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21.5.2.2 反比例函数的图象与性质的应用教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：21.5.2.2 反比例函数的图象与性质的应用
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象是什么形状？（双曲线）
问题 2：当\(k＞0\)和\(k＜0\)时，反比例函数的图象分别在哪些象限？其增减性如何？（\(k＞0\)时，图象在第一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小；\(k＜0\)时，图象在第二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大）
问题 3：已知反比例函数图象经过点\((3,4)\)，该函数的表达式是什么？（\(y=\frac{12}{x}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：能利用反比例函数的图象与性质解决求函数表达式、判断点是否在函数图象上、根据函数值范围求自变量范围等问题，能运用反比例函数解决实际生活中的问题。
能力目标：提高运用反比例函数图象与性质分析和解决问题的能力，增强数形结合思想和数学建模思想的应用能力。
情感目标：通过解决实际问题，感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，激发学习数学的热情。
第 4 页：情境引入
展示问题：某商场出售一批商品，已知该商品的单价\(y\)（元）与销售量\(x\)（件）成反比例关系，且当销售量为 50 件时，单价为 20 元。如何根据反比例函数的图象与性质求出单价与销售量的函数关系？当销售量为 100 件时，单价是多少？
引导思考：这是反比例函数在实际销售中的应用，我们可以利用反比例函数的图象与性质来解决这类问题。
第 5 页：新知探究 1—— 利用图象与性质求函数表达式
例 1：如图是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1) 图象的这支位于哪个象限？\(k\)的取值范围是什么？
(2) 若图象经过点\((2,3)\)，求这个反比例函数的表达式。
步骤解析：
观察图象可知，这支图象位于第一象限，所以\(k＞0\)。
把点\((2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k = 6\)，所以函数表达式为\(y=\frac{6}{x}\)。
第 6 页：新知探究 2—— 判断点是否在函数图象上
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)，判断下列点是否在该函数的图象上：
(1) \((2,4)\)
(2) \((-4,-2)\)
(3) \((1,7)\)
方法解析：
判断一个点是否在反比例函数图象上，只需将点的坐标代入函数表达式，看等式是否成立，或利用\(xy = k\)，看横纵坐标的乘积是否等于\(k\)。
分析过程：
对于点\((2,4)\)，\(2×4 = 8 = k\)，所以该点在函数图象上。
对于点\((-4,-2)\)，\((-4)×(-2)=8 = k\)，所以该点在函数图象上。
对于点\((1,7)\)，\(1×7 = 7≠8\)，所以该点不在函数图象上。
第 7 页：新知探究 3—— 根据函数值范围求自变量范围
例 3：已知反比例函数\(y=-\frac{12}{x}\)，当\(-6＜y＜-3\)时，求自变量\(x\)的取值范围。
步骤解析：
因为\(k=-12＜0\)，所以函数图象位于第二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。
当\(y=-6\)时，\(-6=-\frac{12}{x}\)，解得\(x = 2\)；当\(y=-3\)时，\(-3=-\frac{12}{x}\)，解得\(x = 4\)。
结合图象可知，当\(-6＜y＜-3\)时，\(x\)的取值范围是\(2＜x＜4\)。
第 8 页：例题讲解 —— 反比例函数在实际中的应用
例 4：某蓄水池的容积为 100 立方米，向该蓄水池注水，注满水所需时间\(t\)（小时）与注水速度\(v\)（立方米 / 小时）成反比例关系。
(1) 求\(t\)与\(v\)的函数表达式。
(2) 若注水速度为 8 立方米 / 小时，注满蓄水池需要多长时间？
(3) 若要在 5 小时内注满蓄水池，注水速度至少为多少？
步骤解析：
由题意知\(t\)与\(v\)成反比例，设\(t=\frac{k}{v}\)，因为蓄水池容积为 100 立方米，所以\(k = 100\)，函数表达式为\(t=\frac{100}{v}\)。
当\(v = 8\)时，\(t=\frac{100}{8}=12.5\)（小时）。
当\(t = 5\)时，\(5=\frac{100}{v}\)，解得\(v = 20\)（立方米 / 小时），所以注水速度至少为 20 立方米 / 小时。
第 9 页：方法总结
利用反比例函数图象与性质解决问题的常用方法：
求函数表达式：根据图象上的点的坐标或实际问题中的数量关系，代入\(y=\frac{k}{x}\)求出\(k\)的值。
判断点是否在图象上：验证点的横纵坐标的乘积是否等于\(k\)。
求变量范围：结合函数图象的增减性和关键点的坐标，确定自变量或函数值的取值范围。
