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21.3.2 二次函数与一元二次方程教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.3.2 二次函数与一元二次方程
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴交点的横坐标和一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根有什么关系？
问题 2：如何通过判别式\(\Delta=b^2-4ac\)判断二次函数图像与\(x\)轴的交点个数？
问题 3：已知二次函数\(y=x^2-3x+2\)，其图像与\(x\)轴的交点坐标是什么？对应的一元二次方程的解是多少？
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握二次函数图像与\(x\)轴交点的横坐标和一元二次方程根的关系的综合应用，能运用根与系数的关系解决相关问题。
能力目标：提升综合运用二次函数和一元二次方程知识解决实际问题的能力，强化数形结合思想的应用。
情感目标：通过解决综合性问题，增强学习数学的信心，感受数学知识的实用性。
第 4 页：情境引入
展示问题：已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴交于点\(A(1,0)\)和\(B(3,0)\)，求\(b\)和\(c\)的值。
提问：除了代入点的坐标求解，还有其他更简便的方法吗？二次函数图像与\(x\)轴交点的横坐标和系数\(b\)、\(c\)之间有什么关系？
第 5 页：新知探究 1—— 根与系数的关系应用
探究内容：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个根为\(x_1\)、\(x_2\)，则二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴交点坐标为\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)。
根与系数关系：\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。
举例：二次函数\(y=x^2-5x+6\)与\(x\)轴交点为\((2,0)\)、\((3,0)\)，方程\(x^2-5x+6=0\)的根为\(x_1=2\)，\(x_2=3\)，则\(x_1+x_2=5=-\frac{-5}{1}\)，\(x_1x_2=6=\frac{6}{1}\)。
第 6 页：例题讲解 1
例 1：已知二次函数\(y=2x^2+mx+n\)的图像与\(x\)轴交于点\((1,0)\)和\((2,0)\)，求\(m\)、\(n\)的值。
方法一（代入法）：将两点坐标代入函数表达式求解方程组。
方法二（根与系数关系）：
方程\(2x^2+mx+n=0\)的根为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。
由\(x_1+x_2=-\frac{m}{2}=3\)，得\(m=-6\)。
由\(x_1x_2=\frac{n}{2}=2\)，得\(n=4\)。
第 7 页：新知探究 2—— 二次函数与一元二次方程的实际应用
探究内容：在实际问题中，二次函数的图像与\(x\)轴的交点往往对应着问题的关键节点，可通过求解对应的一元二次方程解决实际问题。
举例：某物体从高处自由落下，其下落高度\(h\)（米）与下落时间\(t\)（秒）的关系为\(h=-5t^2+20t\)，求物体经过多长时间落地。（落地时\(h=0\)，解方程\(-5t^2+20t=0\)得\(t=0\)或\(t=4\)，即 4 秒后落地）
第 8 页：例题讲解 2
例 2：某商场销售一种商品，每件成本为 30 元，售价为\(x\)元时，每天的销售量为\(y=-x+100\)件。若每天的利润为 200 元，求该商品的售价。（利润 =（售价 - 成本）× 销售量）
步骤解析：
利润表达式为\((x-30)(-x+100)=200\)。
整理得\(-x^2+130x-3000=200\)，即\(x^2-130x+3200=0\)。
解方程得\(x_1=50\)，\(x_2=80\)。
所以商品售价为 50 元或 80 元时，每天利润为 200 元。
第 9 页：方法总结
已知二次函数与\(x\)轴交点坐标时，可利用根与系数的关系快速求函数表达式中的系数。
解决实际问题时，先根据题意列出二次函数关系式，再通过令函数值为特定值（如 0、目标值等）转化为一元二次方程求解。
解题过程中要注意结合实际意义对解进行取舍。
第 10 页：课堂练习 1
练习 1：已知二次函数\(y=ax^2+bx-6\)的图像与\(x\)轴交于\((-2,0)\)和\((3,0)\)两点，求\(a\)、\(b\)的值。
练习 2：某公司生产一种产品，月销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）的关系为\(y=-10x+500\)，每件成本为 20 元，若月利润为 8000 元，求销售单价。
第 11 页：课堂练习 2
