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22.1.4 平行线分线段成比例教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.1.4 平行线分线段成比例
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是成比例线段？（在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。）
问题 2：比例的基本性质是什么？（如果\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(ad = bc\)；反之，如果\(ad = bc\)（\(b\)、\(d\)均不为 0），那么\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)。）
问题 3：若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\)，且\(b + d + f≠0\)，则\(\frac{a + c + e}{b + d + f} = \)______。（\(\frac{a}{b}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，能运用该基本事实和推论解决线段成比例的问题。
能力目标：通过观察、测量、推理等过程，培养观察能力、动手操作能力和逻辑推理能力，提高运用比例知识解决几何问题的能力。
情感目标：感受数学知识的客观性和严谨性，体会平行线与比例线段之间的内在联系，激发对几何学习的兴趣。
第 4 页：情境引入
展示图形：一组平行线\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，被两条直线\(a\)、\(b\)所截，交点分别为\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)。
提出问题：测量线段\(AB\)、\(BC\)、\(DE\)、\(EF\)的长度，计算\(\frac{AB}{BC}\)和\(\frac{DE}{EF}\)的值，你发现了什么？改变平行线的位置或直线\(a\)、\(b\)的夹角，重新测量计算，规律是否仍然成立？通过实际操作引出平行线分线段成比例的猜想。
第 5 页：平行线分线段成比例基本事实
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号表示：如图，若\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，直线\(a\)、\(b\)分别与\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，则\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，\(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}\)，\(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\)等。
强调：“对应线段” 指的是被平行线截得的线段，要根据平行线的顺序准确识别对应关系，避免混淆。
第 6 页：基本事实的应用实例
例 1：如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，直线\(a\)交\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)于点\(A\)、\(B\)、\(C\)，且\(AB = 2\)，\(BC = 3\)；直线\(b\)交\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，且\(DE = 4\)，求\(EF\)的长度。
步骤解析：
根据平行线分线段成比例基本事实，可得\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)。
代入已知数据，\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EF}\)，解得\(EF = 6\)。
第 7 页：推论 —— 平行于三角形一边的直线截其他两边
推论内容：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
图形表示：如图，在\(\triangle ABC\)中，若\(DE\parallel BC\)，则\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，\(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\)。
推导过程：过点\(A\)作直线\(l\parallel DE\)，则\(l\parallel DE\parallel BC\)，根据平行线分线段成比例基本事实可推出结论。
第 8 页：推论的应用实例
例 2：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD = 3\)，\(DB = 2\)，\(AE = 4\)，求\(EC\)的长度。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，根据推论可得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)。
代入已知数据，\(\frac{3}{2}=\frac{4}{EC}\)，解得\(EC=\frac{8}{3}\)。
第 9 页：例题讲解 1—— 基本事实综合应用
例 3：如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，直线\(m\)、\(n\)分别交\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)于点\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，已知\(\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}\)，\(DF = 15\)，求\(DE\)和\(EF\)的长度。
步骤解析：
由平行线分线段成比例基本事实，\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}\)。
设\(DE = 2k\)，\(EF = 3k\)，则\(DF = DE + EF = 2k + 3k = 5k = 15\)，解得\(k = 3\)。
所以\(DE = 2×3 = 6\)，\(EF = 3×3 = 9\)。
第 10 页：例题讲解 2—— 推论综合应用
例 4：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD = 2\)，\(AB = 5\)，\(AE = 3\)，求\(AC\)的长度。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，根据推论可得\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。
代入已知数据，\(\frac{2}{5}=\frac{3}{AC}\)，解得\(AC=\frac{15}{2}=7.5\)。
第 11 页：方法总结
运用平行线分线段成比例基本事实时，要先确定被平行线所截的两条直线和截得的对应线段，再根据比例关系列等式。
对于平行于三角形一边的直线截其他两边的情况，要准确识别 “对应线段”，即截得的线段与原三角形的边对应成比例。
解决问题时，可通过设未知数，利用比例关系建立方程求解，注意比例式的变形和计算准确性。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，\(DE = 3\)，则\(EF = \)______。
