资源简介

(共26张PPT)
21.3.1 二次函数与一元二次方程教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.3.1 二次函数与一元二次方程
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：二次函数的一般形式是什么？（\(y=ax^2+bx+c\)，\(a≠0\)）
问题 2：一元二次方程的一般形式是什么？（\(ax^2+bx+c=0\)，\(a≠0\)）
问题 3：二次函数的图像是什么形状？其开口方向、对称轴和顶点坐标分别由什么决定？
第 3 页：学习目标
知识目标：理解二次函数与一元二次方程的关系，能通过二次函数图像求一元二次方程的近似解。
能力目标：提高运用图像分析问题的能力，培养数形结合的思维方式。
情感目标：感受数学知识之间的内在联系，激发探究数学的兴趣。
第 4 页：情境引入
展示问题：二次函数\(y=x^2-2x-3\)的图像与\(x\)轴交点的横坐标是什么？对应的一元二次方程\(x^2-2x-3=0\)的解是什么？
提问：二次函数图像与\(x\)轴的交点和一元二次方程的解之间有什么联系？
第 5 页：新知探究 1—— 图像与交点的关系
探究内容：观察二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴的交点情况。
分析过程：
当图像与\(x\)轴有两个交点时，对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个不相等的实数根。
当图像与\(x\)轴有一个交点时，对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个相等的实数根。
当图像与\(x\)轴没有交点时，对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)没有实数根。
第 6 页：新知探究 2—— 判别式的联系
结合一元二次方程根的判别式\(\Delta=b^2-4ac\)分析：
当\(\Delta>0\)时，二次函数图像与\(x\)轴有两个不同交点，方程有两个不相等实根。
当\(\Delta=0\)时，二次函数图像与\(x\)轴有一个交点，方程有两个相等实根。
当\(\Delta<0\)时，二次函数图像与\(x\)轴无交点，方程无实根。
举例：二次函数\(y=x^2-4x+3\)，\(\Delta=16-12=4>0\)，图像与\(x\)轴有两个交点，方程\(x^2-4x+3=0\)的根为\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。
第 7 页：例题讲解 1
例 1：已知二次函数\(y=x^2-5x+6\)，求其图像与\(x\)轴的交点坐标，并验证对应的一元二次方程的解。
步骤解析：
令\(y=0\)，得到方程\(x^2-5x+6=0\)。
解方程得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。
所以图像与\(x\)轴交点坐标为\((2,0)\)和\((3,0)\)。
第 8 页：例题讲解 2
例 2：根据二次函数\(y=-x^2+2x+3\)的图像，估计一元二次方程\(-x^2+2x+3=0\)的解的大致范围。
步骤解析：
画出二次函数图像，观察其与\(x\)轴交点的大致位置。
图像与\(x\)轴交于\((-1,0)\)和\((3,0)\)附近。
所以方程的解大致为\(x_1\approx-1\)，\(x_2\approx3\)。
第 9 页：方法总结
二次函数\(y=ax^2+bx+c\)与\(x\)轴交点的横坐标就是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根。
可通过判别式\(\Delta=b^2-4ac\)判断二次函数图像与\(x\)轴的交点个数和方程根的情况。
利用二次函数图像可估计一元二次方程解的近似值。
第 10 页：课堂练习 1
练习 1：求二次函数\(y=2x^2-4x-6\)的图像与\(x\)轴的交点坐标，并写出对应的一元二次方程的解。
练习 2：已知二次函数\(y=x^2-2x+k\)的图像与\(x\)轴有两个交点，求\(k\)的取值范围。
第 11 页：课堂练习 2
练习 3：根据二次函数\(y=2x^2-8x+6\)的图像，估计方程\(2x^2-8x+6=0\)的解（精确到 0.1）。
练习 4：判断二次函数\(y=-3x^2+2x-1\)的图像与\(x\)轴是否有交点，并说明理由。
第 12 页：易错点提醒
混淆二次函数与一元二次方程的表达式，注意两者的区别与联系。
利用图像估计方程解时，要准确观察交点位置，避免误差过大。
计算判别式时，要注意符号和运算顺序，确保结果正确。
第 13 页：课堂小结
本节课学习了二次函数与一元二次方程的密切关系，即二次函数图像与\(x\)轴交点的横坐标是对应方程的根。
掌握了通过判别式判断交点个数和方程根的情况的方法。
学会了利用二次函数图像估计一元二次方程解的近似值，体会了数形结合思想的应用。
第 14 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.3 第 [X]、[X]、[X] 题。
提高作业：已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像经过点\((1,0)\)、\((3,0)\)和\((0,3)\)，求该函数表达式，并求出对应的一元二次方程的解。
拓展作业：探究二次函数图像与一元二次方程根的关系在实际生活中的应用实例。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3.1 二次函数与一元二次方程
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4.在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
回顾与思考
一次函数 y kx b 的图象如图所示，则关于x的一元一次方程 kx b 0 的解为 ．
x
关于x的一元一次方程
kx b 0 的解
一次函数 y kx b
当y 0时所对应的
直线 y kx b 与
x轴交点的
函数表达式
函数图象
数
形
数形结合
y
x的值
横坐标
一元一次不等式 kx b＞0 的解集为 ；
一元一次不等式 kx b＜0 的解集为 ．
x＞
x＜
二次函数与
一元二次方程有什么关系呢？
观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？
y
x
O
–2
–1
2
1
y=x2+3x+2
交点的横坐标与
一元二次方x2+3x+2=0的根有什么关系？
两个交点
x1= –1，x2= –2
函数值y=0.
