资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：21.2.5 二次函数\(y = ax +bx+c\)的图象和性质
副标题：深入探究一般形式二次函数的图象特征与性质规律
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：之前我们学习了二次函数的顶点式\(y = a(x + h) + k\)，知道了它的图象是由\(y = ax \)经过平移得到的，并且掌握了其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值等性质。那对于二次函数的一般形式\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)），它的图象和性质又如何呢？它与顶点式之间是否存在某种联系？
情境引入：在生活中，我们经常会看到喷泉喷水的场景，其水流的轨迹大致呈抛物线形状。若已知水流轨迹对应的函数表达式为\(y = -0.2x + 0.8x + 1.2\)，我们能否确定水流达到的最大高度（即函数的最值）以及在什么位置达到这个最大高度（即对称轴）呢？这就需要我们深入研究二次函数\(y = ax + bx + c\)的图象和性质来解决。
学习目标：
理解二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象与顶点式\(y = a(x + h) + k\)图象的关系，能通过配方将一般式转化为顶点式。
掌握二次函数\(y = ax + bx + c\)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，并能根据性质解决实际问题。
理解\(a\)、\(b\)、\(c\)的取值对函数图象和性质的影响，培养代数推理能力。
进一步体会数形结合思想在二次函数学习中的应用，提升数学建模能力。
幻灯片 3：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)）的配方转化
配方过程：
以\(y = 2x - 8x + 6\)为例，进行配方。
首先提出二次项系数\(2\)，得到\(y = 2(x - 4x)+6\)。
然后在括号内加上一次项系数一半的平方并减去这个数，即\(y = 2(x - 4x + 4 - 4)+6\)。
进一步变形为\(y = 2[(x - 2) - 4]+6\)。
展开括号得到\(y = 2(x - 2) - 8 + 6 = 2(x - 2) - 2\)。
一般地，对于二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)），配方可得\(y = a(x + \frac{b}{2a}) + \frac{4ac - b }{4a}\)。
顶点式与一般式的关系：
从\(y = a(x + \frac{b}{2a}) + \frac{4ac - b }{4a}\)可以看出，它与顶点式\(y = a(x + h) + k\)形式相似，其中\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b }{4a}\)。通过配方，我们能将一般式转化为顶点式，从而方便确定函数图象的顶点坐标和对称轴等性质。
幻灯片 4：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\gt0\)）的性质分析
以\(y = x - 2x - 3\)为例：
开口方向：因为\(a = 1\gt0\)，所以图象开口向上，且向上无限延伸。
对称轴：根据\(x = -\frac{b}{2a}\)，这里\(b = -2\)，\(a = 1\)，则对称轴是直线\(x = -\frac{-2}{2\times1}=1\)。
顶点坐标：把\(x = 1\)代入函数\(y = x - 2x - 3\)，可得\(y = 1 - 2\times1 - 3 = -4\)，所以顶点坐标是\((1,-4)\)。从顶点式\(y=(x - 1) - 4\)也可直接看出顶点坐标为\((1,-4)\)，它是抛物线的最低点。
增减性：当\(x\lt1\)时，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x\gt1\)时，在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
最值：因为图象开口向上，顶点为最低点，所以当\(x = 1\)时，\(y\)有最小值，最小值是\(-4\)。
幻灯片 5：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\lt0\)）的性质分析
以\(y = -x + 4x - 3\)为例：
开口方向：由于\(a = -1\lt0\)，图象开口向下，且向下无限延伸。
对称轴：由\(x = -\frac{b}{2a}\)，\(b = 4\)，\(a = -1\)，可得对称轴是直线\(x = -\frac{4}{2\times(-1)} = 2\)。
顶点坐标：把\(x = 2\)代入\(y = -x + 4x - 3\)，得\(y = -2 + 4\times2 - 3 = 1\)，所以顶点坐标是\((2,1)\)。从顶点式\(y = -(x - 2) + 1\)也能直接得到顶点坐标为\((2,1)\)，它是抛物线的最高点。
