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21.2.3 二次函数表达式的确定教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.2.3 二次函数表达式的确定
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：二次函数的一般形式是什么？（\(y=ax^2+bx+c\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a≠0\)）
问题 2：二次函数的顶点式是什么？（\(y=a(x-h)^2+k\)，其中\((h,k)\)是抛物线的顶点坐标，\(a≠0\)）
问题 3：已知二次函数图像经过点\((0,3)\)，当\(x=1\)时，\(y=4\)；当\(x=-1\)时，\(y=0\)，你能想到哪些求表达式的思路？
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握根据已知条件确定二次函数表达式的方法，能根据不同条件选择合适的表达式形式。
能力目标：提高分析问题和解决问题的能力，体会数形结合思想在解题中的应用。
情感目标：通过探究学习，激发学习数学的兴趣，增强学习自信心。
第 4 页：情境引入
展示问题：某抛物线经过点\((1,0)\)、\((3,0)\)和\((0,3)\)，求该抛物线对应的二次函数表达式。
提问：这个问题已知哪些条件？可以选择哪种形式的二次函数表达式来求解？
第 5 页：新知探究 1—— 已知三点求表达式
例 1：已知二次函数的图像经过\(A(0,1)\)、\(B(1,3)\)、\(C(-1,1)\)三点，求这个二次函数的表达式。
步骤解析：
设二次函数的一般式为\(y=ax^2+bx+c\)。
将三点坐标分别代入表达式，得到方程组：
\(\begin{cases}c=1\\a+b+c=3\\a-b+c=1\end{cases}\)
解方程组，求出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
写出二次函数表达式。
第 6 页：新知探究 2—— 已知顶点和一点求表达式
例 2：已知二次函数的顶点坐标为\((2,-1)\)，且经过点\((3,1)\)，求这个二次函数的表达式。
步骤解析：
设二次函数的顶点式为\(y=a(x-2)^2-1\)。
将点\((3,1)\)代入表达式，得到\(1=a(3-2)^2-1\)。
解方程求出\(a\)的值。
写出二次函数表达式，并可转化为一般式。
第 7 页：方法总结
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设二次函数的一般式\(y=ax^2+bx+c\)求解。
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，通常设二次函数的顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)求解。
注意：求出表达式后，要代入已知点进行检验。
第 8 页：课堂练习 1
练习 1：已知二次函数图像经过\((2,0)\)、\((0,-2)\)和\((-2,3)\)三点，求其表达式。
练习 2：已知二次函数的顶点为\((1,4)\)，且经过点\((0,3)\)，求该函数表达式。
第 9 页：例题拓展
例 3：已知抛物线与\(x\)轴交于点\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，且过点\(C(0,-3)\)，求抛物线的表达式。
提示：可利用交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（其中\(x_1\)、\(x_2\)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标）求解，简化计算。
第 10 页：课堂练习 2
练习 3：抛物线与\(x\)轴交于\((2,0)\)和\((4,0)\)两点，且过点\((1,3)\)，求抛物线表达式（尝试用交点式求解）。
练习 4：已知二次函数图像的对称轴为直线\(x=2\)，经过点\((2,3)\)和\((0,-1)\)，求表达式。
第 11 页：易错点提醒
设表达式时，要注意\(a≠0\)这个条件。
代入点的坐标时，要确保横坐标和纵坐标对应正确。
解方程组时，计算要仔细，避免出现计算错误。
对于顶点式和交点式，最后可根据需要转化为一般式。
第 12 页：课堂小结
本节课学习了根据不同条件确定二次函数表达式的方法，包括已知三点用一般式、已知顶点和一点用顶点式、已知与 x 轴交点用交点式。
选择合适的表达式形式能使解题更简便，解题后要进行检验。
体会到数形结合思想在解决二次函数问题中的重要作用。
第 13 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.2 第 [X]、[X]、[X] 题。
提高作业：已知二次函数图像经过点\((1,2)\)，且当\(x=2\)时，\(y=5\)；当\(x=-1\)时，\(y=5\)，求该函数表达式。
拓展作业：探究如何根据二次函数的图像特征快速确定表达式的形式。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.3.二次函数表达式的确定
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法.
2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化.
3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯.
4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.
重点
难点
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.
二次函数的解析式如何确定呢？
转 化
求得k，b的值
二元一次方程组
需要两点坐标
待定系数法
(1)设：表达式形式
(2)代：代入坐标
(3)解：方程(组)
(4)还原：写表达式
思考
二次函数 的解析式中有几个待定系数？
3个待定系数
需要图象上的几个点？
3个点
转化成什么样的方程组？
三元一次方程组
典型例题
例1 已知一个二次函数的图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式？
待定系数法
(1)设：表达式形式
(2)代：代入坐标
(3)解：方程(组)
(4)还原：写表达式
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
由已知函数图象经过(–1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得
a–b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7.
解这个方程组，得
a=2，
b= –3，
c=5.
答：所求二次函数的表达式为y=2x2–3x+5.
一般式法
归纳
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
典型例题
例2 有一个二次函数，当x=0时，y= –1；当x = –2时，y=0；当x =时，y=0，
求这个二次函数的表达式？
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.根据题意，得
c= –1，
4a–2b+c=0，
a+b+c=0.
解这个方程组，得
a=1，
b=，
c= –1.
答：所求二次函数的表达式为y=x2 +x –1.
还有其它的计算方法吗？
一般式法
典型例题
例2 有一个二次函数，当x=0时，y= –1；当x = –2时，y=0；当x =时，y=0，
求这个二次函数的表达式？
抛物线与x轴的两个交点
解：∵(–2，0)和(，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x–x1)(x–x2)(x1、x2为交点的横坐标).