练习 3：二次函数\(y=x^2+px+q\)的图像与\(x\)轴交点间的距离为 4，且过点\((1,2)\)，求该二次函数的表达式。
练习 4：若二次函数\(y=x^2-2x+k\)的图像与\(x\)轴的一个交点为\((3,0)\)，求另一个交点的坐标和\(k\)的值。
第 12 页：易错点提醒
运用根与系数关系时，要注意方程是一元二次方程，需满足\(a≠0\)和\(\Delta≥0\)。
解决实际问题时，列出的方程要符合题意，解出结果后要检验是否符合实际意义，避免出现不合理的解。
计算过程中要仔细，防止符号错误和运算失误。
第 13 页：课堂小结
本节课进一步学习了二次函数与一元二次方程的关系，掌握了利用根与系数的关系求函数系数的方法。
学会了将实际问题转化为二次函数和一元二次方程问题进行解决，体会了数学的实际应用价值。
深化了数形结合思想在解题中的应用，提高了综合解题能力。
第 14 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.3 第 [X]、[X]、[X] 题。
提高作业：已知二次函数图像的顶点坐标为\((2,-1)\)，且与\(x\)轴交于两点，两点间距离为 2，求该二次函数的表达式。
拓展作业：收集生活中运用二次函数与一元二次方程关系解决的实际问题，并尝试进行分析解答。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3.2 二次函数与一元二次方程
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解如何用函数的图象求一元二次方程的近似解；
2.经历探索用函数的图象求一元二次方程的近似解的过程，渗透数形结合的思想方法；
3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力；
4.在探索用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
知识回顾
二次函数与一元二次方程的关系是怎样的？
二次函数
y ax bx c(a 0)
一元二次方程
ax bx c m(a 0)
y为定值m
建立关联
结合“数、形”解释二次函数与一元二次方程的关系：
没有交点
没有实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
有两个交点
有两个不相等的实数根
y ax bx c(a 0)
与x轴的位置关系
ax bx c 0 (a≠0)
根的情况
数
形
如果给你一个方程，你能用图象法求出它的近似解吗？
合作探究
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
解：画出函数y=x 2x–1的图象，如图所示：
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
两个交点
由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间.
合作探究
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
解：画出函数y=x 2x–1的图象，如图所示：
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
先求位于–3和–2之间的根.
由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间.
–2.5或–2.4
由图象可估计这个根是–2.5或–2.4，计算试试.
x … –2.5 –2.4 …
y … …
0.25
–0.04
正
负
所以–2.5与–2.4之间肯定有一个x值使y=0.
当x= –2.4时，y= –0.04比y=0.25(x= –2.5)更接近0，
故选x= –2.4.
请你仿照此方法求出该方程精确到0.1的另一个根.
x取何值时，y值最接近0.
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
解：画出函数y=x 2x–1的图象，如图所示：
y=x2+2x–1
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
求位于0和1之间的根.
由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间.
0.4或0.5
由图象可估计这个根是0.4或0.5，计算试试.
x … 0.4 0.5 …
y … …
– 0.04
0.25
负
正
所以0.4与0.5之间肯定有一个x值使y=0.
当x=0.4时，y= –0.04比y=0.25(x=0.5)更接近0，
故选x=0.4.
所以一元二次方程 x 2x–1=0精确到0.1的近似解x1= –2.4，x2=0.4.
方法归纳
合作探究
用图象法求一元二次方程 x 2x–1=0的近似解(精确到0.1)
x = –2x+1
一元二次方程 x 2x–1=0的近似解，就是函数
y = x 与 y= –2x+1的图象交点的横坐标.
y=x2
y= –2x+1
接下来，与前边的方法一样，根据要求取值逐一验证.
还可以在计算机上用《几何画板》处理.
