x^2\)的图象关系探究
实例绘制：
分别列出\(y = x^2\)、\(y = (x + 1)^2\)、\(y = (x - 2)^2\)的函数值表：
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(y = x^2\)
\(9\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(9\)
\(y = (x + 1)^2\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(9\)
\(16\)
\(y = (x - 2)^2\)
\(25\)
\(16\)
\(9\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
在同一平面直角坐标系中，用描点法画出这三个函数的图象。
图象观察：观察发现\(y = (x + 1)^2\)的图象是由\(y = x^2\)的图象向左平移 1 个单位长度得到的；\(y = (x - 2)^2\)的图象是由\(y = x^2\)的图象向右平移 2 个单位长度得到的。
平移规律总结：二次函数\(y = (x + h)^2\)的图象可以由\(y = x^2\)的图象通过左右平移得到，当\(h\gt0\)时，向左平移\(h\)个单位长度；当\(h\lt0\)时，向右平移\(\vert h\vert\)个单位长度（可简记为 “左加右减”）。
幻灯片 4：二次函数\(y = (x + h)^2\)的性质分析
以\(y = (x + 1)^2\)和\(y = (x - 2)^2\)为例：
开口方向：与\(y = x^2\)相同，开口向上，且向上无限延伸。
对称轴：\(y = (x + 1)^2\)的对称轴是直线\(x = -1\)，\(y = (x - 2)^2\)的对称轴是直线\(x = 2\)，对称轴是过顶点且垂直于\(x\)轴的直线，其方程为\(x=-h\)。
顶点坐标：\(y = (x + 1)^2\)的顶点坐标是\((-1,0)\)，\(y = (x - 2)^2\)的顶点坐标是\((2,0)\)，顶点的纵坐标不变，横坐标等于\(-h\)，顶点是抛物线的最低点。
增减性：\(y = (x + 1)^2\)当\(x\lt-1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt-1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。\(y = (x - 2)^2\)当\(x\lt2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
最值：\(y = (x + 1)^2\)当\(x=-1\)时，\(y\)有最小值，最小值是 0；\(y = (x - 2)^2\)当\(x = 2\)时，\(y\)有最小值，最小值是 0，最值的大小为 0。
幻灯片 5：二次函数\(y=- (x + h)^2\)与\(y=-x^2\)的图象关系探究
实例绘制：在同一平面直角坐标系中画出\(y=-x^2\)、\(y=-(x + 3)^2\)、\(y=-(x - 1)^2\)的图象。
图象观察：\(y=-(x + 3)^2\)的图象是由\(y=-x^2\)的图象向左平移 3 个单位长度得到的；\(y=-(x - 1)^2\)的图象是由\(y=-x^2\)的图象向右平移 1 个单位长度得到的。
平移规律验证：二次函数\(y=-(x + h)^2\)的图象同样可以由\(y=-x^2\)的图象通过左右平移得到，平移规律与\(y=(x + h)^2\)一致，即 “左加右减”。
幻灯片 6：二次函数\(y=- (x + h)^2\)的性质分析
以\(y=-(x + 3)^2\)和\(y=-(x - 1)^2\)为例：
开口方向：与\(y=-x^2\)相同，开口向下，且向下无限延伸。
对称轴：\(y=-(x + 3)^2\)的对称轴是直线\(x=-3\)，\(y=-(x - 1)^2\)的对称轴是直线\(x = 1\)，对称轴方程为\(x=-h\)。
顶点坐标：\(y=-(x + 3)^2\)的顶点坐标是\((-3,0)\)，\(y=-(x - 1)^2\)的顶点坐标是\((1,0)\)，顶点的纵坐标不变，横坐标等于\(-h\)，顶点是抛物线的最高点。
增减性：\(y=-(x + 3)^2\)当\(x\lt-3\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\gt-3\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。\(y=-(x - 1)^2\)当\(x\lt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\gt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
最值：\(y=-(x + 3)^2\)当\(x=-3\)时，\(y\)有最大值，最大值是 0；\(y=-(x - 1)^2\)当\(x = 1\)时，\(y\)有最大值，最大值是 0。
幻灯片 7：二次函数\(y = a(x + h)^2\)（\(a\neq0\)）的图象与性质总结
性质
当\(a\gt0\)时
当\(a\lt0\)时
图象与\(y = ax^2\)的关系
由\(y = ax^2\)图象向左（\(h\gt0\)）或向右（\(h\lt0\)）平移\(\vert h\vert\)个单位得到
由\(y = ax^2\)图象向左（\(h\gt0\)）或向右（\(h\lt0\)）平移\(\vert h\vert\)个单位得到
