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22.2.2 用角的关系判定两个三角形相似教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.2.2 用角的关系判定两个三角形相似
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是相似三角形？（对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）
问题 2：平行线截相似三角形的判定定理是什么？（平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。）
问题 3：已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，\(\angle A = 60^{\circ}\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，则\(\angle D = \)，\(\angle F = \)。（\(60^{\circ}\)；\(50^{\circ}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握用角的关系判定两个三角形相似的定理（两角分别相等的两个三角形相似），能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关问题。
能力目标：通过定理的推导、例题分析和练习，培养观察能力、逻辑推理能力和运用数学知识解决问题的能力。
情感目标：体会数学知识的严谨性和逻辑性，感受几何证明的魅力，激发学习数学的兴趣和热情。
第 4 页：情境引入
展示图形：两个三角形\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)，其中\(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)。
提出问题：这两个三角形的第三个角有什么关系？它们的边之间会存在怎样的关系？这两个三角形是否相似？通过观察和思考，引出用角的关系判定三角形相似的猜想。
第 5 页：用角的关系判定三角形相似的定理
定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。
符号表示：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，若\(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
推导思路：
已知两个三角形有两个角分别相等，根据三角形内角和定理，第三个角也必然相等（因为三角形内角和为\(180^{\circ}\)，即\(\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B\)，\(\angle F = 180^{\circ}-\angle D-\angle E\)，由于\(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)，所以\(\angle C = \angle F\)）。
此时两个三角形的三个角分别相等，若能证明对应边成比例，则可根据相似三角形的定义判定它们相似（可通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理等进行证明，此处略去详细推导，重点掌握定理应用）。
第 6 页：定理的理解与强调
强调：
该定理是判定两个三角形相似的重要方法，只需找到两个角分别相等即可判定相似，无需再验证边的关系。
三角形的内角和为\(180^{\circ}\)，所以 “两角分别相等” 实际上隐含了第三个角也相等，即三个角都对应相等。
要注意角的对应关系，必须是两个三角形中的角分别对应相等，不能混淆角的对应顺序。
第 7 页：例题讲解 1—— 直接应用定理判定相似
例 1：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)中，\(\angle BAC = \angle DAE\)，\(\angle ABC = \angle ADE\)，求证：\(\triangle ABC\sim\triangle ADE\)。
步骤解析：
在\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)中，已知\(\angle BAC = \angle DAE\)（已知条件），\(\angle ABC = \angle ADE\)（已知条件）。
根据 “两角分别相等的两个三角形相似” 这一定理，可直接得出\(\triangle ABC\sim\triangle ADE\)。
第 8 页：例题讲解 2—— 利用对顶角、公共角等判定相似
例 2：如图，\(CD\)是\(Rt\triangle ABC\)斜边上的高，求证：\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\)，\(\triangle CBD\sim\triangle ABC\)，\(\triangle ACD\sim\triangle CBD\)。
步骤解析：
证明\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\)：
因为\(CD\)是\(Rt\triangle ABC\)斜边上的高，所以\(\angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ}\)。
又因为\(\angle A\)是\(\triangle ACD\)和\(\triangle ABC\)的公共角，即\(\angle A = \angle A\)。
根据定理，两角分别相等的两个三角形相似，所以\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\)。
证明\(\triangle CBD\sim\triangle ABC\)：
同理，\(\angle CDB = \angle ACB = 90^{\circ}\)，\(\angle B\)是公共角，即\(\angle B = \angle B\)，所以\(\triangle CBD\sim\triangle ABC\)。
证明\(\triangle ACD\sim\triangle CBD\)：
由\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\)可得\(\angle ACD = \angle B\)。
又因为\(\angle ADC = \angle CDB = 90^{\circ}\)，所以\(\triangle ACD\sim\triangle CBD\)（两角分别相等）。
第 9 页：例题讲解 3—— 结合平行线判定相似
例 3：如图，已知\(DE\parallel BC\)，\(EF\parallel AB\)，求证：\(\triangle ADE\sim\triangle EFC\)。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，所以\(\angle AED = \angle C\)（两直线平行，同位角相等）。
因为\(EF\parallel AB\)，所以\(\angle A = \angle FEC\)（两直线平行，同位角相等）。
在\(\triangle ADE\)和\(\triangle EFC\)中，\(\angle A = \angle FEC\)，\(\angle AED = \angle C\)。
根据定理，两角分别相等的两个三角形相似，所以\(\triangle ADE\sim\triangle EFC\)。
第 10 页：例题讲解 4—— 利用相似解决计算问题
例 4：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle B = \angle AED\)，\(AB = 5\)，\(AD = 3\)，\(AE = 4\)，求\(AC\)的长度。
步骤解析：
在\(\triangle ABC\)和\(\triangle AED\)中，\(\angle B = \angle AED\)（已知条件），\(\angle A = \angle A\)（公共角）。
根据定理可得\(\triangle ABC\sim\triangle AED\)。
由相似三角形对应边成比例，可得\(\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}\)。
代入已知数据，\(\frac{5}{4}=\frac{AC}{3}\)，解得\(AC=\frac{15}{4}=3.75\)。
第 11 页：方法总结
运用 “两角分别相等的两个三角形相似” 定理判定三角形相似的步骤：
找出两个三角形中是否存在两组对应角分别相等。
常见的等角来源：已知条件、对顶角相等、公共角相等、平行线所形成的同位角或内错角相等、直角相等、同角或等角的余角（补角）相等。
若存在两组对应角分别相等，则可判定两个三角形相似。
利用相似三角形解决计算问题的步骤：
先判定两个三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例列出比例式。
代入已知数据，求解未知量。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：下列各组三角形中，相似的是（ ）
A. 两个含\(30^{\circ}\)角的等腰三角形