增减性：当\(x\lt2\)时，在对称轴左侧，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\gt2\)时，在对称轴右侧，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
最值：因为图象开口向下，顶点为最高点，所以当\(x = 2\)时，\(y\)有最大值，最大值是\(1\)。
幻灯片 6：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)）的图象与性质总结
性质
当\(a\gt0\)时
当\(a\lt0\)时
图象与顶点式的关系
可通过配方化为\(y = a(x + \frac{b}{2a}) + \frac{4ac - b }{4a}\)，与\(y = a(x + h) + k\)形式对应，\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b }{4a}\)
可通过配方化为\(y = a(x + \frac{b}{2a}) + \frac{4ac - b }{4a}\)，与\(y = a(x + h) + k\)形式对应，\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b }{4a}\)
开口方向
向上
向下
对称轴
直线\(x = -\frac{b}{2a}\)
直线\(x = -\frac{b}{2a}\)
顶点坐标
\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b }{4a})\)（最低点）
\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b }{4a})\)（最高点）
增减性
当\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大
当\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小
最值
当\(x = -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)有最小值\(\frac{4ac - b }{4a}\)
当\(x = -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)有最大值\(\frac{4ac - b }{4a}\)
开口大小
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
由\(\vert a\vert\)决定，\(\vert a\vert\)越大，开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，开口越宽
\(a\)的影响
决定开口方向和大小
决定开口方向和大小
\(b\)的影响
与\(a\)共同决定对称轴位置，当\(ab\gt0\)时，对称轴在\(y\)轴左侧；当\(ab\lt0\)时，对称轴在\(y\)轴右侧
与\(a\)共同决定对称轴位置，当\(ab\gt0\)时，对称轴在\(y\)轴左侧；当\(ab\lt0\)时，对称轴在\(y\)轴右侧
\(c\)的影响
决定抛物线与\(y\)轴交点坐标为\((0,c)\)
决定抛物线与\(y\)轴交点坐标为\((0,c)\)
幻灯片 7：二次函数\(y = ax + bx + c\)性质的应用（一）—— 确定图象特征
例题 1：已知二次函数\(y = 3x + 6x - 1\)，求其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
分析：根据\(a = 3\gt0\)可判断开口方向；利用\(x = -\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\times3}=-1\)求对称轴；把\(x = -1\)代入函数求顶点纵坐标。
解答过程：因为\(a = 3\gt0\)，所以图象开口向上。
对称轴为直线\(x = -\frac{6}{2\times3}=-1\)。
把\(x = -1\)代入\(y = 3x + 6x - 1\)得：\(y = 3\times(-1) + 6\times(-1) - 1 = 3 - 6 - 1 = -4\)，所以顶点坐标是\((-1,-4)\)。
幻灯片 8：二次函数\(y = ax + bx + c\)性质的应用（二）—— 求函数最值
例题 2：某商品的进价为每件\(40\)元，售价为每件\(60\)元时，每周可卖出\(300\)件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价\(1\)元，每周要少卖出\(10\)件。设每件商品的售价为\(x\)元（\(x\geq60\)），每周的销售利润为\(y\)元，求\(y\)关于\(x\)的函数表达式，并求该函数的最大值。
分析：利润\(y = (\)售价\(-\)进价\()\times\)销售量，销售量为\(300 - 10(x - 60)\)，从而得到\(y\)关于\(x\)的二次函数表达式，再根据二次函数性质求最值。
解答过程：\(y=(x - 40)[300 - 10(x - 60)]=(x - 40)(900 - 10x)= -10x + 1300x - 36000\)。
