资源简介

(共25张PPT)
22.2.3 用边角关系判定两个三角形相似教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.2.3 用边角关系判定两个三角形相似
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：相似三角形的定义是什么？（对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）
问题 2：用角的关系判定两个三角形相似的定理是什么？（两角分别相等的两个三角形相似。）
问题 3：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，\(\angle A=\angle D\)，要使这两个三角形相似，还需要添加什么条件？（\(\angle B=\angle E\)或\(\angle C=\angle F\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握用边角关系判定两个三角形相似的定理（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关问题。
能力目标：通过定理的探究、例题分析和练习，培养观察能力、逻辑推理能力和运用数学知识解决问题的能力，体会数形结合思想。
情感目标：感受数学定理的严谨性和探究的乐趣，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
第 4 页：情境引入
展示图形：两个三角形\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)，其中\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=k\)（\(k\)为常数），且\(\angle A=\angle D\)。
提出问题：这两个三角形的形状是否相同？它们是否相似？通过观察图形和已有的比例关系、角的关系，引出用边角关系判定三角形相似的猜想。
第 5 页：用边角关系判定三角形相似的定理
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
符号表示：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，且\(\angle A=\angle D\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
推导思路：
在\(DE\)上截取\(DG = AB\)，过点\(G\)作\(GH\parallel EF\)交\(DF\)于点\(H\)。
由平行线分线段成比例定理可得\(\frac{DG}{DE}=\frac{DH}{DF}\)，又因为\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)且\(DG = AB\)，所以\(\frac{DH}{DF}=\frac{AC}{DF}\)，即\(DH = AC\)。
因为\(GH\parallel EF\)，所以\(\angle DGH=\angle E\)，又可证\(\triangle DGH\cong\triangle ABC\)（SAS），则\(\angle DGH=\angle B\)，\(\angle DHG=\angle C\)，进而可得\(\triangle ABC\)与\(\triangle DEF\)对应角相等，对应边成比例，所以\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
第 6 页：定理的理解与强调
强调：
该定理的条件是 “两边成比例” 且 “夹角相等”，两个条件缺一不可。
“夹角” 指的是成比例两边的夹角，若不是夹角，即使两边成比例且有一个角相等，也不能判定两个三角形相似。
要注意边的对应关系，成比例的边必须是两个三角形中对应的边，夹角也必须是对应边的夹角。
第 7 页：反例说明
展示图形：两个三角形\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)，其中\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，但相等的角不是夹角（如\(\angle B=\angle E\)，但\(\angle B\)不是\(AB\)、\(AC\)的夹角，\(\angle E\)不是\(DE\)、\(DF\)的夹角）。
说明：这种情况下，两个三角形不一定相似，以此强调 “夹角” 的重要性，加深对定理条件的理解。
第 8 页：例题讲解 1—— 直接应用定理判定相似
例 1：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)中，\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\)，且\(\angle BAC=\angle DAE\)，求证：\(\triangle ABC\sim\triangle ADE\)。
步骤解析：
在\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)中，已知\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\)（已知条件），\(\angle BAC=\angle DAE\)（已知条件，且为成比例两边的夹角）。
根据 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一定理，可直接得出\(\triangle ABC\sim\triangle ADE\)。
第 9 页：例题讲解 2—— 结合比例性质判定相似
例 2：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)上的点，且\(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)，求证：\(\triangle ADE\sim\triangle ACB\)。
步骤解析：
由\(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)可得\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)（比例的基本性质）。
在\(\triangle ADE\)和\(\triangle ACB\)中，\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)，且\(\angle A=\angle A\)（公共角，为成比例两边的夹角）。
根据定理，可得\(\triangle ADE\sim\triangle ACB\)。
第 10 页：例题讲解 3—— 利用相似解决计算问题
例 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(AC = 8\)，\(D\)为\(AB\)上一点，\(AD = 3\)，在\(AC\)上取一点\(E\)，使\(\triangle ADE\)与\(\triangle ABC\)相似，求\(AE\)的长度。
步骤解析：
要使\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)，需满足两边成比例且夹角相等。因为\(\angle A\)是公共角，所以有两种情况：
情况一：\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，即\(\frac{3}{6}=\frac{AE}{8}\)，解得\(AE = 4\)。
情况二：\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)，即\(\frac{3}{8}=\frac{AE}{6}\)，解得\(AE=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}\)。
所以\(AE\)的长度为\(4\)或\(\frac{9}{4}\)。
第 11 页：方法总结
运用 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 定理判定三角形相似的步骤：
找出两个三角形中可能成比例的两组对应边，并计算它们的比值。
检查这两组对应边的夹角是否相等。
若两组对应边成比例且夹角相等，则可判定两个三角形相似。
利用该定理解决计算问题的步骤：
确定两个三角形可能相似，找出成比例的边和相等的夹角。
根据比例关系列出比例式。
代入已知数据，求解未知量，注意可能存在的多种情况。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：下列条件中，能判定\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)的是（ ）
A. \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，\(\angle B=\angle E\)
B. \(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)，\(\angle A=\angle D\)
C. \(\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)，\(\angle C=\angle F\)
D. \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，\(\angle C=\angle F\)
练习 2：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别在\(AB\)、\(AC\)上，且\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}\)，则\(\triangle ADE\)与\(\triangle ABC\)的相似比为______。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle A'B'C'\)中，\(\angle B=\angle B'\)，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{4}\)，且\(AB = 9\)，\(BC = 12\)，\(A'B' = 12\)，求\(B'C'\)的长度，并判定\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是否相似。
练习 4：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 6\)，\(AC = 4\)，\(D\)为\(AB\)上一点，\(AD = 2\)，在\(AC\)上取一点\(E\)，使\(\triangle ADE\)与\(\triangle ABC\)相似，求\(AE\)的长度。
第 14 页：易错点提醒
忽略 “夹角” 条件，将非夹角的角当作夹角来判定三角形相似，导致错误结论。
在确定成比例的边时，对应关系错误，使得比例式列错，影响判定结果。
解决存在多种相似情况的问题时，容易遗漏其中一种情况，造成答案不完整。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了用边角关系判定两个三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
该定理的关键是 “两边成比例” 和 “夹角相等”，应用时要注意边的对应关系和角必须是夹角。
学会了运用该定理判定三角形相似，并能结合相似三角形的性质解决计算问题，同时要注意可能存在的多种情况。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.2 第 5、6 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，\(D\)是\(AB\)上一点，\(E\)是\(AC\)延长线上一点，且\(BD = CE\)，\(DE\)交\(BC\)于点\(F\)，求证：\(\triangle DBF\sim\triangle ECF\)。
拓展作业：探究在两个直角三角形中，除了直角相等外，再满足什么条件可以判定它们相似，尝试用今天学习的定理进行解释。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.3用边角关系判定两个三角形相似
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握相似三角形的判定定理2-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
2.理解相似三角形判定定理2的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题；
3.经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法；
4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣.