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
–2
4
3
5
–3
–3
2
3
1
6
方法归纳
图象法求解一元二次方程
方法一：求抛物线与x轴交点的横坐标.
(1)画：在平面直角坐标系中画出对应二次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
方法二：求抛物线与直线交点的横坐标.
(1)画：画出变形后的二次函数和一次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
还可以在计算机上用《几何画板》处理.
1. 二次函数y = –x 2x+k 的部分图象如下图所示，关于x的一元二次方程–x 2x+k=0的一个解为x1= 3.1，则另一个解x2为 .
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
4
3
5
–3
2
3
1
6
4
y= –x 2x+k
–1.1
2. 下表是若干组二次函数y=x2–5x+c的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程 x2–5x+c=0 的一个近似根(精确到0.1)是( )
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 –0.08 –0.27 –0.44 …
A. 3.4
B. 3.5
C. 3.6
D. 3.7
B
3. 利用图象法求一元二次方程–x 2x–3= –8的实数根.(结果精确到0.1)
y
x
O
–2
–1
2
1
–1
4
3
5
–3
2
3
1
6
4
解：原方程变形为–x 2x+5=0.
画出二次函数 y= –x 2x+5的图象，如图所示：
由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在–2和–1之间和3与4之间.
即方程–x 2x–3= –8的两个实数根分别在–2和–1之间和3与4之间.
(接下来根据取值范围，用取平均数的方法逐渐缩小取值范围，从而确定方程的近似解.)
得到方程的两个实数根分别为x1= –1.4，x2=3.4.
还可以通过求抛
物线与直线交点的横
坐标求解.
y= –x 2x+5
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)与x轴交点的横坐标分别
为x1，x2，则当y<0时，x的取值范围为__________；当y>0
时，x的取值范围为____________．
x1xx2
知识点 二次函数与一元二次不等式的关系
1． [2025年1月蚌埠期末]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是(　　)
A． －12
C． x<－1 D． x<－1或x>2
D
2
3
4
5
6
7
1
2． [2025·芜湖月考]如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，
其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一个交点为B(6，0)，
则由图可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　)
A． x＞6 B． 0＜x＜6
C． x＜－2或x＞6 D． －2＜x＜6
D
2
3
4
5
6
7
1
3． 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图
象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图所示)，则能使y1立的x的取值范围是___________．
－22
3
4
5
6
7
1
4． 如图为二次函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象法求不等
式x2－2x－3＜5的解集．
解：在题图中作出直线y＝5，观察图象，得直线y＝5与抛物线y＝x2－2x－3的两个交点坐标分别为(－2，5)，(4，5)．由图象可知不等式x2－2x－3<5的解集为－22
3
4
5
6
7
1
5． [2024·武汉期中]如图，抛物线y1＝－(x－1)2＋4与x轴交于
点A，与y轴交于点B，直线AB的函数表达式为y2＝mx＋n.
(1)当y1≥0时，x的取值范围是________；
(2)当y1>3时，x的取值范围是________；
－1≤x≤3
(3)当y10x<0或x>3
2
3
4
5
6
7
1
6. [创新题·新考法 2024·中山三模)记实数x1，x2，…，xn中的
最大数为max，例如max＝
2，则当函数y＝max＝x2时，x的取值范围为
____________.
x≤0或x≥1
2
3
4
5
6
7
1
7． [2024·合肥期中]已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点
A(1，0)，B(4，3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
解：(1)将(1，0)，(4，3)代入y＝x2＋bx＋c，
所以y＝x2－4x＋3.
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1
图象法求解一元二次方程
方法一：求抛物线与x轴交点的横坐标.
方法二：求抛物线与直线交点的横坐标.
(1)画：在平面直角坐标系中画出对应二次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
(1)画：画出变形后的二次函数和一次函数的图象；
(2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围；
(3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值；
(4)写：交点的横坐标即为方程的解(根).
还可以在计算机上用《几何画板》处理.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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