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21.5.1 认识反比例函数教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.5.1 认识反比例函数
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是函数？（在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量）
问题 2：一次函数的一般表达式是什么？（\(y = kx + b\)，\(k\)、\(b\)为常数，\(k≠0\)）
问题 3：二次函数的一般表达式是什么？（\(y = ax^2 + bx + c\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，\(a≠0\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握反比例函数的三种表达式形式，并能根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型。
能力目标：通过分析实际问题中的变量关系，抽象出反比例函数概念，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
情感目标：体会数学与生活的紧密联系，感受数学在描述和解决实际问题中的作用，激发学习数学的兴趣，增强数学应用意识。
第 4 页：情境引入 1—— 行程问题
展示问题：一辆汽车从 A 地到 B 地，若速度为\(v\)千米 / 小时，行驶时间为\(t\)小时，A、B 两地相距 120 千米。
提问 1：时间\(t\)与速度\(v\)之间有怎样的关系？（根据路程 = 速度 × 时间，可得\(vt = 120\)，即\(t=\frac{120}{v}\)）
提问 2：当速度\(v\)增大时，时间\(t\)如何变化？（速度\(v\)增大时，时间\(t\)减小）
引导思考：这里速度\(v\)和时间\(t\)是两个变量，它们之间的关系不同于一次函数和二次函数，我们该如何定义和研究这种新的函数关系呢？
第 5 页：情境引入 2—— 几何面积问题
展示问题：一个矩形的面积为 24 平方厘米，设矩形的长为\(x\)厘米，宽为\(y\)厘米。
提问 1：长\(x\)与宽\(y\)之间有怎样的关系？（根据矩形面积 = 长 × 宽，可得\(xy = 24\)，即\(y=\frac{24}{x}\)）
提问 2：当长\(x\)增大时，宽\(y\)如何变化？（长\(x\)增大时，宽\(y\)减小）
总结：从这两个实际问题中，我们发现都存在两个变量，它们的乘积是一个定值，这就是我们今天要学习的反比例函数所描述的关系。
第 6 页：反比例函数的定义
定义：一般地，如果两个变量\(x\)、\(y\)之间的关系可以表示成\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的形式，那么称\(y\)是\(x\)的反比例函数。
强调：
\(k\)是常数，且\(k≠0\)，这是反比例函数定义的关键条件。
自变量\(x\)的取值范围是不等于 0 的一切实数，因为当\(x = 0\)时，\(\frac{k}{x}\)无意义。
因变量\(y\)的取值范围也是不等于 0 的一切实数。
第 7 页：反比例函数的其他表达式形式
形式一：\(xy = k\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)），由\(y=\frac{k}{x}\)两边同时乘以\(x\)可得，这种形式更能直观地体现两个变量乘积为定值的特点。
形式二：\(y = kx^{-1}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)），根据负指数幂的定义\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)，它与\(y=\frac{k}{x}\)本质是一样的，在一些运算中这种形式可能会更方便。
第 8 页：例题讲解 1—— 判断反比例函数
例 1：下列函数中，哪些是反比例函数？
(1)\(y=\frac{2}{x}\)
(2)\(y = 3x - 1\)
(3)\(y=\frac{1}{3x}\)
(4)\(y=\frac{x}{2}\)
(5)\(xy = 5\)
(6)\(y=\frac{1}{x^2}\)
分析过程：
对于\(y=\frac{2}{x}\)，符合\(y=\frac{k}{x}\)（\(k = 2≠0\)）的形式，是反比例函数。
\(y = 3x - 1\)是一次函数，不是反比例函数。
\(y=\frac{1}{3x}=\frac{\frac{1}{3}}{x}\)，这里\(k=\frac{1}{3}≠0\)，是反比例函数。
\(y=\frac{x}{2}\)是正比例函数，不是反比例函数。
由\(xy = 5\)可得\(y=\frac{5}{x}\)，\(k = 5≠0\)，是反比例函数。
\(y=\frac{1}{x^2}\)不符合\(y=\frac{k}{x}\)的形式，不是反比例函数。
答案：(1)(3)(5) 是反比例函数。
第 9 页：例题讲解 2—— 确定反比例函数表达式
例 2：已知\(y\)是\(x\)的反比例函数，当\(x = 3\)时，\(y = 4\)。求\(y\)与\(x\)的函数表达式。
步骤解析：
设反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）。
把\(x = 3\)，\(y = 4\)代入表达式，得到\(4=\frac{k}{3}\)。
求解\(k\)的值，两边同时乘以 3，得\(k = 4×3 = 12\)。
所以\(y\)与\(x\)的函数表达式为\(y=\frac{12}{x}\)。
第 10 页：课堂练习 1