这里\(a = -10\lt0\)，图象开口向下，对称轴为\(x = -\frac{1300}{2\times(-10)} = 65\)。
所以当\(x = 65\)时，\(y\)有最大值，\(y_{max}=-10\times65 + 1300\times65 - 36000 = -42250 + 84500 - 36000 = 6250\)（元）。
幻灯片 9：二次函数\(y = ax + bx + c\)性质的应用（三）—— 确定函数表达式
例题 3：已知二次函数的图象经过点\((0,0)\)，\((1,-1)\)，\(( - 1,9)\)，求该二次函数的表达式。
分析：设二次函数表达式为\(y = ax + bx + c\)，把三个点的坐标代入，得到关于\(a\)、\(b\)、\(c\)的方程组，解方程组求出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
解答过程：设二次函数表达式为\(y = ax + bx + c\)。
把\((0,0)\)代入得\(c = 0\)；把\((1,-1)\)代入得\(a + b + c = -1\)；把\(( - 1,9)\)代入得\(a - b + c = 9\)。
将\(c = 0\)代入\(a + b + c = -1\)和\(a - b + c = 9\)，得到\(\begin{cases}a + b = -1\\a - b = 9\end{cases}\)，两式相加得\(2a = 8\)，解得\(a = 4\)，把\(a = 4\)代入\(a + b = -1\)得\(4 + b = -1\)，解得\(b = -5\)。
所以该二次函数的表达式是\(y = 4x - 5x\)。
幻灯片 10：二次函数与一元二次方程的关系
关系探究：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a\neq0\)），当\(y = 0\)时，就得到一元二次方程\(ax + bx + c = 0\)。
当\(\Delta = b - 4ac\gt0\)时，方程\(ax + bx + c = 0\)有两个不同的实数根，此时二次函数图象与\(x\)轴有两个交点。例如\(y = x - 2x - 3\)，令\(y = 0\)，即\(x - 2x - 3 = 0\)，\((x - 3)(x + 1)=0\)，解得\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -1\)，函数图象与\(x\)轴交点为\((3,0)\)和\(( - 1,0)\)。
当\(\Delta = b - 4ac = 0\)时，方程\(ax + bx + c = 0\)有两个相同的实数根，二次函数图象与\(x\)轴有一个交点。比如\(y = x - 2x + 1\)，令\(y = 0\)，\((x - 1) = 0\)，解得\(x = 1\)，函数图象与\(x\)轴交点为\((1,0)\)。
当\(\Delta = b - 4ac\lt0\)时，方程\(ax + bx + c = 0\)没有实数根，二次函数图象与 \
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握二次函数 的性质，且与 转化；
2. 利用平移变换和描点的方法得到二次函数 的图象；
3. 经历探索二次函数 与 之间联系的过程，培养学生的逻辑推理能力，体会化归思想的作用；
4. 经历观察函数图象得到性质的过程，进一步体会数形结合的思想，培养学好数学的自信心.
难点
重点
你目前学会了哪种函数的图象的画法呢？
你能准确画出这条抛物线吗？
跳绳运动员在起跳时，绳子呈圆弧状，如图所示，经研究，该圆弧状曲线可以用方程 表示，
情境导入
回顾思考
关于函数y=a(x+h)2+k的性质，你能回忆一下吗？
提取二次项系数a
对含x的项进行配方
我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？
先将这个
函数的表达式进
行配方
y= –2x2–8x–7
= –2 ( x2+4x ) –7
= –2 (x2+4x+4) –7+8
= –2(x2+2)2+1
可见，函数y= –2x2–8x–7的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(–2，1)，对称轴是直线x= –2.
提取二次项系数a
对含x的项进行配方
思考
我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？
先将这个
函数的表达式进
行配方
y= –2x2–8x–7
= –2 ( x2+4x ) –7
= –2 (x2+4x+4) –7+8
= –2(x+2)2+1
的图象即为所求
如何得到函数y= –2(x2+2)2+1的图象呢？你会几种方法呢？
思考
通过平移y= –2x2的图象得到y=–2(x+2)2+1的图象.
抛物线二次项系数相等则图象形状相同，改变顶点位置即可
左移2个单位长度
上移1个单位长度
左移2个单位长度
上移1个单位长度
x
y
– 1
– 2
– 3
– 4
–5
–2
–3
3
1
O
–1
2
2
1
5
4
–4
–5
– 6
– 7
–8
归纳
(1)二次函数的二次项系数相同时，图象可通过平移相互得到；
抛物线
相同
抛物线
上移 ， 左移
下移 ，右移
(2)平移前后，图象的大小和形状都不改变，只有位置改变.
