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21.4 第 2 课时 用二次函数解决抛物线形建筑问题教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.4 第 2 课时 用二次函数解决抛物线形建筑问题
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：确定二次函数表达式常用的形式有哪些？（一般式\(y=ax^2+bx+c\)、顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)、交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)）
问题 2：已知抛物线的顶点坐标为\((h,k)\)和另一个点的坐标，如何求二次函数表达式？（设顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，代入已知点坐标求出\(a\)的值）
问题 3：二次函数\(y=-2(x-3)^2+5\)的顶点坐标是什么？当\(x\)为何值时，函数有最大值或最小值？（顶点坐标为\((3,5)\)，当\(x=3\)时，函数有最大值 5）
第 3 页：学习目标
知识目标：学会将抛物线形建筑问题转化为二次函数数学模型，能根据实际条件建立合适的平面直角坐标系，求出二次函数表达式并解决相关问题。
能力目标：提升从实际问题中抽象出数学模型的能力，增强运用二次函数知识解决实际建筑问题的应用能力。
情感目标：感受数学在建筑领域的广泛应用，体会数学的实用性和趣味性，激发学习数学的积极性。
第 4 页：情境引入
展示图片：抛物线形拱桥、抛物线形隧道入口、抛物线形屋顶等建筑图片。
提问：这些建筑的轮廓都近似于抛物线，如何利用二次函数知识解决与这些建筑相关的实际问题，比如计算拱桥的最大高度、隧道的宽度等？
第 5 页：新知探究 1—— 抛物线形拱桥问题
例 1：一座抛物线形拱桥，当水面宽为 12 米时，拱顶离水面 4 米。建立适当的平面直角坐标系，求这条抛物线的表达式。若水面上升 1 米，此时水面的宽度是多少？
步骤解析：
建立坐标系：设抛物线的顶点（拱顶）为原点\((0,0)\)，对称轴为\(y\)轴，向下为\(y\)轴正方向。
确定已知点坐标：水面宽 12 米时，水面与抛物线的交点坐标为\((6,4)\)和\((-6,4)\)。
设二次函数表达式：因为顶点在原点，设表达式为\(y=ax^2\)。
代入点坐标求\(a\)：将\((6,4)\)代入得\(4=a×6^2\)，解得\(a=\frac{1}{9}\)，所以表达式为\(y=\frac{1}{9}x^2\)。
解决水面上升问题：水面上升 1 米后，\(y=4 - 1=3\)，代入表达式得\(3=\frac{1}{9}x^2\)，解得\(x=±3\sqrt{3}\)，此时水面宽度为\(6\sqrt{3}\)米。
第 6 页：例题讲解 2—— 抛物线形隧道问题
例 2：某抛物线形隧道的截面如图所示，隧道的最大高度为 6 米，底部宽度为 12 米。一辆宽 4 米、高 5 米的货车能否通过该隧道？
步骤解析：
建立坐标系：设抛物线的顶点为\((6,6)\)，对称轴为直线\(x=6\)，底部与\(x\)轴交于\((0,0)\)和\((12,0)\)两点。
设二次函数表达式：设顶点式为\(y=a(x-6)^2+6\)。
代入点坐标求\(a\)：将\((0,0)\)代入得\(0=a×(0-6)^2+6\)，解得\(a=-\frac{1}{6}\)，表达式为\(y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6\)。
分析货车能否通过：货车宽 4 米，当\(x=6 - 2=4\)或\(x=6 + 2=8\)时，求对应的\(y\)值。当\(x=4\)时，\(y=-\frac{1}{6}(4-6)^2+6=-\frac{1}{6}×4 + 6=\frac{16}{3}≈5.33\)米，因为\(5.33＞5\)，所以货车能通过。
第 7 页：方法总结
解决抛物线形建筑问题的步骤：
建立合适的平面直角坐标系：通常以抛物线的顶点、对称轴或与地面的交点为坐标原点或坐标轴，简化计算。
确定关键点的坐标：根据实际问题中的数据，找出抛物线上已知点的坐标，如顶点、与地面的交点等。
求出二次函数表达式：根据已知点的坐标，选择合适的表达式形式（一般式、顶点式等）求出表达式。
解决实际问题：利用求出的表达式计算相关的长度、高度等实际问题，并检验结果的合理性。
注意：坐标系的建立方式不同，函数表达式也会不同，但最终结果相同，要选择简便的坐标系建立方式。
第 8 页：课堂练习 1
练习 1：一个抛物线形的过街天桥，拱高为 3 米，跨度为 6 米（即底部宽度为 6 米）。建立适当的坐标系，求抛物线的表达式。
练习 2：某抛物线形屋顶的最大高度为 8 米，底部宽度为 16 米。一只小鸟从屋顶下方飞过，小鸟距离地面的高度为 7 米，它能飞过的水平宽度是多少？
第 9 页：课堂练习 2
练习 3：如图，抛物线形拱门的高度为 8 米，当水平距离拱门底部中心 5 米时，高度为 3 米。求该抛物线的表达式，并计算拱门的底部宽度。