复习回顾
上节课我们类比全等三角形的判定方法猜想了相似三角形的判定方法，并通过证明得到了相似三角形的判定定理1.
相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两角分别相等的两个三角形相似．
其它的猜想是否正确呢？
A'
B'
C'
A
B
C
全等三角形
类比
相似三角形
B
C
A
A'
B'
C'
SAS定理
.
且∠A =
，
特殊到一般
∴
且∠A =
全等三角形是相似三角形的特例.
猜想：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A'
B'
C'
A
B
C
方法与步骤：
先写出已知、求证，并画出图形；
再写出证明过程；
最后获得定理.
还记得证明猜想的方法与步骤吗？
试着去证明猜想吧！
分析
已知：如图，在△ABC和 中， ，∠A =∠A，
求证：△ABC ∽ .
=
通过作辅助线，构建与 全等，并且与△ABC相似的三角形即可.
A
B
C
A'
C'
B'
证明
猜想成立
A
B
C
D
E
证明：在AB上取一点D，使 ，
过点D作BC的平行线交AC于点E，则
A'
C'
B'
△ADE∽△ABC.
∵ ，
∵ ，
∴ ， .
∵
，
∴ .
△ADE≌
∴ .
△ABC ∽
已知：如图，在△ABC和 中， ，∠A =∠A，
求证：△ABC ∽ .
=
∴
归纳
相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言 ：
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC ∽
∵ ，
且 ，
A
B
C
A'
C'
B'
如图，∠A=∠D=135°，网格中的△ABC与△DEF相似吗？理由是什么？
D
E
F
A
B
C
又∵ ，
∴ .
相似，理由如下：
解：
∴ ，
∴ △ABC ∽△DEF.
设小正方形的边长为1，
由勾股定理可得：
，
又∵∠A=∠D=135°，
依据相似三角形的判定定理2
做一做
，
.
前面，证明了图(1)中的两个三角形相似，如图(2)，如果两个三角形的两边对应成比例，但夹角不相等，还能相似吗？
不相似
D
E
F
A
B
C
图(1)
图(2)
运用判定定理2时注意以下几点：
两组对应边及其夹角，不是边所对的角；
两组对应边成比例和夹角相等这两个条件缺一不可.
思考
D
E
F
A
B
C
典型例题
【例1 】根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，
并说明理由.
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A'=120°，A'B'=3 cm，A'C'=6 cm．
A'
C'
B'
A
B
C
∴△ABC∽△A'B'C'．
∴
．
∵
，
，
又∵∠A=∠A'，
解：△ABC与△A'B'C'相似，理由如下：
典型例题
【例2 】一个直角三角形两条直角边的长分别为6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？
A'
C'
B'
A
B
C
∴△ABC∽△A'B'C'．
∴
．
，
又∵∠B=∠B'=90°，
如图，∵
，
解：相似，理由如下：
知识点1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.如图，已知，则下列图中与 相似
的是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，点，分别在的边，
上，且与 不平行.下列条件中，能判
定与 相似的是( )
A
A. B.
C. D.
3.［2025·南京月考］如图，四边形
的对角线，相交于点 ，且
将这个四边形分成①②③④四个三角形，
若 ，则下列结论正确
的是( )
A
A.只有①和③相似 B.只有②和④相似
C.①和③相似且②和④相似 D.没有相似三角形
4.如图，平分，，，当 _____
时， .
2
5.如图，已知点,在线段上，且， ，
是边长为6的等边三角形.求证： .
证明： 是边长为6的等边三角形，
， ，
.
， ，
， ，
， .
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的应用
6.真实情境如图是一种雨伞的截面图，
伞骨 ，支撑杆
，当点沿 滑动
时，雨伞开闭.若 ，
，此时、 两点间的距离
等于( )
C
A. B. C. D.
7.［2024·六安模拟］如图，在中，是边 上一点，
且，，，,求 的长.
解：，， ，
， ，
.
又， ，
，即，解得 .
8.［2025年1月滁州期末］如图，在中， ，
，.将 沿图示中的虚线剪开，有如下几
种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与 不相似的是
( )
A
A. B. C. D.
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2：
符号语言：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC ∽
∵ ，
且 ，
A
B
C
A'
C'
B'
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