思考
除了平移法，你还有别的画图方法吗？
… …
… …
–2
–7 –1 –1 –7
一般式
配方
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　
顶点式
顶点坐标、对称轴
得到
列表、描点、连线
利用轴
对称性
①
思路
②
操作
–4 –3 –1 0
1
怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？
x
y
– 1
– 2
– 3
– 4
–5
–2
–3
3
1
O
–1
2
2
1
5
4
–4
–5
– 6
– 7
–8
对称选点
函数y= –2x2–8x–7的图象特点是怎样的？函数有哪些性质？
图象特征 函数性质 顶点 开口方向 当x= 时， 最
值
对称轴 曲 线 趋 势 当 时， y随x的增大而增大； 当 时， y随x的增大而减小． 增
减
性
向下
在对称轴的左侧，图象从左到右 ；
在对称轴的右侧，图象从左到右 ．
–2
下降
上升
y= –2x2–8x–7
一般式：y= –2x2–8x–7
顶点式：
归纳
思考
函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质又是怎样的呢？
先配方，
再分类讨论
的对称轴是 ，顶点　　　　　　
归纳
当 时，随的增大而增大
　　
②当 时，随的增大而减小
　　
①开口向上，抛物线有最低点
当 时，取得最小值
　　
当 时，随的增大而减小
　　
②当 时，随的增大而增大　　
①开口向下，抛物线有最高点
当 时，取得最大值
　　
典型例题
例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？
(1)
，所以抛物线开口向上；
顶点坐标： .
对称轴： ；
(1)
(2)
解：
注意事项：
①函数中各项系数包含前面的符号，切不可漏掉；
②没有常数项，即c=0.
典型例题
，所以抛物线开口向下；
对称轴： ；
顶点坐标： .
(2)
解：
因为 ，所以开口向下；
∴对称轴：x= –1；
顶点坐标(–1，1).
技巧总结：
求函数的对称轴和顶点坐标，当容易配方时，可使用配方法求解.
例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？
(1)
(2)
典型例题
例2 函数 的图象如下图，下列错误的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：
因为抛物线与y轴的交点在负半轴上，
所以c＜0
因为抛物线的对称轴是x=1,所以 ；
即
因为当x=3时，函数值为0，所以
D
因为a＞0，且 ， 所以b＜0
(1) y=2x2+8x+5
解：
=2(x2+4x)+5
=2(x2+4x+4)+5–8
=2(x+2)2–3
抛物线开口向上；
对称轴：直线x= –2；
顶点坐标：(–2， –3).
1. 用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象.
(1) y=2x2+8x+5；(2)y= (2–x)(2x+1).
… …
… …
–2
5 –1 –1 5
–4 –3 –1 0
–3
x
y
3
2
1
4
–1
–2
–3
3
1
O
–1
2
6
5
5
4
–4
–5
– 2
– 3
–4
1. 用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象.
(1) y=2x2+8x+5；(2)y= (2–x)(2x+1).
(2) y= (2–x)(2x+1)
解：
= –2(x2– x)+2
= –2(x– )2+2+
= –2(x– )2+3
抛物线开口向上；
对称轴：直线x= – ；
顶点坐标：(– ， 3).
x
y
– 1
– 2
– 3
– 4
–5
–2
–3
3
1
O
–1
2
2
1
5
4
–4
–5
– 6
4
3
… …
… …
–3 0 0 –3
–1 –0.5 2 2.5
3
y= (2–x)(2x+1)
2. 将抛物线y= – x2+3x– 化成y=a(x+h)2+k的形式是 ，
其对应的抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是( ， )，
对称轴是 .当x 时，函数取得最 值，y最 = .