练习 1：下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A.\(y = 2x\)
B.\(y=\frac{x}{3}\)
C.\(y=\frac{3}{2x}\)
D.\(y = - 3x + 1\)
练习 2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)，当\(x = - 2\)时，\(y = 5\)，求\(k\)的值。
第 11 页：课堂练习 2
练习 3：一个三角形的面积是 12 平方厘米，设它的底边长为\(x\)厘米，这条底边上的高为\(y\)厘米。求\(y\)与\(x\)的函数表达式，并指出自变量\(x\)的取值范围。
练习 4：已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x = 4\)时，\(y = - 2\)。求\(y\)关于\(x\)的函数表达式，当\(x = - 1\)时，\(y\)的值是多少？
第 12 页：易错点提醒
忽略\(k≠0\)这个条件，例如判断函数\(y=\frac{0}{x}\)时，不能错误地认为它是反比例函数。
对反比例函数表达式形式的理解不准确，像\(y=\frac{1}{x + 1}\)这种形式，虽然分母有\(x\)，但不符合\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数）的标准形式，不是反比例函数。
在根据条件确定反比例函数表达式时，代入数值计算错误，要仔细检查计算过程。
第 13 页：课堂小结
本节课学习了反比例函数的概念，理解了两个变量之间乘积为定值的函数关系就是反比例函数。
掌握了反比例函数的三种表达式形式：\(y=\frac{k}{x}\)、\(xy = k\)、\(y = kx^{-1}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）。
学会了判断一个函数是否为反比例函数以及根据已知条件确定反比例函数的表达式。
第 14 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.5 第 1、2 题。
提高作业：已知\(y\)与\(x^2\)成反比例，当\(x = 2\)时，\(y = 3\)。求当\(x = - 1\)时，\(y\)的值。
拓展作业：生活中有很多反比例函数的例子，如当压力一定时，压强与受力面积成反比例。请你再列举两个生活中反比例函数的实例，并建立相应的函数表达式。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.5.1认识反比例函数
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解反比例函数的概念；
2.能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数关系；
3.根据实际问题建立并列出反比例函数关系式；
4.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.
1000 m
观察思考
2.5 m/s
5 m/s
10 m/s
观察思考
1000 m
2.5 m/s
5 m/s
10 m/s
速度v
时间t
距离
工具
2.5 m/s
5 m/s
观察思考
1000 m
1000 m
1000 m
2.5 m/s
5 m/s
10 m/s
速度v
时间t
距离
工具
1000 m
1000 m
v
t
1000 m
v
t
=
1000 m
反比例
·
观察思考
1000 m
1000 m
1000 m
2.5 m/s
5 m/s
10 m/s
速度v
时间t
400 s
200 s
100 s
距离
工具
v
t
v
t
·
=
1000 m
v
t
一一对应
函数
反比例
观察思考
1000 m
1000 m
1000 m
2.5 m/s
5 m/s
10 m/s
速度v
时间t
400 s
200 s
100 s
距离
工具
反比例
函数
反比例函数
观察思考
反比例函数
v
t
·
=
1000
观察思考
反比例函数
v
1000
·
v
t
=
1000
问题① 某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的函数关系？
x
y
=
200
·
x
y
=
200
x
·
200
问题① 某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的函数关系？
x
y
=
200
问题① 某村有耕地200 hm2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y hm2与人口数量x之间有怎样的函数关系？
x
y
=
200
问题② 某市距省城距离 248 km，汽车行驶全程所需的时间 t h 与平均速度v km/h 之间有怎样的关系？
t
=
248
·
v
x
y
=
200
v
t
=
248
·
v
248
问题② 某市距省城距离 248 km，汽车行驶全程所需的时间 t h 与平均速度v km/h 之间有怎样的关系？
合作探究
x
y
=
200
v
t
=
248
问题② 某市距省城距离 248 km，汽车行驶全程所需的时间 t h 与平均速度v km/h 之间有怎样的关系？
问题③ 在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路的电流 I 的大小与该电路的电阻 R 的大小之间有怎样的函数关系？
x
y
=
200
v
t
=
248
R
I
=
U
合作探究
R
I
=
U
v
t
=
248
x
y
=
200
分式
合作探究
R
I
=
U
v
t
=
248
x
y
=
200
自变量
自变量
函数
归纳
一般地，表达式形如 的函数，叫做反比例函数.
