资源简介

(共31张PPT)
22.1.3 比例的性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.1.3 比例的性质
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是成比例线段？（在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。）
问题 2：比例的基本性质是什么？（如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(ad = bc\)；反之，如果\(ad = bc\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)。）
问题 3：若\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，则\(3x = \)，若\(4a = 5b\)（\(a\)、\(b\)均不为 0），则\(\frac{a}{b} = \)。（\(2y\)；\(\frac{5}{4}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握比例的合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质，能熟练运用这些性质进行比例的变形和计算。
能力目标：通过推导比例的各种性质，培养逻辑推理能力和数学运算能力，提高运用比例性质解决复杂问题的能力。
情感目标：体会数学知识的系统性和严谨性，感受比例性质在数学中的重要作用，激发对数学探究的兴趣。
第 4 页：情境引入
提出问题：我们已经学习了比例的基本性质，若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，那么\(\frac{a + b}{b}\)与\(\frac{c + d}{d}\)之间有什么关系？\(\frac{a - b}{b}\)与\(\frac{c - d}{d}\)呢？当多个比例相等时，如\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k\)，那么\(\frac{a + c + e}{b + d + f}\)与\(k\)又有什么关系？通过这些问题引出对比例其他性质的探究。
第 5 页：合比性质
性质内容：如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\)。
推导过程：
因为\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，在等式两边同时加 1，可得\(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\)，即\(\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}\)，所以\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\)。
实例应用：已知\(\frac{x}{y}=\frac{3}{5}\)，求\(\frac{x + y}{y}\)的值。根据合比性质，\(\frac{x + y}{y}=\frac{3 + 5}{5}=\frac{8}{5}\)。
第 6 页：分比性质
性质内容：如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\)。
推导过程：
因为\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)，在等式两边同时减 1，可得\(\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1\)，即\(\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}\)，所以\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\)。
实例应用：已知\(\frac{m}{n}=\frac{4}{7}\)，求\(\frac{m - n}{n}\)的值。根据分比性质，\(\frac{m - n}{n}=\frac{4 - 7}{7}=-\frac{3}{7}\)。
第 7 页：合分比性质
性质内容：如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\)、\(d\)、\(a + b\)、\(c + d\)均不为 0），那么\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}\)。
推导过程：
由合比性质得\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\)，由分比性质得\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\)，将这两个等式相除，即\(\frac{\frac{a + b}{b}}{\frac{a - b}{b}}=\frac{\frac{c + d}{d}}{\frac{c - d}{d}}\)，化简可得\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}\)。
实例应用：已知\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{x + y}{x - y}\)的值。根据合分比性质，\(\frac{x + y}{x - y}=\frac{2 + 3}{2 - 3}=-5\)。
第 8 页：等比性质
性质内容：如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}\)（\(b\)、\(d\)、\(\cdots\)、\(n\)均不为 0，且\(b + d + \cdots + n≠0\)），那么\(\frac{a + c + \cdots + m}{b + d + \cdots + n}=\frac{a}{b}\)。
推导过程：
设\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}=k\)，则\(a = bk\)，\(c = dk\)，\(\cdots\)，\(m = nk\)。所以\(\frac{a + c + \cdots + m}{b + d + \cdots + n}=\frac{bk + dk + \cdots + nk}{b + d + \cdots + n}=\frac{k(b + d + \cdots + n)}{b + d + \cdots + n}=k=\frac{a}{b}\)。
实例应用：已知\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\)，且\(a + b + c = 18\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。设\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k\)，则\(a = 2k\)，\(b = 3k\)，\(c = 4k\)，由\(2k + 3k + 4k = 18\)得\(9k = 18\)，\(k = 2\)，所以\(a = 4\)，\(b = 6\)，\(c = 8\)。
第 9 页：例题讲解 1—— 合比与分比性质应用
例 1：已知\(\frac{a}{b}=\frac{5}{3}\)，求\(\frac{a + b}{a}\)和\(\frac{a - b}{a + b}\)的值。
步骤解析：
求\(\frac{a + b}{a}\)：由\(\frac{a}{b}=\frac{5}{3}\)可得\(\frac{b}{a}=\frac{3}{5}\)，根据合比性质的变形\(\frac{a + b}{a}=1+\frac{b}{a}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\)。
求\(\frac{a - b}{a + b}\)：根据合分比性质，\(\frac{a - b}{a + b}=\frac{5 - 3}{5 + 3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)。
第 10 页：例题讲解 2—— 等比性质应用
例 2：已知\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)，求\(\frac{x + y + z}{x - y + z}\)的值。
步骤解析：
设\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\)，则\(x = 2k\)，\(y = 3k\)，\(z = 4k\)。
