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22.2.1 相似三角形及平行线截相似三角形教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.2.1 相似三角形及平行线截相似三角形
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是成比例线段？（在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。）
问题 2：平行线分线段成比例的基本事实是什么？（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。）
问题 3：若\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，直线\(a\)、\(b\)分别与\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，且\(AB = 3\)，\(BC = 5\)，\(DE = 6\)，则\(EF = \)______。（\(10\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及相似比；掌握平行线截相似三角形的判定定理，能运用该定理证明三角形相似并解决相关问题。
能力目标：通过观察、猜想、验证等过程，培养逻辑推理能力和数学抽象能力，提高运用相似三角形知识解决实际问题的能力。
情感目标：感受相似三角形与现实生活的紧密联系，体会数学知识的内在美和逻辑性，激发学习数学的兴趣。
第 4 页：情境引入
展示图片：生活中形状相同但大小不同的三角形实例，如不同尺寸的三角板、相似的建筑结构中的三角形部分等。
提出问题：这些三角形在形状上有什么共同特点？它们的角和边之间存在怎样的关系？从生活实例引出相似三角形的概念。
第 5 页：相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
符号表示：若\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)相似，记作\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。例如，若\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)，且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，则\(k\)为\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)的相似比。当\(k = 1\)时，两个三角形全等，所以全等三角形是相似三角形的特殊情况。
第 6 页：相似三角形概念的深化理解
强调：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可。
在书写相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样便于准确找出对应角和对应边。
实例分析：已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，且\(\angle A = 50^{\circ}\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，求\(\angle F\)的度数。因为相似三角形对应角相等，所以\(\angle F=\angle C\)，又因为三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可得\(\angle C = 180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}\)，即\(\angle F = 60^{\circ}\)。
第 7 页：平行线截相似三角形的判定定理
定理内容：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
图形表示：
情况一：在\(\triangle ABC\)中，若\(DE\parallel BC\)，且\(DE\)分别交\(AB\)、\(AC\)于点\(D\)、\(E\)，则\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。
情况二：当直线\(DE\)与\(AB\)、\(AC\)的延长线相交时，同样有\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。
推导过程：
对于情况一，因为\(DE\parallel BC\)，根据平行线的性质，可得\(\angle ADE=\angle ABC\)，\(\angle AED=\angle ACB\)（两直线平行，同位角相等），又因为\(\angle A\)是公共角，所以\(\triangle ADE\)与\(\triangle ABC\)的三个角分别相等；再由平行线分线段成比例定理，有\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)，满足相似三角形的定义，从而\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。
情况二的推导类似，利用平行线的性质和三角形内角和定理证明角相等，结合平行线分线段成比例定理证明边成比例，得出相似结论。
第 8 页：判定定理的应用实例 1
例 1：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD = 4\)，\(DB = 2\)，\(AC = 9\)，求\(AE\)的长度。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，根据上述判定定理，可知\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。
由相似三角形对应边成比例，可得\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。
已知\(AD = 4\)，\(DB = 2\)，则\(AB = AD + DB = 4 + 2 = 6\)，\(AC = 9\)，代入比例式\(\frac{4}{6}=\frac{AE}{9}\)，解得\(AE = 6\)。
第 9 页：判定定理的应用实例 2
例 2：如图，已知\(DE\parallel BC\)，\(EF\parallel AB\)，求证：\(\triangle ADE\sim\triangle EFC\)。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，所以\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