开口方向
向上
向下
对称轴
直线\(x=-h\)
直线\(x=-h\)
顶点坐标
\((-h,0)\)（最低点）
\((-h,0)\)（最高点）
增减性
当\(x\lt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(x\gt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大
当\(x\lt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x\gt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小
最值
当\(x=-h\)时，\(y\)有最小值\(0\)
当\(x=-h\)时，\(y\)有最大值\(0\)
开口大小
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
\(h\)的影响
\(h\)决定顶点的横坐标和对称轴位置，不影响开口方向、开口大小和最值大小
\(h\)决定顶点的横坐标和对称轴位置，不影响开口方向、开口大小和最值大小
幻灯片 8：二次函数\(y = a(x + h)^2\)性质的应用（一）—— 图象平移
例题 1：将二次函数\(y = 2x^2\)的图象向左平移 3 个单位长度，得到的函数表达式是什么？若再将得到的图象向右平移 5 个单位长度，函数表达式又是什么？
分析：根据平移规律 “左加右减”，向左平移 3 个单位长度，在自变量\(x\)上加 3；再向右平移 5 个单位长度，在新的自变量\(x\)上减 5。
解答过程：将\(y = 2x^2\)的图象向左平移 3 个单位长度，得到的函数表达式是\(y = 2(x + 3)^2\)。再将\(y = 2(x + 3)^2\)的图象向右平移 5 个单位长度，得到的函数表达式是\(y = 2[(x - 5)+ 3]^2=2(x - 2)^2\)。
幻灯片 9：二次函数\(y = a(x + h)^2\)性质的应用（二）—— 性质分析
例题 2：已知二次函数\(y=-3(x + 2)^2\)，回答下列问题：
该函数的图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当\(x\)取何值时，\(y\)有最值？最值是多少？
当\(x\lt-2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而如何变化？
分析：根据\(y = a(x + h)^2\)的性质，\(a=-3\lt0\)，\(h = 2\)，结合表格中的性质总结进行解答。
解答过程：
因为\(a=-3\lt0\)，所以图象开口向下；对称轴是直线\(x=-2\)；顶点坐标是\((-2,0)\)。
因为\(a\lt0\)，所以当\(x=-2\)时，\(y\)有最大值，最大值是\(0\)。
当\(x\lt-2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
幻灯片 10：二次函数\(y = a(x + h)^2\)性质的应用（三）—— 求函数表达式
例题 3：已知二次函数\(y = a(x + h)^2\)的图象经过点\((-1,8)\)和\((2,-2)\)，且其图象是由\(y = 2x^2\)的图象平移得到的，求该二次函数的表达式。
分析：因为图象由\(y = 2x^2\)平移得到，所以\(a = 2\)，再将两点坐标代入函数表达式，得到关于\(h\)的方程，解方程求出\(h\)的值。
解答过程：由题意知\(a = 2\)，所以函数表达式为\(y = 2(x + h)^2\)。
将点\((-1,8)\)代入得：\(2(-1 + h)^2=8\)，即\((h - 1)^2=4\)，解得\(h - 1=\pm2\)，\(h = 3\)或\(h=-1\)。
当\(h = 3\)时，函数表达式为\(y = 2(x + 3)^2\)，验证点\((2,-2)\)：\(2(2 + 3)^2=2\times25 = 50\neq-2\)，舍去。
当\(h=-1\)时，函数表达式为\(y = 2(x - 1)^2\)，验证点\((2,-2)\)：\(2(2 - 1)^2=2\times1 = 2\neq-2\)，发现错误，重新分析。
（正确思路：题目中两点代入可能计算有误，重新计算：将点\((2,-2)\)代入\(y = 2(x + h)^2\)得\(2(2 + h)^2=-2\)，此方程无解，说明题目条件可能有误，若图象经过点\((-1,8)\)和\((2, 2)\)，则当\(h=-1\)时成立，函数表达式为\(y = 2(x - 1)^2\)。）
幻灯片 11：课堂练习（一）—— 图象平移与性质基础应用
题目 1：指出二次函数\(y=\frac{1}{2}(x - 5)^2\)的图象是由哪个函数的图象经过怎样的平移得到的，说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。
题目 2：将二次函数\(y=-4(x + 2)^2\)的图象向右平移 7 个单位长度后，得到的函数表达式是什么？新函数的顶点坐标是多少？
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查学生对平移规律和函数性质的掌握情况。
幻灯片 12：课堂练习（二）——
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.3 二次函数y=a（x+h）2的图象和性质
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，概括出图象的特点.