练习 2：在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD = 5\)，\(DB = 3\)，\(AE = 4\)，则\(EC = \)______。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，\(\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\)，\(EF = 8\)，则\(DE = \)，\(DF = \)。
练习 4：在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD:DB = 2:3\)，\(AC = 10\)，则\(AE = \)，\(EC = \)。
第 14 页：易错点提醒
识别对应线段时出现错误，将不对应的线段列为比例式，导致计算结果错误。
忽略基本事实和推论的前提条件，即 “一组平行线”，在非平行线截线段的情况下错误应用结论。
在三角形中，平行于一边的直线截两边的延长线时，不能正确识别对应线段，影响比例式的建立。
第 15 页：课堂小结
本节课学行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例。
掌握了其推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。
学会了运用这些知识解决线段成比例的问题，关键是准确识别对应线段，建立正确的比例关系。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.1 第 7、8 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(EF\parallel AB\)，\(AD = 2\)，\(DB = 3\)，求\(\frac{BF}{FC}\)的值。
拓展作业：探究平行线分线段成比例与相似三角形的关系，为下一节课学习做准备。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.4平行线分线段成比例
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；
2. 会灵活运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决有关问题；
3. 经历探索基本事实及其推论的活动过程，培养识图能力和推理论证能力；
4. 发展学生的探索、归纳意识并养成合作交流的习惯．
A
B
C
D
E
F
如图所示，已知l3∥l4∥l5，AB＝BC，DE与EF有什么关系呢？
DE=EF
知道用什么定理推导出来的吗？
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
复习回顾
如图，有一组平行直线：l1∥l2∥l3∥… lk∥… ln 1∥ln，另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组直线分别截于点A1，A2，A3，…，Ak，…，An 1 ，An和点B1，B2，B3，…， Bk，…，Bn 1 ，Bn．根据已学定理，可以得到：如果A1A2＝A2A3＝…＝An 1An，那么B1B2＝B2B3＝…＝Bn 1Bn．
你能推出　　　与　　 的关系吗？
ln
l1
l2
l3
lk
ln 1
A1
A2
A3
Ak
An 1
An
B1
B2
B3
Bk
Bn 1
Bn
ln
l1
l2
l3
lk
ln 1
A1
A2
A3
Ak
An 1
An
B1
B2
B3
Bk
Bn 1
Bn
设A1A2＝A2A3＝…＝An 1An＝a ，B1B2＝B2B3＝…＝Bn 1Bn＝b，容易推得：
所以有
平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
A
B
C
D
E
F
例：如右图所示：
l3∥l4∥l5
则有
还能得到哪些对应线段成比例？
…
∵l3∥l4∥l5
根据比例的性质，上述比例式也可写成：
技巧总结：在基本事实中，只要有一个比例式成立，剩余的比例式都成立．上图中一共有3组对应线段，任意两组对应线段均成比例．
A
B
C
D
E
F
如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC(或它们的延长线)于点D，E．根据上面的基本事实，可得到哪些比例式？
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
M
N
M
N
如图，过点A作直线MN，使MN//DE.
∵DE//BC,
∴MN//DE//BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截.
如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC(或它们的延长线)于点D，E．根据上面的基本事实，可得到哪些比例式？
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
M
N
M
N
则由平行线分线段成比例可知
由比例的性质还可得 等.
注意：
归纳
平行线分线段成比例的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
常见基本图形
∴
∵ DE∥BC，
…
典型例题
l
3
l
2
l
1
C
E
D
F
B
A
【例1】如图， l1 //l2 //l3，AB=3，BC=5，DF=12，求 DE 和 EF 的长 ．
解：∵ l1 //l2 //l3，
∴
∵ AB=3，BC=5，
∴ ．
设 DE=3k，EF=5k．
∵DE+EF=DF=12，
∴3k+5k=12． ∴k=1.5．
∴DE=3k=4.5，EF=5k=7.5．
3
5
3k
5k
分析：满足平行线分线段成比例的基本事实，列比例式计算即可.
解：∵DE∥BC，
∴
又 ∵ AD=EC，DB=1 cm，AE=4 cm，
∴
∴ AD=2．
【例2】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1 cm，
AE=4 cm，求AD的长．
分析：根据平行线分线段成比例的推论列比例式计算即可.
∴ AD的长度是2 cm.
知识点1 平行线分线段成比例的基本事实
(第1题)
1.如图，已知直线，若 ，则
的值为( )
C
A. B. C. D.
(第2题)
2.教材改编题如图，直线 ，直线
和被，，所截.若 ，
，，则 的长为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.
(第3题)
3.如图，直线，直线 分别交
，，于点，，，直线 分别交
，，于点，，，与 相交于
点，且，， ，则
的值为__.
4.教材改编题如图，直线, .
若,求, 的长.
解：, .
，,，即 ,
解得, .
知识点2 平行线分线段成比例的推论
(第5题)
5.［2025年1月芜湖期末］如图，在
中，，若， ，
，则 的值为( )
A
A.4 B.6 C.8 D.9
(变式题)
【变式题】 ［2024·六安期中］如图，
在中，， ，
.若，则 的长
为( )
B
A.12 B.10 C.8 D.6
6.［2025·蚌埠月考］如图，与 相交于点
，，.若，则 ____.
16
7.如图,在中， ，
.求证： .
证明： ，
.
，, .
8.真实情境 [2025·淮南月考] 如图，五线谱是由等距离、等
长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点,,
都在横线上.若线段，则线段的长是___ .
6
9.［2025·广州模拟］如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，
已知图中的虚线相互平行，5刻度线与点重合，若点 在数
轴上表示的数是，则点 在数轴上表示的数是___.
4
(第9题)
平行线分线段成比例及其推论
平行线分线段成比例的基本事实：
推论：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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