又因为\(EF\parallel AB\)，所以\(\triangle EFC\sim\triangle ABC\)。
根据相似三角形的传递性（若\(\triangle A\sim\triangle B\)，\(\triangle B\sim\triangle C\)，则\(\triangle A\sim\triangle C\)），可得\(\triangle ADE\sim\triangle EFC\)。
第 10 页：例题讲解 1—— 相似三角形与比例计算综合
例 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DG\parallel EH\parallel FI\parallel BC\)，\(AD:DE:EF:FB = 1:2:3:4\)，求\(DG:EH:FI:BC\)的值。
步骤解析：
因为\(DG\parallel EH\parallel FI\parallel BC\)，所以\(\triangle ADG\sim\triangle AEH\sim\triangle AFI\sim\triangle ABC\)。
根据相似三角形对应边成比例，设\(AD = k\)，则\(DE = 2k\)，\(EF = 3k\)，\(FB = 4k\)，那么\(AE = AD + DE = 3k\)，\(AF = AE + EF = 6k\)，\(AB = AF + FB = 10k\)。
所以\(\frac{DG}{EH}=\frac{AD}{AE}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}\)，\(\frac{DG}{FI}=\frac{AD}{AF}=\frac{k}{6k}=\frac{1}{6}\)，\(\frac{DG}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{k}{10k}=\frac{1}{10}\)。
由此可得\(DG:EH:FI:BC = 1:3:6:10\)。
第 11 页：例题讲解 2—— 相似三角形判定与证明
例 4：如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)是\(AB\)延长线上一点，\(DE\)交\(BC\)于点\(F\)，求证：\(\triangle BEF\sim\triangle CDF\)。
步骤解析：
因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AB\parallel CD\)（平行四边形对边平行）。
又因为\(E\)在\(AB\)延长线上，所以\(BE\parallel CD\)。
在\(\triangle BEF\)和\(\triangle CDF\)中，\(\angle EBF=\angle DCF\)（两直线平行，内错角相等），\(\angle BFE=\angle DFC\)（对顶角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得\(\triangle BEF\sim\triangle CDF\)。
第 12 页：方法总结
判定两个三角形相似时，若出现平行线，优先考虑 “平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似” 这一定理。
利用相似三角形的性质求线段长度或比例关系时，关键是准确找出对应边，根据对应边成比例列出等式求解。
证明多个三角形相似时，可通过传递性或多次运用相似三角形的判定定理进行推导。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，若\(AD = 3\)，\(AB = 5\)，\(AC = 4\)，则\(AE = \)______。
练习 2：已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，且相似比为\(2:3\)，若\(\triangle ABC\)的周长为\(10\)，则\(\triangle DEF\)的周长为______。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(EF\parallel BC\)，\(AE:EB = 1:2\)，\(AD = 3\)，\(BC = 9\)，求\(EF\)的长度。
练习 4：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(DF\parallel AC\)，求证：\(\triangle BDF\sim\triangle BAC\)。
第 15 页：易错点提醒
在书写相似三角形时，对应顶点字母顺序错误，导致对应角和对应边找错，影响相似比的计算和性质的应用。
运用平行线截相似三角形判定定理时，忽略 “平行于三角形一边” 这个前提条件，在非平行的情况下错误判定三角形相似。
在根据相似三角形对应边成比例列等式时，对应边的比例关系写错，造成计算错误。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了相似三角形的概念，即对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似，用符号 “\(\sim\)” 表示，相似比为对应边的比值。
掌握了平行线截相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
学会运用相似三角形的知识解决线段长度计算、比例关系推导和三角形相似证明等问题，重点在于准确识别相似三角形和运用对应边成比例的性质。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.2 第 1、2 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)上的点，且\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}\)，若\(\triangle ADE\)的面积为\(4\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
拓展作业：在生活中寻找相似三角形的实际应用案例，并分析其中相似三角形的对应关系和相似比，写一篇简短的报告。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.1相似三角形及平行线截相似三角形
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握相似三角形的概念，能正确找出相似三角形的对应边和对应角；
2.掌握相似三角形判定定理的预备定理，并能运用定理解决简单的有关问题；
3.通过探索相似三角形判定定理的预备定理的过程，培养学生的观察、分析和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法；
4.通过主动探究和合作交流，提高学生的表达能力和逻辑推理能力.
