资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：21.2.4 二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象和性质
副标题：探究二次函数图象的平移综合规律与性质特征
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了二次函数\(y = ax^2\)、\(y = ax^2 + k\)和\(y = a(x + h)^2\)的图象和性质。知道\(y = ax^2 + k\)是\(y = ax^2\)上下平移得到的，\(y = a(x + h)^2\)是\(y = ax^2\)左右平移得到的。当二次函数表达式变为\(y = a(x + h)^2 + k\)时，它的图象是怎样由\(y = ax^2\)平移得到的？又有哪些性质呢？
情境引入：如图，已知\(y = x^2\)的图象，若先将其向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到的新图象对应的函数表达式是什么？它的顶点坐标、对称轴等会发生怎样的变化？本节课将揭开这些问题的答案。
学习目标：
理解二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象与\(y = ax^2\)的图象之间的平移关系。
掌握二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
理解\(a\)、\(h\)、\(k\)的取值对该函数图象和性质的影响。
能运用该函数的性质解决图象平移、表达式求解等问题，深化数形结合思想。
幻灯片 3：二次函数\(y = (x + h)^2 + k\)与\(y = x^2\)的图象关系探究
实例绘制：
以\(y = (x + 2)^2 + 3\)为例，分析其与\(y = x^2\)的平移关系。先将\(y = x^2\)向左平移 2 个单位长度得到\(y = (x + 2)^2\)，再将\(y = (x + 2)^2\)向上平移 3 个单位长度得到\(y = (x + 2)^2 + 3\)。
列出部分函数值表验证：
\(x\)
\(-4\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(y = x^2\)
\(16\)
\(9\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(y = (x + 2)^2\)
\(4\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(y = (x + 2)^2 + 3\)
\(7\)
\(4\)
\(3\)
\(4\)
\(7\)
在同一坐标系中画出图象，观察平移效果。
平移规律总结：二次函数\(y = (x + h)^2 + k\)的图象可以由\(y = x^2\)的图象先向左（\(h\gt0\)）或向右（\(h\lt0\)）平移\(\vert h\vert\)个单位长度，再向上（\(k\gt0\)）或向下（\(k\lt0\)）平移\(\vert k\vert\)个单位长度得到，平移顺序可互换。
幻灯片 4：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的性质分析（以\(a\gt0\)为例）
以\(y = 2(x + 1)^2 + 4\)为例：
开口方向：因为\(a = 2\gt0\)，所以图象开口向上，且向上无限延伸。
对称轴：对称轴是直线\(x=-h = -1\)，与\(y = 2(x + 1)^2\)的对称轴相同，不受\(k\)影响。
顶点坐标：顶点坐标是\((-h,k)=(-1,4)\)，是抛物线的最低点，顶点坐标由\(h\)和\(k\)共同决定。
增减性：当\(x\lt-1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt-1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，增减性由\(a\)的符号和对称轴位置决定。
最值：当\(x=-1\)时，\(y\)有最小值，最小值是\(k = 4\)，最值大小由\(k\)决定。
幻灯片 5：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的性质分析（以\(a\lt0\)为例）
以\(y=-3(x - 2)^2 - 1\)为例：
开口方向：因为\(a=-3\lt0\)，所以图象开口向下，且向下无限延伸。
对称轴：对称轴是直线\(x=-h = 2\)。
顶点坐标：顶点坐标是\((-h,k)=(2,-1)\)，是抛物线的最高点。
增减性：当\(x\lt2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\gt2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
最值：当\(x = 2\)时，\(y\)有最大值，最大值是\(k=-1\)。
幻灯片 6：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)（\(a\neq0\)）的图象与性质总结
性质
当\(a\gt0\)时
当\(a\lt0\)时
图象与\(y = ax^2\)的关系
先左右平移\(\vert h\vert\)个单位，再上下平移\(\vert k\vert\)个单位（左加右减，上加下减）
先左右平移\(\vert h\vert\)个单位，再上下平移\(\vert k\vert\)个单位（左加右减，上加下减）
开口方向
向上
向下
对称轴
直线\(x=-h\)
直线\(x=-h\)
顶点坐标
\((-h,k)\)（最低点）
\((-h,k)\)（最高点）
增减性
当\(x\lt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(x\gt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大
当\(x\lt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x\gt-h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小
最值
当\(x=-h\)时，\(y\)有最小值\(k\)
当\(x=-h\)时，\(y\)有最大值\(k\)
开口大小
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄
影响因素
\(a\)决定开口方向和大小；\(h\)决定对称轴和顶点横坐标；\(k\)决定顶点纵坐标和最值
\(a\)决定开口方向和大小；\(h\)决定对称轴和顶点横坐标；\(k\)决定顶点纵坐标和最值
