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21.5.2.1 反比例函数的图象与性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.5.2.1 反比例函数的图象与性质
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是反比例函数？其一般表达式是什么？（形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数叫做反比例函数）
问题 2：反比例函数的表达式还有哪些形式？（\(xy = k\)、\(y = kx^{-1}\)，其中\(k\)为常数，\(k≠0\)）
问题 3：已知\(y\)是\(x\)的反比例函数，当\(x = 2\)时，\(y = 6\)，求该反比例函数的表达式。（\(y=\frac{12}{x}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：会用描点法画出反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的形状、位置特点，理解并掌握反比例函数的性质（增减性、所在象限等）。
能力目标：通过动手画图、观察分析图象，培养动手操作能力和数形结合的思维能力，提高分析和归纳总结能力。
情感目标：在探究反比例函数图象与性质的过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，激发对数学探究的兴趣，增强学习信心。
第 4 页：情境引入
提问：我们已经学习了一次函数和二次函数的图象与性质，一次函数的图象是直线，二次函数的图象是抛物线，那么反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象会是什么形状呢？它又有哪些独特的性质呢？今天我们就一起来探究。
第 5 页：新知探究 1—— 绘制反比例函数图象
例 1：画出反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象。
步骤解析：
确定自变量取值范围：\(x≠0\)，选取\(x\)的一些值（正负都要取），计算对应的\(y\)值，列表如下：
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \(y\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
描点：在平面直角坐标系中，根据表中的坐标描出对应的点。
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，注意图象不与坐标轴相交。
展示图象：呈现绘制好的\(y=\frac{6}{x}\)的图象，观察其形状。
第 6 页：新知探究 2—— 分析\(y=\frac{6}{x}\)的图象特点
图象形状：反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象是由两条曲线组成的，这样的曲线叫做双曲线。
所在象限：因为\(k = 6＞0\)，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限。
与坐标轴的关系：图象无限接近\(x\)轴和\(y\)轴，但永远不会与坐标轴相交（因为\(x≠0\)，\(y≠0\)）。
第 7 页：新知探究 3—— 绘制并分析\(y=-\frac{6}{x}\)的图象
步骤：按照绘制\(y=\frac{6}{x}\)图象的方法，列表、描点、连线画出\(y=-\frac{6}{x}\)的图象。
图象分析：
图象形状：同样是双曲线。
所在象限：因为\(k=-6＜0\)，所以双曲线的两支分别位于第二、四象限。
与坐标轴的关系：同样无限接近坐标轴，但不相交。
对比总结：\(k\)的符号决定了反比例函数图象所在的象限，\(k＞0\)时在第一、三象限；\(k＜0\)时在第二、四象限。
第 8 页：反比例函数的增减性
探究\(y=\frac{6}{x}\)的增减性：
在第一象限内，当\(x\)增大时，\(y\)的值减小；在第三象限内，当\(x\)增大时，\(y\)的值也减小。
探究\(y=-\frac{6}{x}\)的增减性：
在第二象限内，当\(x\)增大时（即从负数向 0 靠近），\(y\)的值增大；在第四象限内，当\(x\)增大时，\(y\)的值也增大。
性质总结：
当\(k＞0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小；
当\(k＜0\)时，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
强调：反比例函数的增减性是 “在每个象限内”，不能笼统地说 “\(y\)随\(x\)的增大而减小或增大”。
第 9 页：例题讲解 1—— 根据图象性质判断
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2,3)\)。
(1) 求\(k\)的值，并判断该函数图象所在的象限。
(2) 当\(x＞0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而如何变化？
步骤解析：
把点\((2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k = 6\)。
因为\(k = 6＞0\)，所以函数图象位于第一、三象限。
当\(x＞0\)时，在第一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
第 10 页：例题讲解 2—— 比较函数值大小
例 3：已知反比例函数\(y=-\frac{10}{x}\)，比较下列各组中两个函数值的大小。
(1) 当\(x_1 = - 2\)，\(x_2 = - 5\)时，\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
(2) 当\(x_1 = 3\)，\(x_2 = 5\)时，\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
分析过程：
对于 (1)，\(x_1\)和\(x_2\)都为负数，在第二象限，\(k=-10＜0\)，在第二象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。因为\(-2＞-5\)，所以\(y_1＞y_2\)。
对于 (2)，\(x_1\)和\(x_2\)都为正数，在第四象限，\(k=-10＜0\)，在第四象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。因为\(3＜5\)，所以\(y_1＜y_2\)。
第 11 页：课堂练习 1
练习 1：反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)的图象在第______象限，在每个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而______。
练习 2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象位于第二、四象限，则\(k\)的取值范围是______。
第 12 页：课堂练习 2
练习 3：已知反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)，当\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)时，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
练习 4：反比例函数\(y=-\frac{6}{x}\)的图象上有两点\(A(-3,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（ ）
A.\(y_1＞y_2\)
B.\(y_1＜y_2\)
C.\(y_1 = y_2\)
D. 无法确定
第 13 页：易错点提醒
描述反比例函数增减性时，遗漏 “在每个象限内” 这个前提条件，导致表述错误。
比较函数值大小时，没有先判断两点是否在同一个象限，直接根据\(x\)的大小比较\(y\)的大小。
误认为反比例函数的图象是直线，实际上是双曲线，画图时要用平滑曲线连接，且不能与坐标轴相交。
第 14 页：课堂小结
本节课学习了反比例函数的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线。
当\(k＞0\)时，双曲线位于第一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k＜0\)时，双曲线位于第二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。
反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会相交。
第 15 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.5 第 3、4 题。
提高作业：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((-1,2)\)，(1) 求该函数表达式；(2) 判断点\((2,-1)\)是否在该函数图象上；(3) 当\(-2＜x＜-1\)时，求\(y\)的取值范围。
拓展作业：结合今天学习的反比例函数图象与性质，对比一次函数的图象与性质，总结它们的异同点。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.5.2.1反比例函数的图象与性质
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会用描点法作反比例函数的图象.