复习回顾
我们已经学过了相似图形、相似多边形，你能说出它们的概念吗？
我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形．
一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．
缩小
放大
你能类比相似多边形的概念说出相似三角形的概念吗？
一般地，如果两个三角形的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个三角形叫做相似三角形．
A
B
C
A'
B'
C'
记作：△ABC∽△A'B'C'
△ABC与△A'B'C'相似
读作：△ABC相似于△A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
△ABC∽△A'B'C'
两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应位置上.
例：写成△ABC∽△ A'B'C'表明对应关系是唯一确定的.
即A与A'，B与B'，C与C'分别对应.
如果仅说“这两个三角形相似”，没有用“∽”表示，则没有说明对应关系.
对于△ABC∽△A'B'C'，根据相似形的定义，应有
∠A= ，∠B= ，∠C= ，
∠A'
∠B'
∠C'
A
B
C
A'
B'
C'
= = .
思考
A
B
C
A'
B'
C'
思考
将△ABC与△A'B'C'的相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC的相似比记为k2，则k1与k2的关系为 .
△ABC与△A'B'C'的相似比是指AB∶A'B'= BC∶B'C'= AC∶A'C'= k1，而△A'B'C'与△ABC的相似比是指A'B'∶AB=B'C'∶BC= A'C'∶AC= k2，∴
当且仅当这两个三角形全等时，才有k1=k2=1．因此，三角形全等是三角形相似的特例．
探究
A
B
C
D
E
如图，△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
分析
两个三角形相似的条件：
①对应角相等，
②对应边长度的比相等.
由平行线的性质可推出
由平行线分线段成比例定理可推出
A
B
C
D
E
过点D作DF∥AC，交BC于点F．
证明：在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A．
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
∵ DE ∥ BC，DF∥AC，
∴ .
∵ 四边形DFCE是平行四边形，
∴ DE=FC，即 .
∴ ．
∴△ADE∽△ABC.
证明
F
相似三角形的定义
思考
上述证明过程的辅助线，还有其他做法吗？
A
B
C
D
E
还有一种辅助线的做法
两直线平行，
同位角相等
∠A＝∠A．
∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C．
添加辅助线
再次借助基本事实
A
B
C
D
E
H
△ADE∽△ABC
证明逻辑顺序：
基本事实
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
E
归纳
相似三角形判定定理的预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
常见基本图形
典型例题
【例】已知：DE∥BC，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，
求DE的长.
A
D
B
E
C
解：
∵ DE ∥ BC
∴ △ADE∽△ABC
∴ 即
∴
知识点1 相似三角形及相关概念
1.［知识初练］如图，已知，则 ____，
_____，______， .
2.［2025·南京模拟］若，相似比为 ，
，则 为___.
6
3.［2025·亳州月考］已知 ，如果
， ，那么 等于( )
C
A. B. C. D.
4.［2025年1月芜湖期末］如图，已知 ，
，那么下列比例式成立的是( )
A
A.
B.
C.
D.
知识点2 利用平行于三角形一边的直线判定三角形相似
(第5题)
5.如图，，若 ，
，，则 的长是
( )
C
A. B.1 C.2 D.3
(第6题)
6.［2025年1月淮北期末］如图，
，则图中相似的三角形有
( )
B
A.0对 B.3对 C.2对 D.1对
7.方程思想如图，为斜靠在墙壁 上的长
梯，梯脚距墙，梯上一点 距墙
，长，则梯长为_____ .
8.［2024·六安期中改编］如图，在
中，点为上一点，点，在边 上，
，，求证： .
证明：， ，
，
，
， ，
， .
(第9题)
9.［2025年1月合肥期末］如图，
中， ， ，
，分别在，上，将
沿折叠，使点落在点处，若
为的中点，则折痕 的长为
( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
(第10题)
10.［2025年1月阜阳期末］如图，，
相交于点，，是 的中点，
，交于点 .若
，，则 的长为
( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
平行线与相似三角形
相似三角形判定定理的预备定理：
常见基本图形：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
平行线法
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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