幻灯片 7：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)性质的应用（一）—— 图象平移
例题 1：将二次函数\(y = 3x^2\)的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的函数表达式是什么？
分析：根据 “左加右减，上加下减” 的平移规律，向右平移 2 个单位长度，自变量\(x\)变为\(x - 2\)；向下平移 1 个单位长度，函数值整体减 1。
解答过程：先向右平移 2 个单位长度得到\(y = 3(x - 2)^2\)，再向下平移 1 个单位长度得到\(y = 3(x - 2)^2 - 1\)。
幻灯片 8：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)性质的应用（二）—— 性质分析
例题 2：已知二次函数\(y=-2(x + 3)^2 + 5\)，回答下列问题：
该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
当\(x\)取何值时，\(y\)有最值？最值是多少？
当\(x\gt-3\)时，\(y\)随\(x\)的增大而如何变化？
分析：结合\(a=-2\)、\(h = 3\)、\(k = 5\)，根据性质总结表进行解答。
解答过程：
因为\(a=-2\lt0\)，所以开口向下；对称轴是直线\(x=-3\)；顶点坐标是\((-3,5)\)。
当\(x=-3\)时，\(y\)有最大值，最大值是\(5\)。
当\(x\gt-3\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
幻灯片 9：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)性质的应用（三）—— 求函数表达式
例题 3：已知二次函数的图象顶点坐标为\((-2,3)\)，且经过点\((-1,5)\)，求该二次函数的表达式。
分析：已知顶点坐标\((-2,3)\)，可设函数表达式为\(y = a(x + 2)^2 + 3\)，再将点\((-1,5)\)代入求出\(a\)的值。
解答过程：设二次函数表达式为\(y = a(x + 2)^2 + 3\)。
将点\((-1,5)\)代入得：\(a(-1 + 2)^2 + 3 = 5\)，即\(a 1 + 3 = 5\)，解得\(a = 2\)。
所以该二次函数的表达式是\(y = 2(x + 2)^2 + 3\)，展开可得\(y = 2x^2 + 8x + 11\)。
幻灯片 10：二次函数不同形式的转化
顶点式与一般式的转化：二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)（顶点式）可以通过展开转化为一般式\(y = ax^2 + bx + c\)。
示例：将\(y = 2(x + 3)^2 - 4\)展开，\(y = 2(x^2 + 6x + 9)-4 = 2x^2 + 12x + 18 - 4 = 2x^2 + 12x + 14\)，其中\(a = 2\)，\(b = 12\)，\(c = 14\)。
一般式化为顶点式：通过配方法将一般式转化为顶点式，可方便确定顶点坐标和对称轴。
示例：将\(y = x^2 - 4x + 5\)配方，\(y = (x^2 - 4x + 4)+1 = (x - 2)^2 + 1\)，顶点坐标为\((2,1)\)，对称轴为直线\(x = 2\)。
幻灯片 11：课堂练习（一）—— 图象平移与性质基础应用
题目 1：指出二次函数\(y=\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 2\)的图象是由\(y=\frac{1}{2}x^2\)的图象经过怎样的平移得到的，说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。
题目 2：将二次函数\(y=-5(x + 1)^2 - 3\)的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度后，得到的函数表达式是什么？新函数的顶点坐标是多少？
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点检查平移规律的应用和性质的描述准确性。
幻灯片 12：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：已知二次函数图象的顶点坐标为\((1,-2)\)，且经过点\((3,6)\)，求该函数的表达式，并判断当\(x\lt1\)时，\(y\)随\(x\)的变化情况。
题目 2：将二次函数\(y = 2x^2 - 8x + 5\)化为顶点式，求出其顶点坐标和对称轴，并说明该函数图象是由\(y = 2x^2\)的图象经过怎样的平移得到的。
分析与提示：题目 1 利用顶点式设表达式，代入点坐标求解；题目 2 通过配方法转化为顶点式，再分析平移过程。
幻灯片 13：课堂总结
知识梳理：回顾二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象平移规律（左加右减，上加下减），总结其各项性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及\(a\)、\(h\)、\(k\)的影响，强调顶点式与一般式的转化方法。
方法归纳：研究该函数时，通过类比之前学过的二次函数平移规律，逐步推导综合平移后的图象和性质，体现了循序渐进的认知方法；解决问题时，顶点式在已知顶点坐标的情况下更便捷，一般式可通过配方转化为顶点式。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练进行二次函数图象的平移分析，准确描述函数性质，灵活运用顶点式求函数表达式，掌握不同形式间的转化，提升几何直观和推理能力。
幻灯片 14：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象平移和性质应用。
提升作业：已知二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)的图象经过点\((0,4)\)和\((1,2)\)，其顶点坐标为\((-1,5)\)，求该函数的表达式，并求出当\(y = 0\)时\(x\)的值。
拓展作业：探究二次函数\(y = a(x + h)^2 + k\)与\(y = a(x - h)^2 - k\)的图象关系，结合具体例子说明它们的对称性。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.4 二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.正确理解经过平移，可由抛物线y=ax2得到y=a(x+h)2 k.