定义
y
=
k
x
=
(k为常数，k≠0)
其中x是自变量，y是函数；
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
典型例题
例1.指出下列函数中的反比例函数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
y
=
1
x﹢1
y
=
3
4x
﹣
y
=
k
x
y
=
k2﹢1
x
xy
=
﹣2
y
=
x﹣1
3
=
x
4
﹣
3
x
4
﹣
k
(k≠0)
≥ 1
=
y
﹣2
x
y
x
﹣2
k
=
y
1
x
k
y
x
≠ 0
y与x+1成反比例
典型例题
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
y
=
1
x﹢1
y
=
3
4x
﹣
y
=
k
x
y
=
k2﹢1
x
y
=
x﹣1
3
=
x
4
﹣
3
x
4
﹣
(k≠0)
≥ 1
=
y
﹣2
x
k
=
y
1
x
k
常见形式
y
=
k
x
(k≠0)
xy
=
k
xy
=
﹣2
y
=
x﹣1
k
(k≠0)
(k≠0)
y
=
k
x
(k≠0)
xy
=
y
x﹣1
=
例1.指出下列函数中的反比例函数：
k
≠ 0
y与x+1成反比例
典型例题
例2 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它 的受力面S m2
的反比例函数，如下图所示.
(1)求p与S之间的函数表达式；
(2)当S=0.5时，求物体承受的压强p的值.
0.1 0.2 0.3 0.4
S/m2
p/Pa
1000
2000
3000
4000
O
常见形式
y
=
k
x
(k≠0)
xy
=
k
y
=
x﹣1
k
(k≠0)
(k≠0)
待定系数法
典型例题
例2 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它 的受力面S m2
的反比例函数，如下图所示.
(1)求p与S之间的函数表达式；
(2)当S=0.5时，求物体承受的压强p的值.
0.1 0.2 0.3 0.4
S/m2
p/Pa
1000
2000
3000
4000
O
待定系数法
解：(1)根据题意设 .
函数图象经过讲过点(0.1，1000)，
代入上式，得
解这个方程，得k=100.
答：p与S之间的函数表达式为
(P＞0，S＞0).
(2)当S=0.5时，
答：当S=0.5时，物体承受的压强p的值为200.
一般地，表达式形如y＝______(k为常数，且k≠______)的
函数叫做反比例函数，其中x是自变量，自变量x的取值范围
是________．其表达式还可以表示为xy＝______或y＝
______．　　　　　　　　　　　　　　　　
0
x≠0
k
kx－1
知识点1 反比例函数的概念
1． [2025年1月广州期末]下列函数中，属于反比例函数的是
(　　)
A． y＝5x
C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2． 当k______时，关于x的函数y＝是反比例函数，其中
自变量x的取值范围是__________．
【变式题】若y＝xm－1是关于x的反比例函数，则m＝
______．
≠2
x≠0　
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
3． 下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果是，指
出比例系数k的值．
(1)y＝；(2)y＝－；
(3)y＝x2；(4)y＝2x＋1；
(5)y＝x－1；(6)xy＝－3.
解：(1)y不是x的反比例函数．
(2)y是x的反比例函数，k＝－
(3)y不是x的反比例函数．
(4)y不是x的反比例函数．
(5)y是x的反比例函数，k＝1.
(6)y是x的反比例函数，k＝－3.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
知识点2 判断反比例函数关系
4． [2024·北京西城期中]下列关系中，成反比例关系的是
(　　)
A． 长方形的周长一定时，相邻两边的长
B． 三角形的面积一定时，它的底和高
C． 机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D． 一个人的跑步速度与他的体重
B
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
知识点3 用待定系数法求反比例函数表达式
5． 合安高速(合肥到安庆)全程约170 km，小明的爸爸驾车走
高速从合肥到安庆办事，则他所需时间t(h)与平均速度
v(km/h)之间的函数表达式是______________．
6. [跨学科·生物]在某生物种群中，种群数量y(个)与生存空间
x(m2)在一定范围内成反比例关系，当生存空间x＝10 m2
时，种群数量y＝50个，则该反比例函数表达式为
______________．
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
7. [跨学科·化学]一定质量的二氧化碳，它的密度ρ(kg/m3)是它
体积V(m3)的反比例函数，当V＝5 m3时，ρ＝1.98 kg/m3，
那么当ρ＝1.1 kg/m3时，V＝________m3.
9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
8． [2025·淮北月考]若y＋2与x成反比例，且当x＝2时，y＝0.
(1)求y关于x的函数表达式；
解：(1)由题意，可设y＋2＝ (k≠0)．
因为当x＝2时，y＝0，所以0＋2＝ ，解得k＝4.
所以y＋2＝ ，所以y＝ －2，
即y关于x的函数表达式为y＝ －2.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
8． [2025·淮北月考]若y＋2与x成反比例，且当x＝2时，y＝0.
(2)当y＝－1时，求x的值；
(3)y是x的反比例函数吗？
将y＝－1代入y＝ －2，得－1＝ －2，解得x＝4.
y不是x的反比例函数.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
求表达式：
反比例函数
定义：
表达式的形式：
一般地，表达式形如 的函数，叫做反比例函数.
y
=
k
x
(k为常数，k≠0)
xy
=
k
k
y
=
x﹣1
(k≠0)
y
=
k
x
(k≠0)
(k≠0)
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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