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21.4 第 3 课时 用二次函数解决抛物线形运动问题教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.4 第 3 课时 用二次函数解决抛物线形运动问题
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)中，顶点坐标是什么？当\(a＜0\)时，函数有什么最值情况？（顶点坐标为\((h,k)\)，当\(a＜0\)时，函数在顶点处取得最大值\(k\)）
问题 2：已知抛物线经过点\((1,3)\)、\((2,5)\)、\((3,3)\)，如何求其表达式？（可设一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入三点坐标求解方程组）
问题 3：在抛物线形建筑问题中，解决问题的关键步骤是什么？（建立坐标系、确定关键点坐标、求函数表达式、解决实际问题）
第 3 页：学习目标
知识目标：学会将抛物线形运动问题转化为二次函数模型，能根据运动情境建立合适的平面直角坐标系，求出二次函数表达式并解决运动中的最大高度、运动距离等问题。
能力目标：提高从实际运动问题中抽象数学模型的能力，增强运用二次函数知识分析和解决运动问题的应用能力。
情感目标：感受数学在物理运动中的应用价值，激发对数学和物理学科的学习兴趣，培养严谨的思维习惯。
第 4 页：情境引入
展示图片：运动员投篮、炮弹发射、喷泉喷水等抛物线形运动场景图片。
提问：这些运动的轨迹都近似于抛物线，如何利用二次函数知识求出投篮的最大高度、炮弹的射程、喷泉的喷水距离等问题呢？
第 5 页：新知探究 1—— 投篮运动问题
例 1：一名篮球运动员在距离篮筐 4 米处投篮，球的运动轨迹是抛物线，当球运动到水平距离投篮点 2 米时，达到最大高度 3 米。已知篮筐距离地面的高度为 3.05 米，问球能否投中篮筐？
步骤解析：
建立坐标系：设投篮点为原点\((0,0)\)，水平方向为\(x\)轴，竖直方向为\(y\)轴。
确定关键点坐标：抛物线顶点为\((2,3)\)，投篮点为\((0,0)\)。
设二次函数表达式：设顶点式为\(y=a(x-2)^2+3\)。
代入点坐标求\(a\)：将\((0,0)\)代入得\(0=a×(0-2)^2+3\)，解得\(a=-\frac{3}{4}\)，表达式为\(y=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3\)。
判断能否投中：当\(x=4\)时，\(y=-\frac{3}{4}(4-2)^2+3=-\frac{3}{4}×4 + 3=0\)，而篮筐高度为 3.05 米，所以球不能投中篮筐。
第 6 页：例题讲解 2—— 抛体运动问题
例 2：一门火炮发射炮弹，炮弹的运动轨迹是抛物线，已知炮弹飞出后经过 3 秒到达离地面 15 米的高度，经过 6 秒到达离地面 12 米的高度，且炮弹的最大高度出现在第 8 秒。求炮弹的最大高度是多少？
步骤解析：
建立坐标系：设时间为\(x\)秒，高度为\(y\)米，设抛物线表达式为\(y=ax^2+bx+c\)。
确定已知点坐标：由题意得点\((3,15)\)、\((6,12)\)，且对称轴为\(x=8\)（即\(-\frac{b}{2a}=8\)）。
列方程组：
\(\begin{cases}9a + 3b + c = 15\\36a + 6b + c = 12\\-\frac{b}{2a}=8\end{cases}\)
解方程组：由对称轴得\(b=-16a\)，代入前两个方程解得\(a=-\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{16}{3}\)，\(c=-11\)。
求最大高度：当\(x=8\)时，\(y=-\frac{1}{3}×8^2+\frac{16}{3}×8 - 11=\frac{25}{3}≈8.33\)米。
第 7 页：方法总结
解决抛物线形运动问题的步骤：
建立坐标系：通常以运动的起点为原点，水平方向为\(x\)轴（时间或水平距离），竖直方向为\(y\)轴（高度）。
确定关键点坐标：根据运动描述找出抛物线上的已知点，如起点、最高点（顶点）、某时刻的位置等。
求二次函数表达式：根据已知点坐标选择合适的表达式形式（顶点式或一般式）求出表达式。
解决运动问题：利用表达式计算最大高度、运动时间、水平距离等，并结合实际意义验证结果。
注意：运动问题中变量可能是时间或水平距离，要明确变量的实际含义，确保坐标对应正确。
第 8 页：课堂练习 1