2.理解二次函数y=a(x+h)2 k图象和性质，并能够利用性质解决相关问题.
3.经历探索抛物线y=a(x+h)2 k与y=ax2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.
4.在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心.
回顾思考
x
O
y
y ax2
抛物线
a 0 ，开口向上
a 0 ，开口向下
对称轴：
y轴
顶点坐标：
(0，0)
y ax2
y ax2 k
y a(x+h)2
当k>0时，向上平移k个单位长度；
当k<0时，向下平移|k|个单位长度．
当h＜0时，向右平移|h|个单位长度；
当h＞0时，向左平移h个单位长度．
x
O
y
思考
怎样画出函数y= (x–2) 2+1的函数图象？
x … 1 0 1 2 3 4 5 …
y
①列表：
②描点：
3
0.5
0
0.5
3
…
…
③连线：
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2+1
5.5
5.5
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
1.在同一坐标系中画出 的图象；
2.观察这两个函数的图象有什么特点；
3.怎样移动抛物线 可得到抛物线 .
思考
上移1个
单位长度
形状相同
位置不同
思考
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2+1
y= x2
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
上移1个
单位长度
右移2个
单位长度
还有别的平移方法吗？
思考
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= x2
形状相同
位置不同
y= (x–2) 2+1
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
右移2个
单位长度
上移1个
单位长度
思考
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= x2
y= (x–2) 2+1
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
还能通过其它函数的图象平移得到吗？
右移2个
单位长度
思考
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= x2+1
y= (x–2) 2+1
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
上移1个
单位长度
思考
x
y
4
3
2
1
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
y= (x–2) 2
y= (x–2) 2+1
能通过其它图象的平移得到y= (x–2) 2+1的图象吗？
归纳
一般地，抛物线y a(x+h)2 k与y ax2形状相同，位置不同，把抛物线y ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y a(x+h)2 k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
左(右)平移
|h|个单位长度
上(下)平移
|k|个单位长度
y=ax2
y=a(x+h)2
y=a(x+h)2 k
上(下)平移
|k|个单位长度
左(右)平移
|h|个单位长度
y=ax2
y=ax2 k
y=a(x+h)2 k
归纳
x
O
y
抛物线y=a(x+h)2 k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向上；
(2)对称轴是直线x= –h；
(3)顶点是(–h，k).
x
O
y
x= –h
k
(–h，k)
x= –h
k
(–h，k)
归纳
x
O
y
x
O
y
x= –h
x= –h
a>0，
当x<–h时，y随x的增大而减小，
当x>–h时，y随x的增大而增大，
当x= –h时，函数有最小值k．
a<0，
当x<–h时，y随x的增大而增大，
当x>–h时，y随x的增大而减小，
当x= –h时，函数有最大值k．
函数y=a(x+h)2 k的增减性是怎样的呢？
(– h，k)
k
(–h，k)
k
典型例题
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
如图，以水管与地面交点为原点，
原点与水柱落地处所在直线为x轴，
水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
(1，3)
y=a(x h)2 k
(1，3)
(3，0)
与y轴的交点
(0≤x≤3)
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
典型例题
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
(1，3)
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
解：如图，以水管与地面交点为原点，
原点与水柱落地处所在直线为x轴，
水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
∵点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，
∴可以设这段抛物线对应的函数解析式是y=a(x 1)2 3，(0≤x≤3).
又∵这段抛物线经过点(3，0)，可得：
0=a(3 1)2 3；解得：
典型例题
例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
(1，3)
x
y
O
1
2
3
4
1
2
3
∴y= (x 1)2 3，(0≤x≤3).
当x=0时，y=2.25.
也就是说，水管应2.25m长.
还有别的建系方法吗？
开口方向 对称轴 顶点
1.指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
(1) y=2(x 3)2 5
(2) y= 3(x 4)2 2
(3) y=4(x 1)2 7
(4) y= 2(x 3)2 1
上
下
上
下
x=3
x=4
x= 1
x= 3
(3，5)
(4， 2)
( 1， 7)
( 3，1)
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x 1)2 6经过怎样的变换可以得到抛物线y=2x2 ？
方法一：
先向右移1个单位长度，再向上移6个单位长度.
方法二：
先向上移6个单位长度，再向右移1个单位长度.