抛物线y= – x2+3x– 由抛物线抛物线y= – x2向 平移 个单位，
再向 平移 个单位.
y=– (x–3) 2+2
向下
3
2
直线x=3
=3
大
大
2
右
3
上
2
y＝ax2＋bx＋c a>0 a<0
抛物线对称轴 直线x＝________ 抛物线顶点坐标 (________，________) y＝ax2＋bx＋c a>0 a<0
函数增减情况 当x<______时，y随x
的增大而______；当
x>______时，y随x的
增大而______ 当x<______时，y随x
的增大而______；当
x>______时，y随x的
增大而________
函数最大 值或最小值 当x＝______时，y取
最______值，为
______ 当x＝______时，y取
最______值，为
______
减小
增大
增大
减小
小
大
知识点1 y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1． [知识初练]把二次函数y＝x2－8x－7化成y＝a(x＋h)2＋k
的形式是______________，其对应的图象开口向
__________，对称轴为直线__________，顶点坐标为
____________；当x________时，y随x的增大而减小；当
x________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y取
最______值，为________．
y＝(x－4)2－23
上
x＝4
(4，－23)
<4
>4
4
小
－23
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
A B C D
B
2． 二次函数y＝x2＋2x－1的图象大致是(　　)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
3． [2025·合肥月考]下列关于抛物线y＝－x2＋2x－3的说法正
确的是(　　)
A． 开口向上
B． 对称轴是直线x＝－1
C． 对称轴左侧部分y随x的增大而减小
D． 顶点到x轴的距离是2
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
4． [2024·合肥五十中月考]已知A(－3，y1)，B(－1，y2)是抛
物线y＝－x2＋6x＋k－9上的两点，则y1____y2.(填“>”“<”或
“＝”)
<
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
5． 抛物线y＝－2x2＋8x－6.
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
解：(1)因为y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，
所以抛物线的顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x＝2.
因为a＝－2<0，所以抛物线开口向下．易知抛物线的对称轴为直线x＝2，
所以当x>2时，y随x的增大而减小．
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
5． 抛物线y＝－2x2＋8x－6.
(3)x取何值时，y＝0；x取何值时，y>0；x取何值时，y<0.
令y＝0，即－2x2＋8x－6＝0，解得x＝1或x＝3.
因为抛物线开口向下，所以当x＝1或x＝3时，y＝0；
当10；
当x<1或x>3时，y<0.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
知识点2 y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x＋h)2＋k之间的关系
6. [教材改编题]将函数y＝x2＋x－2化成y＝a(x＋h)2＋k
的形式是________________ ，所以抛物线y＝x2＋x－2
可由抛物线y＝x2先沿x轴向_______(填“左”或“右”)平
移_________个单位，再沿y轴向______(填“上”或“下”)平移__________个单位得到．
左
1
下
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
7． [2024·南通中考]将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位
后得到新抛物线的顶点坐标为(　　)
A． (－4，－1) B． (－4，2)
C． (2，1) D． (2，－2)
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
8. [创新题·新考法]如图，在平面直角坐标系中，点A，B，
C，D都在格点上，过点P(－3，2)的抛物线y＝mx2＋2mx＋
n(m<0)可能经过的点是(　　)
A． 点A B． 点B
C． 点C D． 点D
D
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
9． 已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝
ax2－4ax＋2(a<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
____________(用“<”号连接)．
y32
3
4
5
6
7
8
9
10
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(1)m的值是________；
(2)平移抛物线y＝x2－mx－3，使其顶点始终在直线y＝x－1上，则平移后
所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值是__________．
2
10． [2024·黄山期中]已知二次函数y＝x2－mx－3的图象的对称轴为直线
x＝1.
点拨：(2)设平移后所得抛物线对应的函数表达式为y＝(x－h)2＋k.
因为抛物线的顶点在直线y＝x－1上，所以k＝h－1.
令x＝0，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为h2＋h－1.
设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z，因为z＝h2＋h－1＝
所以当h＝－ 时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为－ .
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性质：最值、增减性
配方：确定对称轴、顶点坐标
分a＞0、a＜0两种情况处理
图象：
对称轴： ，顶点：　　　　　　
平移法：左加右减、上加下减
描点法：与对称轴等距的x，对应的y值相等 　　　　
配方
一般式
化归
顶点式
最简式
二
次
函
数
y=
ax2+bx+c的
图
象
和
性
质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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