(–3，0) (，0)
因此可得y=a(x+2)(x–)
只含有一个未知数a.
把点(0，–1)代入，得
–1=a(0+2)(0–).
解这个一元一次方程，得a=1.
所以所求二次函数的表达式是y=1·(x+2)(x–)，即y=x2 +x –1.
交点式法
归纳
交点式法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点求表达式的方法叫做交点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x–x1)(x–x2) (x1、x2为交点的横坐标)；
②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式后，得到的解析式中只含有一个未知数a；
③将另一个坐标代入②中得到的解析式，并解这个方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
典型例题
例3 如果知道二次函数的顶点坐标为A(1，–1)，且过B(2，1) 点，请求出解析式.
只给出了两个点的坐标
y=a(x + h)2+k
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x + h)2+k.
把顶点(1，–1)代入y=a(x + h)2+k中，得y=a(x –1)2–1.
再把点(2，1) 代入上式，得1=a(2 –1)2–1.
只含有一个未知数a.
解这个一元一次方程，得a=2.
所以所求二次函数的表达式是y=2·(x –1)2–1，即y=2x2–4x+1.
顶点式法
归纳
顶点式法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x+h)2+k；
②先代入顶点坐标后，得到的解析式中只含有一个未知数a；
③将另一个坐标代入②中得到的解析式，并解这个方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
典型例题
例4 抛物线y=x2–4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一直角坐标系中画出直线和抛物线；
(2)记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积.
B
C
A
解：(1)如图所示.
(2)
B1
C1
Q
解方程组
得点B坐标为(2，2)，点C坐标为(7，4.5).
由y=x2–4x+8=(x–4)2，得点A坐标为(4，0).
典型例题
例4 抛物线y=x2–4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一直角坐标系中画出直线和抛物线；
(2)记抛物线的顶点为A，求△ABC的面积.
B
C
A
解：(1)如图所示.
(2)
B1
C1
Q
所以△ABC的面积是7.5.
=7.5
知识点1 已知任意点求二次函数表达式
1． 二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，其表
达式为__________________．
y＝x2＋2x－5
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2． [2024·滁州期中]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)
与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于
点A和点B，OA＝OB＝3.求b，c的值．
解：因为OA＝OB＝3，点A和点B分别位于x轴
负半轴和y轴负半轴，所以点A(－3，0)，点B(0，－3)．
把点A、B的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，
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3. [原创题]已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 n …
y … 3 6 7 m 3 …
(1)求二次函数的表达式；
(2)m的值为________，n的值为________．
解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
把x＝0，y＝3；x＝1，y＝6；x＝2，y＝7
分别代入y＝ax2＋bx＋c，得
所以二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋3.
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知识点2 已知顶点求二次函数表达式
4． 已知抛物线与二次函数y＝5x2的图象开口大小相同，方向
相反，且顶点坐标为(－1，2 025)，则该抛物线对应的函数
表达式为____________________．
y＝－5(x＋1)2＋2 025
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5． [2024·合肥期中]已知抛物线的顶点坐标为(1，2)，与y轴
交于点(0，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：(1)因为抛物线的顶点坐标为(1，2)，
所以设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋2.
将(0，4)代入，得4＝a(0－1)2＋2，解得a＝2，
所以抛物线对应的函数表达式为y＝2(x－1)2＋2.
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5． [2024·合肥期中]已知抛物线的顶点坐标为(1，2)，与y轴
交于点(0，4)．
(2)判断点B(2，6)是否在此抛物线上．
将点B(2，6)的横坐标x＝2代入y＝2(x－1)2＋2，
得y＝2(2－1)2＋2＝4≠6，
所以点B(2，6)不在此抛物线上．
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知识点3 已知与x轴的交点求二次函数表达式
6. [思维可视化]若二次函数的图象与x轴交于点(－3，0)，(1，
0)，与y轴交于点(0，3)，求二次函数的表达式．
[思维过程]
(1)【设】设二次函数的表达式为y＝a(x＋____)·(x－_____)；
(2)【代】把(0，3)代入表达式得________；
(3)【解】解得a＝____________；
(4)【写】所以二次函数的表达式为_______________.
3
1
3＝－3a
－1
y＝－x2－2x＋3
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7． 如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则该二次
函数的表达式为________________．
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8． 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线
的对称轴经过点A，则该抛物线对应的函数表达式为(　　)
9． 已知二次函数y＝ax2－6ax＋3(a＜0)，当2≤x≤5时，
8≤y≤12，则a＝________.
D
－1
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10. [分类讨论思想]已知二次函数的图象与y轴的交点到原点的
距离为8，它的对称轴为直线x＝－1，函数的最值为2，则
该二次函数的表达式为________________________________．
y＝6(x＋1)2＋2或y＝－10(x＋1)2＋2
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11． [2025年1月安庆期末]如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
解：把点A(－1，0)和点B(3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，
所以抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
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(2)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求点P的坐标．
由(1)得y＝－x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，所以点C(0，3)．
因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，即点E的横坐标为1，
所以S△COE＝ ×1×3＝ ，设P(x，y)(x>0，y>0)，则S△ABP＝ ×4y＝2y，
因为S△ABP＝4S△COE，所以2y＝4× ，所以y＝3，
所以－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2，所以点P(2，3)．
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顶点式法：
若给出顶点和另外一个点的坐标，求表达式用顶点式法.
交点式法：
一般式法：
二
次
函
数
表达式的确定
若无特殊点，且给出3个点的坐标，求表达式用一般式法.
若给出与x轴两交点和另外一个点的坐标，求表达式用交点式法.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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