一元二次方程x2+3x+2=0的两个根等于二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标.
一元二次方程x2+3x+2=0，
Δ=b2–4ac＞0，有两个不相等的实数根.
二次函数y=x2+3x+2，
y=0时，图象与x轴有两个交点
–1
–2
观察
观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？
如果函数值y等于–，
又会怎样呢？
两个交点
y= –
解方程x2+3x+2= –.
x1= x2= –
一元二次方程x2+3x+2= –，
Δ=b2–4ac=0，有两个相等的实数根.
二次函数y=x2+3x+2，
图象与直线y= – 只有一个交点
x
O
–2
–1
2
1
y=x2+3x+2
函数值y=0.
–1
–2
y
观察
观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？
如果函数值y等于–2，
又会怎样呢？
两个交点
解方程x2+3x+2= –2.
无解
一元二次方程x2+3x+2= –2，
Δ=b2–4ac＜0，无实数根.
二次函数y=x2+3x+2，
图象与直线y= –2 没有交点
y= –
x
O
–2
–1
2
1
y=x2+3x+2
函数值y=0.
–1
–2
y= –2
y
归纳
二次函数
y ax bx c(a 0)
一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
与x轴的位置关系
根的情况
没有交点
没有实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
有两个交点
有两个不相等的实数根
画出下列二次函数的图象，能否写出相应的一元二次方程的根？
2，1
3
没有实数根
(1)y x2 x 2 (2)y x2 6x 9 (3)y x2 x 1
做一做
典型例题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
(2)球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
(4)球从飞出到落地要用多少时间
典型例题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
解：(1)当 h 15 时，
20t 5t2 15
t2 4t 3 0
t1 1，t2 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为15m .
1s
3s
15 m
能否结合图象说明？
典型例题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(2)球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
(2)当 h 20 时，
20t 5t2 20
t2 4t 4 0
t1 t2 2
2s
20 m
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
典型例题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
(3)当 h 20.5 时，
20t 5t2 20.5
t2 4t 4.1 0
∵( 4)2 4×4.1＜0 ，∴方程无实根.
∴球的飞行高度达不到20.5m.
20.5 m
典型例题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h 20t 5t 2.
(4)球从飞出到落地要用多少时间
20t 5t2 0
t 2 4t 0
t1 0，t2 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面.
(4)当 h 0 时，
小球从飞出到落地要用4s.
0s
4s
0 m
1.二次函数y x2 2x 1的图象与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.不与x轴相交的抛物线是( )
A. y 2x2 3 B. y 2x2 3
C. y x2 3x D. y 2(x 1)2 3
3．抛物线y ax2 bx c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2 bx c 0的解为____________ ．
B
x1 1，x2 3
D
4. 二次函数y ax2 bx c的图象如下图所示，则ax2 bx c 0的解为 ，
ax2 bx c＞0的解为 ．
x1 1，x2 3
x＜ 1或x＞3
1． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋
bx＋c的图象与______轴交点的______坐标．
2． 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数与一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物
线与x轴________交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有
________交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有________
交点．　　　　　　　　　　　　　　　
x
横
无
一个
两个
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1． [知识初练]若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实
数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴
的交点坐标是_________________．
2． [2024·合肥蜀山区模拟]二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x
轴的公共点个数是(　　)
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
(－1，0)，(3，0)
B
2
3
4
5
6
7
8
1
3． [2025年1月厦门期末]若抛物线y＝x2－3x－3m与x轴交于
不同的两个点，则m的取值范围是____________．
2
3
4
5
6
7
8
1
知识点2 用图象法求一元二次方程的近似解
4． [2025·合肥月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，
图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方
程ax2＋bx＋c＝0的一个解有可能是(　　)
A． 2.18 B． 2.68
C． －0.51 D． 2.45
D
2
3
4
5
6
7
8
1
5． [2024·合肥期中]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图
象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0论：①abc<0；②b2－4ac>0；③4a＋2b＋c＝0；④2a＋b＝0.
其中正确的结论有(　　)
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
C
2
3
4
5
6
7
8
1
6. [易错题]若抛物线y＝kx2－8x－8和x轴有交点，则k的取值
范围是________________．
k≥－2且k≠0
易错点睛：易忽视二次函数二次项系数不为0导致出错．
2
3
4
5
6
7
8
1
7． [2025·天津模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图
所示，利用图象回答问题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______________；
(2)方程ax2＋bx＋c＝5的解是_______________；
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的解是_____________；
(4)方程ax2＋bx＋c＝－6的解的情况是______．
x1＝－1，x2＝3
x1＝－2，x2＝4
x1＝x2＝1
无解
2
3
4
5
6
7
8
1
8． [2025·安庆月考]已知二次函数y＝x2－(m－2)x＋m－3(m
是常数)．求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定
有交点．
证明：当y＝0时，x2－(m－2)x＋m－3＝0，
因为Δ＝[－(m－2)]2－4×1×(m－3)＝m2－4m＋4－4m＋12＝
m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，
所以一元二次方程x2－(m－2)x＋m－3＝0有实数根，
所以无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点．
2
3
4
5
6
7
8
1
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关联：
结合“数、形”解释二次函数与一元二次方程的关系：
没有交点
没有实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
有两个交点
有两个不相等的实数根
y ax bx c(a 0)
与x轴的位置关系
ax bx c 0 (a≠0)
根的情况
数
形
二次函数
y ax bx c(a 0)
一元二次方程
ax bx c m(a 0)
y为定值m
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