2.掌握形如y=a(x+h)2的二次函数的性质并会简单应用.
3.理解二次函数y=a(x+h)2与y＝ax2之间的联系.
4.让学生通过对比发现不同形式二次函数图象的特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法.
回顾思考
回忆一下二次函数y=ax2+k的图象和性质，并和大家说一说.
二次函数y=ax2+k与y=ax (a≠0)的图象和性质有什么异同？
如果函数
y=ax 的图象向
左(或向右)平
移呢？
思考
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？
(1)列表；
(2)描点；
(3)连线.
x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 …
y=x … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
y=(x–1) 2 … 25 16 9 4 1 0 1 4 9 …
y=(x+1) 2 … 9 4 1 0 1 4 9 16 25 …
解：列表；
对称选点
观察
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？
解：列表；
描点、连线，即得这三个函数的图象.
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
连线的时候一定用平滑的曲线
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
观察y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2三个函数的图象，回答下列问题：
(1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？
都开口向上
y=x2的对称轴是 y 轴
开口方向
对称轴
y=(x–1) 2的对称轴是直线x=1
y =(x+1) 2的对称轴是直线x= –1
y=x2的顶点坐标(0，0)
y=(x–1) 2的顶点坐标(1，0)
y =(x+1) 2的顶点坐标(–1，0)
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
观察y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2三个函数的图象，回答下列问题：
(2)对于同一个y，这三个函数对应的x值之间有什么关系？
+1
–1
+1
–1
纵坐标相等，横坐标“+1”或“–1”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向右平移一个单位或向左平移一个单位.
这三个函数的图象在位置上有什么关系？
左移1个
单位长度
右移1个
单位长度
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
7
6
5
9
8
y=x
y=(x–1) 2
y=(x+1) 2
观察y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2三个函数的图象，回答下列问题：
(3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？
求最小值也就是先找到图象上的最低点
y=x2的最低点坐标是(0，0)，所以最小值函数是0.
y=(x+1) 2的最低点坐标是(–1，0)，所以最小函数值是0.
y=(x–1) 2的最低点坐标是(1，0)，所以最小函数值是0.
试着画出y=–x2、y=
– (x–1) 2和y=– (x+1) 2三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？
它们的最小函数值一样
归纳
请你说一说函数y=a(x+h) 2的图象和性质.
y=a(x+h) (a≠0) a＞0 a＜0
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口向上
开口向下
当x＜–h时，函数值y随x的增大而减小；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而增大.
当x＜–h时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞–h时，函数值y随x的增大而减小.
x= –h时，y最小=0
x= –h时，y最大=0
直线x= –h
顶点是(–h，0)
顶点是(–h，0)
直线x= –h
函数 y=ax y=a(x+h)
相同点
不同点
(1)形状；
(2)开口大小和开口方向；
(位置)
当h＞0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向左移动h个单位得到；
当h＜0时，抛物线y=a(x+h) 由抛物线y=ax 沿x轴方向向右移动|h|个单位得到.
请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=a(x+h) 的图象的相同点与不同点.
(3)增减性；
顶点坐标不同
(4)最大(小)值一样.
典型例题
例 在同一直角坐标系中，画出函数2和 2的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线2得到抛物线2.
x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 …
2 … –8 –2 0 –2 –8 – –18 …
2 … –18 – –8 –2 0 –2 –8 …
解：(1)列表；
解：(2)描点、连线.
x
y
–5
–6
–7
–8
–9
–2
–3
3
1
O
–1
2
–2
–3
–4
1
–1
4
–4
y= 2
纵坐标相等，横坐标 “+2”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，抛物线 2是由抛物线 2向右平移2个单位得到的.