B. 两个含\(60^{\circ}\)角的直角三角形
C. 两个含\(50^{\circ}\)角的等腰三角形
D. 两个含\(70^{\circ}\)角的直角三角形
练习 2：如图，\(\angle 1 = \angle 2 = \angle 3\)，则图中相似的三角形有______对。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(BD\perp AC\)于点\(D\)，\(CE\perp AB\)于点\(E\)，求证：\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)。
练习 4：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(D\)是\(AB\)上一点，\(DE\perp BC\)于点\(E\)，若\(BE = 6\)，\(BC = 10\)，\(AB = 15\)，求\(BD\)的长度。
第 14 页：易错点提醒
忽略角的对应关系，错误地将不对应的角当作对应角来判定相似，导致结论错误。
在寻找等角时，不能充分利用图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、平行线所形成的角等，增加了判定难度。
判定三角形相似后，在利用对应边成比例列比例式时，对应边的位置写错，造成计算错误。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了用角的关系判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似。
该定理是判定三角形相似的重要方法，应用时需准确找出两组对应相等的角，常见的等角来源包括已知条件、公共角、对顶角、平行线所成的角等。
学会了运用该定理判定三角形相似，并能结合相似三角形对应边成比例的性质解决计算问题。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.2 第 3、4 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(D\)是\(BC\)边上的一点，且\(DE\parallel AB\)交\(AC\)于点\(E\)，\(DF\parallel AC\)交\(AB\)于点\(F\)。求证：\(\triangle BDF\sim\triangle DCE\)。
拓展作业：探究如何利用 “两角分别相等的两个三角形相似” 定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（提示：构造相似三角形）。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.2用角的关系判定两个三角形相似
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握相似三角形的判定定理1-两角分别相等的两个三角形相似；
2.理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题；
3.经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法；
4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣.
复习回顾
目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
定义法：
对应边成比例，且对应角相等的两个三角形是相似三角形．
A
B
C
A1
B1
C1
∠A=∠A1， ∠B=∠B1，∠C=∠C1
△ABC∽△A1B1C1
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
A
B
C
D
E
平行线法：
A
B
C
D
E
A
D
E
B
C
目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
DE∥BC
△ADE∽△ABC
我们知道三角形全等是三角形相似的特例，能否类比全等三角形的判定方法，猜想出相似三角形的判定方法呢？
全等三角形 相似三角形
图形
判定方法
SSS（边边边）
SAS（边角边）
ASA（角边角）；AAS（角角边）
HL（斜边直角边）
三边对应成比例的两个三角形相似.
C
A
B
A'
B'
C
'
C
A
B
A'
B'
C
'
两角分别相等的两个三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
一个直角三角形的直角边和斜边分别和另一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
猜想
我们一起来证明这些猜想！
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
猜想：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
A'
B'
C'
A
B
C
猜想
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
已知条件中，只含有角度的条件，结合已经学过的判定方法进行分析.
(2)利用平行线法构造证明(添加辅助线)
(1)利用定义法证明(条件不够)
分析
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
证明
∴△ABC∽△A'B'C'．
又∵∠A=∠A'，AD=A'B'，
∴△ADE≌△A'B'C'(ASA).
∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B'，
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上，截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则
△ADE∽△ABC.
D
E
∴∠ADE=∠B'.
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'，
求证：△ABC∽△A'B'C'.
三角形相似的传递性
猜想成立
归纳
相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴ △ABC∽△A'B'C'．
典型例题
在相似三角形中，一般来说，对顶角、公共角是隐藏的对应角.
　　
B
D
A
C
E
F
解：∵∠B=∠C， ∠DFB=∠EFC，
∴△DFB∽△EFC.
∵∠B=∠C，∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACD.
【例1】如图：∠C=∠B，请指出图中的相似三角形.
两角分别相等的两个三角形相似
典型例题
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∠2=∠3，
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
【例2】如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
当题目中仅已知角的关系时，一般用判定定理1证明相似.
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1.［知识初练］观察下图中的两组图形，相似的一组是____.
①
(第2题)
2.创新题·开放题如图，与相交于点 ，连
接， ，添加一个条件，使
.你添加的条件是____________
____________.
(答案不唯一)
(第3题)
3.［2025·深圳模拟］如图，已知
，则图中与
相似(本身除外)的三角形共有
( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.［2024·宁波期中］如图，在中，点为 边上一
点，连接，点为线段上一点，且 ，求
证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， .
，且 ，
， ，
.
5.［2025·合肥月考］如图，已知
，求证：
.
证明： ，
，
即 .
，， 易
得 ，
.
知识点2 两角分别相等的两个三角形相似的应用
(第6题)
6.如图，点，分别在，上，交
于点，，，， ，
则 的长为___.
(第7题)
7.如图，在中， 是中线，
，,则线段 的长
为( )
B
A.4 B. C.6 D.
(第8题)
8.如图，在中， ，
于点.若，，则
( )
A
A.2 B.3 C. D.
9.［2025年1月杭州期末］如图，在
中，是 的角平分
线，点是边 上一点，且满足
.
(1)求证： ；
证明：是 的角平分线，
.
又， .
(2)若，，求 的长.
解：，.
， ，
.
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1：
符号语言：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两角分别相等的两个三角形相似．
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴ △ABC∽△A'B'C'．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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