练习 1：一个小球从地面被抛出，其运动轨迹是抛物线，当小球运动到水平距离抛出点 5 米时，高度为 10 米；运动到 10 米时，高度为 7.5 米。求小球抛出的最大高度。
练习 2：一名运动员掷铅球，铅球的运动轨迹是抛物线，铅球出手时高度为 1.6 米，经过 2 秒到达最大高度 3.6 米。求铅球落地时经过的时间。
第 9 页：课堂练习 2
练习 3：喷泉的水流喷出后形成抛物线，已知水流喷出的高度\(y\)（米）与水平距离\(x\)（米）的关系满足二次函数，当\(x=1\)时，\(y=2\)；\(x=2\)时，\(y=2.5\)；\(x=3\)时，\(y=2\)。求水流能达到的最大高度和最远喷水距离。
练习 4：一个物体从高处自由抛出，其高度\(h\)（米）与时间\(t\)（秒）的关系是二次函数，已知\(t=1\)时，\(h=20\)；\(t=2\)时，\(h=24\)；\(t=3\)时，\(h=20\)。求物体抛出时的高度和物体落地的时间。
第 10 页：易错点提醒
混淆运动问题中的变量类型，将时间和水平距离作为变量时坐标对应错误。
确定顶点坐标时出错，尤其是最大高度对应的时间或水平距离判断不准确。
解方程组求函数表达式时计算错误，导致后续问题解答错误。
忽略运动的实际情境，如落地时高度为 0，计算落地时间时未正确代入表达式。
第 11 页：课堂小结
本节课学习了用二次函数解决抛物线形运动问题，核心是建立合适的坐标系，将运动轨迹转化为二次函数模型。
掌握了解决这类问题的步骤：明确变量、建坐标系、定关键点坐标、求表达式、解运动问题。
体会到数学与物理运动的紧密联系，进一步提升了数学建模和应用能力。
第 12 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.4 第 [X]、[X]、[X] 题。
提高作业：一个烟花从地面发射，其高度\(y\)（米）与时间\(t\)（秒）的关系是二次函数，发射后 1 秒时高度为 20 米，发射后 3 秒时高度为 40 米，发射后 5 秒时高度为 20 米。求烟花绽放的最大高度和烟花从发射到落地的总时间。
拓展作业：观察生活中的抛物线形运动现象，记录相关数据，用二次函数知识分析其运动规律，撰写一份简短的分析报告。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.4　第3课时 用二次函数解决抛物线形运动问题
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能从实际问题中建立二次函数模型，并根据二次函数的图象和性质解决实际问题；
2.经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验；
3.在利用二次根数模型解决实际问题的过程中，进一步体会“数形结合”的思想，以及建模的转化思想；
4. 经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系.
利用二次函数解决实际问题的一般思路是什么？
复习回顾
实际问题
二次函数模型
二次函数的图象和性质
转化
利用
解决
前面我们学习了利用二次函数能解决哪些实际问题？
利用二次函数还能解决哪些实际问题呢？
复习回顾
几何图形面积问题
桥梁建筑类抛物线型问题
……
合作探究
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式：
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10 m/s2)， t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少？
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式：
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10 m/s2)， t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少？
分析
(t≥0)
h为关于t的二次函数
排球上升的最大高度
t≥0时h的最大值
上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的表达式：
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10 m/s2)， t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少？
解：(1)根据题意，得
因为抛物线开口向下，顶点坐标为(1，5).
答：排球上升的最大高度是5 m.