解决实际问题：先根据题意建立反比例函数模型，再利用函数性质求解。
第 10 页：课堂练习 1
练习 1：如图是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象的一支，经过点\((1,5)\)，则\(k = \)______，图象的另一支在第______象限。
练习 2：已知反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)，下列点在该函数图象上的是（ ）
A.\((1,5)\)
B.\((2,3)\)
C.\((3,3)\)
D.\((-2,3)\)
第 11 页：课堂练习 2
练习 3：已知反比例函数\(y=\frac{10}{x}\)，当\(x＞2\)时，求\(y\)的取值范围。
练习 4：某工厂加工一批零件，工作效率\(p\)（个 / 小时）与工作时间\(t\)（小时）成反比例，当工作效率为 50 个 / 小时时，工作时间为 12 小时。(1) 求\(p\)与\(t\)的函数表达式；(2) 当工作时间为 10 小时时，工作效率是多少？
第 12 页：易错点提醒
在根据函数值范围求自变量范围时，没有结合函数图象的象限和增减性，导致范围判断错误。
解决实际问题时，忽略变量的实际意义，如自变量的取值应为正数等。
代入点的坐标求\(k\)值时计算错误，或判断点是否在图象上时乘积计算错误。
第 13 页：课堂小结
本节课学习了反比例函数图象与性质的应用，包括求函数表达式、判断点是否在图象上、求变量范围以及解决实际问题。
关键是熟练掌握反比例函数的图象特点和性质，灵活运用数形结合思想和数学建模思想。
解决问题时要注意结合实际情况，确保结果的合理性。
第 14 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 21.5 第 5、6 题。
提高作业：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((3,-4)\)，(1) 求该函数表达式；(2) 当\(x＜-2\)时，求\(y\)的取值范围；(3) 若点\((a,2)\)在该函数图象上，求\(a\)的值。
拓展作业：调查生活中一个反比例函数的应用实例，记录相关数据，用反比例函数的图象与性质进行分析，并撰写一份简短的报告。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.5.2.2反比例函数的图象与性质的应用
第21章 二次函数与反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质；
2.灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题；
3.领会反比例函数的解析式与图象的联系，体会数形结合与转化的思想方法；
4.体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，激发学习兴趣.
k < 0 函数图象分别位于二、四象限；
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
反比例函数
双曲线
回顾
下列反比例函数：
(1)图象位于第一、三象限的是 ；
(2)图象位于第二、四象限的是 .
④
①
②
③
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
k < 0 函数图象分别位于二、四象限.
①
②
③
④
④
①
②
③
(3)若0(4)若x1y2的函数是 ；
④
①
②
③
④
①
②
③
k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小；
k < 0 在每一个象限内，y随x的增大而增大.
①
③
②
④
下列反比例函数：
(3)若0(4)若x1y2的函数是 ；
④
①
②
③
④
①
②
③
①
③
②
④
下列反比例函数：
(3)若0(4)若x1y2的函数是 ；
④
①
②
③
④
①
②
③
①
③
②
④
下列反比例函数：
例1 已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象位于第几象限？y随x的增大如何变化？
y随x的变化情况与哪个量有关？
图象的位置由哪个量确定？
点在图象上意味着什么？
如何求这个量？
点A的坐标满足函数解析式
待定系数法
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
k < 0 函数图象分别位于二、四象限.
k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小；
k < 0 在每一个象限内，y随x的增大而增大.
例1.已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象位于第几象限？y随x的增大如何变化？
解：
设反比例函数的解析式为 ；
∵反比例函数的图象经过点A(2,6)；
∴
，解得 ；
∴函数的图象分别位于第一、三象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小.
解：
由(1)知反比例函数的解析式为 ；
分别将点B(3,4)， ，D(2,5)代入；
当 时，
，所以点B在反比例函数的图象上；
当 时，
，所以点C在反比例函数的图象上；
当 时，
，所以点D不在反比例函数的图象上.