练习 4：一座抛物线形的观光塔，其轮廓近似抛物线，已知塔的最大高度为 20 米，在距离塔底中心 6 米处的高度为 16 米。建立坐标系并求出抛物线表达式，若在塔的一侧有一个高 12 米的广告牌，它距离塔底中心的水平距离最大是多少？
第 10 页：易错点提醒
坐标系建立不当，导致计算复杂或关键点坐标确定错误。
忽略实际问题中数据的单位，或单位不统一导致计算错误。
求出函数表达式后，代入计算时坐标对应错误，影响实际问题的解答。
对实际问题的理解不到位，无法准确找出抛物线上的已知点坐标。
第 11 页：课堂小结
本节课学习了用二次函数解决抛物线形建筑问题，关键是建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数模型。
掌握了解决这类问题的基本步骤：建坐标系、定坐标、求表达式、解问题。
体会到坐标系的建立对解题简便性的影响，以及数学知识在实际建筑中的重要应用。
第 12 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.4 第 [X]、[X]、[X] 题。
提高作业：某抛物线形的体育馆屋顶，跨度为 24 米，最大高度为 10 米。在距离屋顶底部中心 4 米处有一盏灯，这盏灯距离屋顶最高点的垂直距离是多少？
拓展作业：观察生活中的抛物线形建筑，收集相关数据，尝试用二次函数知识解决一个实际问题，并记录解题过程和体会。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.4　第2课时 用二次函数解决抛物线形建筑问题
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能根据实际问题建立合适的平面直角坐标系，找出数量关系；
2.能建立二次函数解析式，并能应用二次函数的相关性质解决实际问题；
3.从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际问题之间的联系，体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想；
4. 经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.
观察思考
观察下列建筑构成的形状，可近似看作什么？
抛物线
你知道如何求这些抛物线的解析式吗？
合作探究
如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，现在想了解水面下降1 m时，水面宽度增加多少？你有办法吗？
建立直角坐标系
怎样建立平面直角坐标系比较简单呢？
分组交流讨论：
1.学生分组交流讨论；
2.各组展示探究方法和过程；
3.教师带领大家完善探究过程.
合作探究
交流
怎样建立平面直角坐标系比较简单呢？
(2，–2)
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系
(0，0)
如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？
探究
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2，–2)，可得
–2=a×22，
所以这条抛物线表示的二次函数为
(2，–2)
(0，0)
如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？
探究
(2，–2)
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为–3，如图设点P的横坐标为x1，
由题意知
水面宽度增加 m.
当水面下降1 m时，
P(x1，–3)
归纳
建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤：
① 根据题意建立适当的平面直角坐标系.
② 把已知条件转化为点的坐标.
③ 合理设出函数的解析式.
④ 利用待定系数法求出函数解析式.
⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题.
【例】如图（1），悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2），求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长.
典型例题
（1）
450
450
(0，0.5)
(450，81.5)
（2）
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2），求这条抛物线对应的函数表达式；
典型例题
450
450
(0，0.5)
(450，81.5)
（2）
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得 81.5=a·4502+0.5.
解方程，得
答：所求抛物线对应的函数表达式为
（2）计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长.
典型例题
450
450
(0，0.5)
(450，81.5)
（2）
（2）当x=450 100=350(m)时，得
答：距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m，64.5 m.