3.已知函数y 2(x 1)2 1，
当x< 时， y随x的增大而减小，
当x> 时， y随x的增大而增大，
x
O
y
x 1
1
1
知识点1 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
1． 指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝4(x＋3)2＋5
y＝3(x＋1)2－2
y＝－(x－5)2＋7
y＝－2(x－2)2－6
向上
直线x＝－3
(－3，5)
向上
直线x＝－1
(－1，－2)
向下
直线x＝5
(5，7)
向下
直线x＝2
(2，－6)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2. 函数y＝(x＋1)2－1的大致图象是(　　)
　 　 　
A B C D
C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
3． [2025年1月合肥期末]对于二次函数y＝－2(x＋1)2－4的图
象，下列说法正确的是(　　)
A． 开口向下
B． 对称轴为直线x＝1
C． 顶点坐标为(1，4)
D． 当x＜－1时，y随x的增大而减小
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
4． 若抛物线y＝－3(x＋k)2－k的顶点在直线y＝3x－4上，则
k的值为________．
5． 已知二次函数y＝－(x－1)2＋4，当x＝________时，函
数y有最大值，是________；当x________时，y随x的增大
而增大．
－2
1
4
≤1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
6． 已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．
(1)求a的值；
(2)若点A(1，y1)，B(2，y2)都在该抛物线上，比较y1与y2
的大小．
解：(1)把(1，－2)代入y＝a(x－3)2＋2，
得－2＝a(1－3)2＋2，解得a＝－1.
由(1)得抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－3)2＋2.
所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
所以离对称轴越远函数值越小，所以y12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
知识点2 二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间的关系
7． [2024·北京期中]将抛物线y＝x2先向______平移______个
单位，再向______平移_________________个单位后，得到抛物线y＝(x＋4)2－1.
左
4
下
1(下；1；左；4)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
8． [2025·西安月考]把抛物线y＝－2x2先向上平移3个单位，
再向右平移5个单位，所得抛物线对应的函数表达式为
(　　)
A． y＝－2(x＋3)2＋5 B． y＝－2(x－3)2＋5
C． y＝－2(x＋5)2－3 D． y＝－2(x－5)2＋3
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
9． [2024·六安期中]若直线y＝x＋m经过第一、三、四象限，
则抛物线y＝(x＋m)2－1的顶点必在(　　)
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
10． 已知点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)都在二次函数y＝
－2(x－3)2＋a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A． y1>y2>y3 B． y2>y1>y3
C． y2>y3>y1 D． y3>y2>y1
C
2
3
4
5
6
7
8
9
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1
A． y1y2
C． y1＝y2 D． y1＋8＝－y2
B
【变式题】已知关于x的二次函数y＝(x＋3)2－4的图象上有两
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1的大小关系是(　　)
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11． 抛物线y＝－2(x－2)2＋3，当0≤x≤3时，y的最小值是
________，y的最大值是________．
12. [分类讨论思想]已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有A(－
1，0)，B(3，0)两个交点，若抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x
轴的一个交点是(4，0)，则m的值是 ________．
－5
3
5或1
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13. [转化思想]如图，将抛物线y＝(x－2)2＋1沿y轴向上平移
得到一条新抛物线，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对
应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴
影部分)，则新抛物线对应的函数表达式是
__________________．
点拨：连接AB，A′B′，利用割补法将阴影部分的面积转化为 ABB′A′的面积，即(xB－xA)·AA′＝9.因为xB－xA＝4－1＝3，所以AA′＝3，故抛物线向上平移3个单位，则新抛物线对应的函数表达式为y＝ (x－2)2＋4.
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14． 已知二次函数y＝(x－3n)2＋4－2n.
(1)求证：不论n取何值，抛物线的顶点始终在一条直线上．
证明：(1)由二次函数y＝ (x－3n)2＋4－2n知，
抛物线的顶点坐标为(3n，4－2n)．
设x＝3n，则y＝4－2n＝－ ×3n＋4，所以y＝－ x＋4，
所以抛物线的顶点始终在直线y＝－ x＋4上．
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14． 已知二次函数y＝(x－3n)2＋4－2n.
(2)若点A(b＋2，a)，B(6n＋b－4，a)都在此二次函数图象上，求证：a≥.
由题可得(b＋2)＋(6n＋b－4)＝2×3n，则b＝1，所以A(3，a)．
把A(3，a)的坐标代入y＝ (x－3n)2＋4－2n，
得a＝ (3－3n)2＋4－2n＝
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1
二
次
函
数
y=
a(x+h)2+k的
图
象
和
性
质
函数y=a(x+h)2+k的几何变换
函数y=a(x+h)2+k的图象和性质：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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