例1.已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(2)点B(3,4)， ，D(2,5)是否在这个函数的图象上？
例2.如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
k > 0 函数图象分别位于一、三象限.
图象的另一支位于第三象限
例2.如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
解:(1)∵这个函数的图象的一支位于第一象限
∴另一支必位于第三象限
∵这个函数的图象位于第一、三象限
∴ ，即
例2.如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小.
x1
x2
y1
y2
A
B
y1k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小.
x1
x2
y1
y2
A
B
y1例2.如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
例2.如图，它是反比例函数 图象的一支，
根据图象，回答下列问题：
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
解：(2)∵
∴在这个函数图象的任一支上，
y随x的增大而减小
∴当 x1>x2时，y1例3 已知反比例函数 .
(1)如果这个函数图象经过点(–3，5)，求k的值；
(2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围.
解：(1)因为函数图象经过点(–3，5)，代入函数的表达式，得
解这个方程，得k= –7.
(2)根据题意，有2k–1＞0.
解这个不等式，得
方法归纳
k > 0 函数图象分别位于一、三象限；
在每一个象限内，y随x的增大而减小.
k < 0 函数图象分别位于二、四象限；
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
数形结合
反比例函数中k的几何意义：过双曲线y＝(k≠0)上的任意
一点向两坐标轴分别作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等
于________，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，
这两个直角三角形的面积都等于__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　
|k|
知识点1 反比例函数的比例系数k的几何意义
1． [知识初练]如图，矩形OABC的顶点B及△DOE的顶点D在
反比例函数y＝(x>0)的图象上．若S矩形OABC＝6，则k＝
________，S△DOE＝________．
6
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1
3
2． 下列各图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影部分的
面积为1.5的是(　　)
B
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10
1
3． [2025·合肥校级模拟]如图，等腰直角三角形AOB的斜边
OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y＝(x＜0)的图象
上，△AOB的面积为8，则k的值为________．
－8
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10
1
4． 如图，A是反比例函数y＝(x<0)图象上一点，过点A作
AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，四边形
ABCD的面积为4，则 k＝________.
－4
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1
知识点2 反比例函数的应用
5． [2024·六安期中]验光师通过检测发现近视眼镜的度数
y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所
示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125
米调整到0.4米，则近视眼镜的
度数减少了________度．
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1
6. [跨学科·物理]杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆
平衡，作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须
相等，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，已知石头的
重力(阻力)为3 200 N，阻力臂为0.25 m.
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式；
解：依题意，得3 200×0.25＝F·l.所以F＝
答：动力F与动力臂l的函数关系式为F＝
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1
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500
N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短
为多少？
当F＝500时，500＝ ，解得l＝1.6.
因为小华最多能使出500 N的力，所以l≥1.6.
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为1.6 m.
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7． [2025·合肥第三十八中月考]如图所示，学校举行数学文
化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成
绩的优秀率y(班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率)与
该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情
况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数
最多的是________班．
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8. [材改编题 2024·合肥期中]如图，在平面直角坐标系中，A
是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交函数y＝(x＞0，
k≠0)，y＝－(x＜0)的图象于B，C两点，若△ABC的面积是
3，则k的值为________．
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1
9. [跨学科·物理 2025年1月芜湖期末]如图，某人对地面的压强p(单位：N/m2)与这个人和地面接触面积S(单位：m2)满足反比例函数关系．
(1)图象上点A的坐标为(10，80)，求函数表达式；
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1
解：(1)由题可设p＝ (k≠0)，
因为点A(10，80)在函数p＝ 的图象上，
所以80＝ ，解得k＝800.
所以函数表达式为p＝ .
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400 cm2，
那么此人双脚站立时对地面的压强为________N/m2；
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(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为320 N/m2，那么此人
应站在面积至少多大的木板上才不至于下陷(木板的质量忽
略不计)
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1
将p＝320代入函数表达式，
得S＝ ＝2.5.
答：此人应站在面积至少为2.5 m2的木板上才不至于下陷．
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质：
反比例函数的图象和性质：
过反比例函数 (k≠0)图象上一点作坐标轴的垂线，则该点、垂足与坐标轴上任意一点构成的三角形面积等于
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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