当x=450 50=4000(m)时，得
1.有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在坐标系中，则抛物线的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
C
2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m) ( )
A. 6.9 m B. 7.0 m C. 7.1 m D. 6.8 m
A
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时：
（1）求此时水面的宽度CD为多少米？
（2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？
C
D
A
B
解：(1)建立如图所示的直角坐标系，
则点E(0，3)，A(3，0)，B(– 3,0)
设抛物线的解析式为y=ax2+k.
把点E，点A坐标代入到抛物线的解析式中.
则
解得
所以
E
C
D
A
B
E
当y=0.5时，
故水面宽度CD为 m.
所以 (m)
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时：
（1）求此时水面的宽度CD为多少米？
（2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？
C
D
A
B
E
(2)当x=1时，
所以这艘游船能通过.
3．河上有一座抛物线形隧道(下图为示意图) ，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时：
（1）求此时水面的宽度CD为多少米？
（2）若游船的宽度(指船的最大宽度)为2 m时，从水面到棚顶的高度为1.8 m，问这艘船能否从桥洞下通过？
　　　　　　　　　　　　
知识点1 建立平面直角坐标系求有关抛物线形建筑的表达式
1． [2025·西安三模改编]如图所示的是抛物线形拱桥，
当拱顶离水面4 m时，水面宽8 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数表达式；
2
3
4
5
6
7
1
解：(1)如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，此时可设这条抛物线对应的函数表达式为y＝ax2，易知点(4，－4)在该抛物线上，把(4，－4)代入，得
－4＝a×42，解得a＝－ ，所以y＝－ x2.
　　　　　　　　　　　　
1． [2025·滁州月考改编]如图所示的是抛物线形拱桥，当拱
顶离水面4 m时，水面宽8 m.
(2)当水面上升3 m时，水面宽度减少了多少？
当水面上升3 m时，拱顶离水面的距离是4－3＝1(m)．
当y＝－1时，－ x2＝－1，解得x＝2或x＝－2，
所以此时水面宽度是4 m，
则水面宽度减少了8－4＝4(m)．
2
3
4
5
6
7
1
知识点2 用二次函数表达式求水平距离或垂直高度
【主题情境】
交通枢纽中的数学智慧结晶
桥梁与隧道作为交通网络中的关键枢纽，承载着沟通地
域、促进发展的重任，其建筑设计更是凝聚了无数工程师的
智慧，蕴含着丰富的数学知识．请完成2-4题.
2
3
4
5
6
7
1
2． 赵州桥作为世界闻名的古老石拱桥，历经千年风雨依然
屹立不倒. 如图，大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，
若函数关系为y＝－x2，当水面宽度AB为20 m时，水面与
拱顶的高度CO等于________．
4 m
2
3
4
5
6
7
1
3． 十七孔桥，横跨于皇家园林湖泊之上，是颐和园的经典
建筑之一. 桥拱形状可近似看成二次函数图象的一部分，按
如图所示建立坐标系，若在正常水位时水面宽AB＝30 m，
拱顶O到水面AB的距离为9 m，当水位上升5 m时，水面宽
CD为________m.
20
2
3
4
5
6
7
1
4． 芜湖龙湾长江隧道建成通车后，驾车从隧道过江仅需5
min，隧道穿越障碍，缩短距离，是交通和工程的重要通
道．如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽
AB为8 m，拱顶内高8 m．把截面图形放在如图所示的平面
直角坐标系中(原点O是AB的中点)．
(1)这条抛物线所对应的函数表达式
为________________；
y＝－ x2＋8
2
3
4
5
6
7
1
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄
线两侧行驶，那么一辆宽2.5 m，高4 m的大型货运卡车是
否可以通过？为什么？
可以通过，理由如下：
对于y＝－ x2＋8，令－ x2＋8＝4，
解得x＝±2 ，
因为(2 )2＝8>2.52＝6.25，所以2 >2.5，
所以一辆宽2.5 m，高4 m的大型货运卡车可以通过．
2
3
4
5
6
7
1
建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤：
二次函数的应用
桥梁建筑类实际问题与二次函数的联系：
实际问题
二次函数
建立模型
二次函数的图象和性质
① 根据题意建立适当的平面直角坐标系.
② 把已知条件转化为点的坐标.
③ 合理设出函数的解析式.
④ 利用待定系数法求出函数解析式.
⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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