例 在同一直角坐标系中，画出函数2和 2的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线2得到抛物线2.
y= 2
+2
+2
解：(1)填表；
1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2、y=–(x+2)2和y = – (x – 2)2的图象.
x … …
y= –x … …
y= –(x+2)2 … …
y= –(x–2)2 … …
x … –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 …
y= –x … – – –3 – – 0 – – –3 – – …
y= –(x+2)2 … –3 – – 0 – – –3 – – –12 – …
y= –(x–2)2 … – –12 – – –3 – – 0 – – –3 …
(2)描点、连线.
y= –x
1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x2、y=–(x+2)2和y = – (x – 2)2的图象.
x
y
–2
–3
–4
–5
–6
–2
–3
3
1
O
–1
2
1
2
4
3
–1
4
–4
5
y= –(x–2)2
y= – (x+2)2
抛物线y=–(x+2)2 ，的开口方向是 ，顶点坐标是 ，
对称轴是 . 当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数y随x的增大而减小.抛物线y=–(x+2)2可由抛物线y=–x2向 平移 个单位得到.
直线x= –2
＜–2
(–2，0)
向下
2.观察上题(第1题)所画的图象，并填空.
＞–2
左
2
3. 已知二次函数y= –5(x – 4)2，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；
函数y= –5(x – 4)2的图象可由抛物线 向 平移4个单位得到的，也可以由抛物线 向 平移4个单位得到.
y= – 5x2
右
(4，0)
直线x=4
y= –5(x – 8)2
左
1． 二次函数y＝a(x＋h)2的图象是________，它与抛物线y＝
ax2的形状、开口大小和开口方向都相同，只是位置不同，
它的对称轴为直线________，顶点坐标为________．
抛物线
x＝－h
(－h，0)
2． 二次函数y＝a(x＋h)2的性质：
(1)如果a>0，当x>－h时，y随x的增大而______；当x<－h
时，y随x的增大而________；当x＝－h时，y取最______值
______；
(2)如果a<0，当x>－h时，y随x的增大而______；当x<－h
时，y随x的增大而________；当x＝－h时，y取最______值
______．
增大
减小
小
0
减小
增大
大
0
3． 抛物线y＝a(x＋h)2可由抛物线y＝ax2沿x轴方向平移
________个单位得到，当h>0时，向____平移；当h<0时，
向____平移．　　　　　　　　　　　　　　　　
|h|
左
右
知识点1 二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质
1． [知识初练]填表．
二次函数y＝3(x＋4)2的图象
开口方向 ________
对称轴 直线________
顶点坐标 ________
增减性 当x______时，y随x的增大而减小；
当x______时，y随x的增大而增大
最值 当x＝________时，y取最________值，是________
向上
x＝－4
(－4，0)
＜－4
＞－4
－4
小
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2. [2024·北京期中]二次函数y＝(x－2)2的大致图象是(　　)
A B C D
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
3． [2025年1月苏州期末]对于二次函数y＝－(x＋1)2的图
象，下列说法错误的是(　　)
A． 开口向下
B． 对称轴是直线x＝－1
C． 当x>－1时，y随x的增大而减小
D． 顶点坐标是(0，－1)
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
4． [2025年1月六安期末]已知抛物线y＝a(x＋1)2(a＞0)经过点
(－4，y1)，(1，y2)，则y1______y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
＞
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
5． [2025·盐城月考]已知二次函数y＝(x－1)2，函数值y和自
变量x的部分对应值如下表所示：
1
x … －1 0 1 2 3 …
y … 4 1 0 m n …
(1)m＝________，
n＝________，
顶点坐标为__________；
4
(1，0)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
(2)在图中画出二次函数的图象；
(3)当x____________时，y随x的增大而减小；当x________
时，y随x的增大而增大．
如图．
<1
>1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
知识点2 二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2的图象之间的关系
6． [知识初练]将抛物线y＝x2向左平移5个单位得到的抛物线
对应的函数表达式为____________；将抛物线y＝x2向右平
移3个单位得到的抛物线对应的函数表达式为___________，简记为“左________右________”．
7． 抛物线y＝(x－2)2可以看成是由抛物线y＝x2向______平
移______个单位得到的．
y＝(x＋5)2
y＝(x－3)2
加
减
右
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
8． 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函
数y＝a(x＋c)2的大致图象可能为(　　)
A B C D
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
9. [思维可视化]若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是
A． (m，n＋1) B． (m＋1，n)
C． (m，n－1) D． (m－1，n)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
10. [创新题·新题型]若抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋
3，n)两点，则n的值为(　　)
A. B． －
C． 1 D． －
11． [2025·蚌埠模拟改编]已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)为二次函数y＝(x－2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小
关系为_______________.(用“>”号连接)
A
y2＞y1＞y3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
二
次
函
数
y=
a(x+h)2的
图
象
和
性
质
函数y=ax2的图象与函数y=a(x+h)2的图象异同：
函数y=a(x+h)2的图象和性质：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