(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？
分析
令h=2.5 m，求出对应的t值，结合实际求解即可.
解：(2)当h=2.5 m时，得
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5 m高度，但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3 s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
解方程，得
答：该运动员在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳.
如果这位运动员来不及在0.3 s时扣球，她还可在何时扣球？
归纳
解决运动中的抛物线型实际问题的一般步骤：
① 根据题意求出函数解析式(有时需建立合适的直角坐标系)；
② 根据二次函数的图象和性质求解；
③ 结合实际问题选择合适的解.
注意：实际问题中自变量的取值范围.
【例】行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
典型例题
制动时车速/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
分析
知道了制动距离，如何求得相应的制动速度？
求出制动距离与制动时车速的函数表达式即可.
如何求出函数解析式呢？
先根据表格中的数据画出大致的函数图象.
典型例题
制动时车速/km·h 1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.
y/m
x/km·h 1
典型例题
制动时车速/km·h 1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设y=ax +bx+c.
在已知数据中任选三组，如取(0，0)，
(10，0.3)， (20，1.0)，分别代入所设函数的表达式，得
y/m
x/km·h 1
解方程组，得
典型例题
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110 km/h）行驶导致了交通事故？
即所求函数的表达式为
把y=46.5代入上式，得
46.5=0.002x2+0.01x.
解方程组，得
(舍去).
答：制动时车速为150 km/h(＞110 km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶.
对于不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.
归纳
1. 在体育训练中，点点掷出的实心球的飞行高度y(m)与水平
距离x(m)满足函数表达式y＝－(x－4)2＋6，其函数图象如
图所示，则点点此次掷球的成绩(即OA的长度)是(　　)
A． 4 m B． 6 m
C． 8 m D． 10 m
D
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3
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2． 点点在篮球比赛中，某次投篮的运动轨迹可以看成是抛
物线y＝－x2＋x＋的一部分(如图，水平地面为x轴，单
位：m)，则篮球到达最高点时离地面的距离是________m.
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2
3
4
5
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7
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1
3． 如图，点点在练习打网球时发现，网球沿与地面成一定角度的方向飞出，网球的飞行路线是一条拋物线，如果不考虑空气阻力，网球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－0.5x2＋2x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间是多少？
解：(1)当y＝0时，0＝－0.5x2＋2x，
解得x1＝0，x2＝4.
因为4－0＝4(s)，
所以在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间是4 s.
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(2)在飞行过程中，网球飞行高度何时最大？最大高度是
多少？
y＝－0.5x2＋2x＝－0.5(x－2)2＋2，
所以当x＝2时，y取得最大值，
此时，y＝2，
答：在飞行过程中，网球在第2 s时飞行高度最大，最大高度是2 m.
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知识点2 水流抛物型
4. [跨学科·物理]“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线
状的水幕上，通过光学原理折射出图象.水幕是由若干个
水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，AB＝2
m，BP＝9 m，水嘴高AD＝5 m，
则水柱落地点C到水嘴所
在墙的距离AC是________m.
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5. [真实情境]合肥天鹅湖有一个著名的景点——音
乐喷泉，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而
变化．某种音乐喷泉喷出的水线形状如抛物线，设其出水口
为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在
直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线(如图)，这组
抛物线的统一形式为y＝ax2＋bx.
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(1)若已知k＝1，且喷出的抛物线水线的最大高度达3 m，求此时a，b的值；
(2)若k＝1，喷出的水恰好到达岸边，求此时喷出的抛物线水线的最大高度．
解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(3，3)，
由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝9.因为k＝1，
所以顶点在直线y＝x上，所以顶点坐标为(9，9)，
所以此时喷出的抛物线水线的最大高度为9 m.
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解决运动中的抛物线型实际问题的一般步骤：
二次函数的应用
注意：
根据题意求出函数解析式(有时需建立合适的直角坐标系)；
根据二次函数的图象和性质求解；
结合实际问题选择合适的解.
对于不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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