代入可得\(\frac{x + y + z}{x - y + z}=\frac{2k + 3k + 4k}{2k - 3k + 4k}=\frac{9k}{3k}=3\)。
第 11 页：方法总结
合比性质适用于需要将比例式中分子与分母相加的情况，可直接利用\(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}\)进行变形。
分比性质则用于分子与分母相减的情况，即\(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}\)。
合分比性质是合比与分比性质的综合，当需要同时用到分子分母相加和相减时使用，\(\frac{a + b}{a - b}=\frac{c + d}{c - d}\)。
等比性质在多个比例相等时使用，注意分母之和不能为 0，设比例系数\(k\)是解决此类问题的常用方法。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：已知\(\frac{a}{b}=\frac{2}{5}\)，则\(\frac{a + b}{b} = \)，\(\frac{a - b}{b} = \)。
练习 2：若\(\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\)，则\(\frac{x + y}{x - y} = \)______。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：已知\(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\)，且\(2a + b - c = 6\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
练习 4：若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}\)，且\(b + d + f = 10\)，则\(a + c + e = \)______。
第 14 页：易错点提醒
运用等比性质时，忽略分母之和不为 0 的条件，导致在分母之和为 0 的情况下错误应用性质。
对合比、分比性质的变形不熟悉，不能灵活将比例式进行转化，如求\(\frac{a + b}{a}\)时，不知道转化为\(1+\frac{b}{a}\)。
在设比例系数\(k\)时，忘记\(k\)的取值限制，或在计算过程中出现符号错误。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了比例的合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质，掌握了它们的推导过程和应用方法。
合比性质和分比性质分别用于分子分母相加和相减的比例变形，合分比性质是两者的综合应用。
等比性质在多个比例相等时发挥作用，设比例系数\(k\)是解决相关问题的有效手段。这些性质拓展了比例的应用范围，为后续学习奠定基础。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.1 第 5、6 题。
提高作业：已知\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2\)，且\(b + d + f≠0\)，求\(\frac{a - 2b}{b}+\frac{c - 2d}{d}+\frac{e - 2f}{f}\)的值。
拓展作业：探究比例性质在相似三角形中的应用，预习下一节课内容。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.3比例的性质
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．了解比例的基本性质、合比性质、等比性质；
2 ．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并能解决有关问题，培养学生的灵活运用能力；
3 ．知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；
4 ．在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系．
在地图或工程纸上，都标有比例尺，现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示．
3 cm
4 cm
5 cm
A
B
C
1∶5000
比例尺=图上长度∶实际长度
你能算出这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长吗？
如果四个数a，b， c，d成比例，即 (bd≠0)，
那么 成立吗？
等式两边同时乘以bd
等式两边同时除以bd
反过来也成立吗？
归纳
比例的基本性质
如果 ，那么 (bd≠0)．
如果　 ，那么 (bd≠0)．
反之也成立，即
由 还可得到哪些比例式？
思考
两边同时除以cd
两边同时除以ab
两边同时除以ac
等式的性质
(a，b， c，d ≠0)
探究
如果 ，利用等式的性质还可以得到其它比例的性质吗？
等式两边同时加上1
归纳
合比性质
如果在等式 两边同时减去1，又得到什么呢？
如果 ，那么 (bd≠0)．
等式两边同时减去1
分比性质
探究
如果 ，且 ，
那么 成立吗？
设 ，得
代入等式左边，
则
设k法
归纳
等比性质
如果 ，且 ，
那么 ．
注意成立的条件
现在你能解决前面提出的问题吗？
在地图或工程纸上，都标有比例尺，现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示．这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少？
3 cm
4 cm
5 cm
A
B
C
解：根据题意，得
即
等比性质
又∵
∴
答：实际△A'B'C'的周长是600 m.
典型例题
【例1】已知：如图，在△ABC中， .　
求证：(1) ；(2) .
D
A
B
C
E
提示
利用合比性质证明即可.
典型例题
【例1】已知：如图，在△ABC中， .　
求证：(1) ；(2) .
D
A
B
C
E
证明：(1) ∵ ，
∴ .
∴ .
上
下
上
下
上比下等于上比下
全比下等于全比下
典型例题
【例1】已知：如图，在△ABC中， .　
求证：(1) ；(2) .
D
A
B
C
E
证明：(2) ∵ ，
∴ .
∴ .
上
下
上
下
上比全等于上比全
∴ ，
∴ .
典型例题
【例2】如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB．求线段AP的长和 的值． 　
解： 设AP=x，那么PB=a x．根据题意，得
a∶x=x∶(a x)，
即 x2+ax a2=0. 解方程，得 .
A
P
B
因为线段长度不能为负值，所以取 ，
即 .
于是 .
A
P
B
归纳
AB∶AP=AP∶PB
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数．
黄金分割点
1星题 基础练
知识点1 比例的基本性质
1.若，则 的值为( )
C
A. B. C.15 D.
2.［2025年1月六安期末］已知 ，那么下列比例
式成立的是( )
B
A. B. C. D.
知识点2 比例的合比性质
3.［2024·安庆期中］若，则 ( )
C
A. B. C. D.
4.若，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
5.若 ，则下列等式不成立的是( )
C
A. B.
C. D.
知识点3 比例的等比性质
6.已知，则 ( )
C
A. B. C. D.
7.若，且，则 ___.
6
知识点4 比例尺
8.［2025·淮北月考］地图上淮北到合肥的距离约为 .
比例尺是 ，那么淮北到合肥的实际距离约为
( )
C
A. B. C. D.
9.一个零件的直径是,在比例尺是 的图纸上这个零
件的直径是___ .
4
知识点5 黄金分割
10.［知识初练］是线段的黄金分割点，且 ，
则有_____ _______(黄金数).
(第11题)
11.［2025·西安模拟］如图，东方明珠电视塔
高，如果把塔身看作一条线段 ，上
球体看作点，点是线段 的黄金分割点
，则的长约为_______
精确到 .
(第12题)
12.［2025年1月佛山期末］大自然是美的设计
师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金
分割”的美. 如图，为 的黄金分割点
.如果的长度为，那么
的长度为__________ (结果保留根号).
2
比例的性质
比例的性质：
黄金分割：
基本性质
合比性质
等比性质
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