2.掌握反比例函数的图象和性质，并会应用.
3.通过观察图象分析其性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力.
4.让学生尝试发现反比例函数的图象的特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法.
一次函数的图象
二次函数的图象
回顾
反比例函数的图象
描点法
x … –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 …
y … –1 –1.2 –1.5 –2 –3 –6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
画出反比例函数 的图象.
自变量x≠0
同样方法在此坐标系中画出函数
的图象.
探究反比例函数 的性质.
性质
性质
函数图象分别位于第一、三象限；
探究反比例函数 的性质.
性质
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
函数图象分别位于第一、三象限；
探究反比例函数 的性质.
性质
k > 0
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
函数图象分别位于第一、三象限；
探究反比例函数 的性质.
图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交.
图象是中心对称图形
x … –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 …
y … 1 1.2 1.5 2 3 6 –6 –3 –2 –1.5 –1.2 –1 …
画出反比例函数 的图象.
同样方法在此坐标系中画出函数
的图象.
性质
探究反比例函数 的性质.
探究反比例函数 的性质.
性质
函数图象分别位于第二、四象限；
探究反比例函数 的性质
性质
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
函数图象分别位于第二、四象限；
探究反比例函数 的性质.
性质
k < 0
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
函数图象分别位于第二、四象限；
图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交.
图象是中心对称图形
观察并对比函数 与 的图象，你能就k＞0，和k＜0
两种情况，分别总结反比例函数 (k为常数，且k≠0)的性质吗？
反比例函数
双曲线
k < 0 函数图象分别位于二、四象限；
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
归纳
图象是中心对称图形
典型例题
例1 如图所示的图象对应的函数解析式为( )
A.
B.
C.
D.
D
双曲线
k<0
典型例题
例2 若双曲线 的图象的一支位于第三象限，
则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
典型例题
例2 若双曲线 的图象的一支位于第三象限，
则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
典型例题
例2 若双曲线 的图象的一支位于第三象限，
则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
B
知识点1 反比例函数的图象
1． 反比例函数y＝的图象大致是(　　)
A
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1
2． [2025年1月太原期末]关于反比例函数y＝－的图象，下
列说法正确的是(　　)
A． 经过点(1，4)
B． 是轴对称图形，对称轴是y轴
C． 位于第一、三象限
D． 是中心对称图形，对称中心是原点
D
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1
3． 反比例函数y＝(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是
(　　)
A． 5
B． 12
C． －5
D． －12
C
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1
4． [2025·滁州天长月考]反比例函数y＝(k＜0)图象的两
个分支分别位于第________象限．
【变式题】已知反比例函数y＝的图象位于第二、四象
限，则k的取值范围为________．
一、三
k＜1
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1
5． 请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝和y＝－
的图象．
观察图象，回答下列问题：
(1)反比例函数的图象的形状是________；
(2)有下列说法：①反比例函数的图象与坐标轴没有交点；②反比例函数的图象经过原点．其中正确的是________．(填
序号)
双曲线
①
解：画函数图象如图．
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知识点2 反比例函数的性质
6． [2025·厦门双十中学月考]对于反比例函数y＝，下列说法
正确的是(　　)
A． 它的图象分布在第二、四象限
B． 点(－1，4)在它的图象上
C． 当x>0时，y随x的增大而减小
D． 当x<0时，y随x的增大而增大
C
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7． 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函数y＝的图象
上，当x1>x2>0时，y1____y2.(填“>”“<”或“＝”)
8. [创新题·开放题]已知反比例函数y＝的图象在每一个象
限内y随x的增大而减小，则k的值可能是______________(写一个即可)．
9． 已知反比例函数y＝的图象与直线y＝－x交于点
(a，5)，则a＝________，k＝________，另一个交点坐标为
________．
>
0(答案不唯一)
－3
－7
(3，－5)
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10． 已知点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，C(x3，y3)均在反比例函
数y＝－的图象上，且x1<0A． y1>y2>y3 B． y1>y3>y2
C． y2>y1>y3 D． y3>y1>y2
B
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1
11． [2024·芜湖期中]反比例函数y＝与一次函数y＝－kx－
1(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
D
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12． 已知函数y1＝，y2＝－(k＞0)，当1≤x≤3时，函数y1的
最大值为a，函数y2的最小值为a－4，则k＝________.
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13． [2024·淮北模拟]如图，直线y1＝mx与双曲线y2＝交于点A，B，过点A作AP⊥x轴，垂足点P的坐标是(－2，0)，连接BP，且S△ABP＝4.
(1)求正比例函数y1＝mx和反比例函数y2＝的表达式；
解：(1)过点B作BD⊥AP于点D，交y轴于点E，因为点P的坐标为(－2，0)，
所以OP＝2，根据题意，得点A，B关于原点对称，易知BE＝DE＝OP＝2，
所以BD＝4.因为S△ABP＝4，所以 AP·4＝4，所以AP＝2，
所以点A的坐标为(－2，－2)，将(－2，－2)代入y1＝mx，
得m＝1，所以正比例函数的表达式为y1＝x.
将(－2，－2)代入y2＝ ，得k＝4，
所以反比例函数y2＝ 的表达式为y2＝ .
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(2)当y1由(1)可知点B的坐标为(2，2)，
点A的坐标为(－2，－2)，
由图象可知，
当x<－2或02
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1
反比例函数的图象和性质
图象：
性质：
k < 0 函数图象分别位于二、四象限；
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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