资源简介

(共31张PPT)
22.2.4 三边关系判定两个三角形相似教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.2.4 三边关系判定两个三角形相似
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：相似三角形的定义是什么？（对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）
问题 2：用角的关系判定两个三角形相似的定理是什么？（两角分别相等的两个三角形相似。）
问题 3：用边角关系判定两个三角形相似的定理是什么？（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。）
问题 4：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，且\(\angle A=\angle D\)，则这两个三角形的关系是______。（相似）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握用三边关系判定两个三角形相似的定理（三边成比例的两个三角形相似），能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关问题。
能力目标：通过定理的探究、例题分析和练习，培养观察能力、逻辑推理能力和运用数学知识解决问题的能力，进一步体会数形结合思想。
情感目标：感受数学定理的严谨性和系统性，激发对数学学习的兴趣，增强学习数学的自信心。
第 4 页：情境引入
展示图形：两个三角形\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)，其中\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)（\(k\)为常数）。
提出问题：这两个三角形的形状是否相同？它们的对应角是否相等？它们是否相似？通过观察图形和已有的三边比例关系，引出用三边关系判定三角形相似的猜想。
第 5 页：用三边关系判定三角形相似的定理
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
符号表示：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
推导思路：
在\(DE\)上截取\(DG = AB\)，过点\(G\)作\(GH\parallel EF\)交\(DF\)于点\(H\)。
由平行线分线段成比例定理可得\(\frac{DG}{DE}=\frac{DH}{DF}=\frac{GH}{EF}\)，又因为\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)且\(DG = AB\)，所以\(\frac{DH}{DF}=\frac{AC}{DF}\)，\(\frac{GH}{EF}=\frac{BC}{EF}\)，即\(DH = AC\)，\(GH = BC\)。
可证\(\triangle DGH\cong\triangle ABC\)（SSS），则\(\angle DGH=\angle B\)，\(\angle GDH=\angle A\)，\(\angle DHG=\angle C\)，又因为\(GH\parallel EF\)，可得对应角相等，进而可得\(\triangle ABC\)与\(\triangle DEF\)对应角相等，所以\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
第 6 页：定理的理解与强调
强调：
该定理的条件是 “三边成比例”，即两个三角形的三条边对应成比例。
三边的比例关系必须是对应边的比相等，要注意边的对应顺序，不能随意搭配。
只要满足三边对应成比例，就可以判定两个三角形相似，无需再验证角的关系。
第 7 页：例题讲解 1—— 直接应用定理判定相似
例 1：判断下列两个三角形是否相似，并说明理由。
\(\triangle ABC\)的三边长分别为\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，\(AC = 5\)；
\(\triangle DEF\)的三边长分别为\(DE = 6\)，\(EF = 8\)，\(DF = 10\)。
步骤解析：
计算三边的比值：\(\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)。
因为\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}\)，满足三边成比例。
根据 “三边成比例的两个三角形相似” 这一定理，可得\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)。
第 8 页：例题讲解 2—— 结合比例性质判定相似
例 2：如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle A'B'C'\)中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，求证：\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
步骤解析：
由\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，可得\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\)。
即两个三角形的三边对应成比例。
根据定理，可得\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
第 9 页：例题讲解 3—— 利用相似解决计算问题
例 3：如图，已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，且\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)，\(DE = 5\)，求\(\triangle DEF\)的周长。
步骤解析：
因为\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，所以\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)。
设相似比为\(k\)，则\(k=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{5}\)。
所以\(\frac{BC}{EF}=k\)，即\(\frac{3}{EF}=\frac{2}{5}\)，解得\(EF=\frac{15}{2}\)；\(\frac{AC}{DF}=k\)，即\(\frac{4}{DF}=\frac{2}{5}\)，解得\(DF = 10\)。
\(\triangle DEF\)的周长为\(DE + EF + DF=5+\frac{15}{2}+10=\frac{10}{2}+\frac{15}{2}+\frac{20}{2}=\frac{45}{2}=22.5\)。
第 10 页：例题讲解 4—— 复杂图形中的相似判定
例 4：如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(CD = 6\)，\(DA = 4\)，四边形\(A'B'C'D'\)中，\(A'B' = 1\)，\(B'C' = 1.5\)，\(C'D' = 3\)，\(D'A' = 2\)，判断四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)是否相似，并说明理由。
步骤解析：
计算对应边的比值：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{1}=2\)，\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{1.5}=2\)，\(\frac{CD}{C'D'}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{DA}{D'A'}=\frac{4}{2}=2\)。
虽然四边对应成比例，但仅根据边的比例关系不能判定四边形相似（四边形具有不稳定性，边成比例但角不一定相等）。
所以不能判定四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)相似，强调三角形与四边形的区别，三角形具有稳定性，三边成比例即可相似，四边形不具有此性质。
第 11 页：方法总结
运用 “三边成比例的两个三角形相似” 定理判定三角形相似的步骤：
分别列出两个三角形的三条边的长度。
计算三条对应边的比值。
若三个比值相等，则可判定两个三角形相似。
利用该定理解决计算问题的步骤：
判定两个三角形相似，确定相似比。
根据相似比和已知边的长度，求出其他对应边的长度。
若求周长，可利用相似三角形周长的比等于相似比进行计算。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：下列各组三角形中，相似的是（ ）
A. 三边长分别为 2，3，4 和 4，5，6
B. 三边长分别为 1，\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{3}\)和\(\sqrt{2}\)，2，\(\sqrt{6}\)
C. 三边长分别为 3，5，7 和 4，6，8
D. 三边长分别为 5，10，15 和 3，6，8
练习 2：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{3}{4}\)，且\(\triangle ABC\)的周长为 18，则\(\triangle DEF\)的周长为______。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)，\(AC = 10\)，在\(\triangle A'B'C'\)中，\(A'B' = 3\)，\(B'C' = 4\)，当\(A'C' = \)______时，\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
练习 4：已知\(\triangle ABC\)的三边长分别为 5，7，8，\(\triangle DEF\)的一边长为 4，若\(\triangle DEF\)与\(\triangle ABC\)相似，求\(\triangle DEF\)另外两边的长度。
第 14 页：易错点提醒
在计算三边比例时，对应边的顺序错误，导致比值计算错误，影响判定结果。
混淆三角形和多边形的相似判定条件，误认为四边形等多边形也可以仅通过边成比例来判定相似。
在利用相似三角形周长比等于相似比时，比例关系颠倒，造成计算错误。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了用三边关系判定两个三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似。
该定理的关键是三条对应边的比值相等，应用时要注意边的对应顺序。
学会了运用该定理判定三角形相似，并能结合相似三角形的性质解决边长计算和周长计算等问题，同时明确了三角形与多边形在相似判定上的区别。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.2 第 7、8 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)的中点，求证：\(\triangle DEF\sim\triangle ABC\)。
拓展作业：收集生活中利用三边成比例判定三角形相似的实例，分析其中的原理和应用，与同学交流分享。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.4三边关系判定两个三角形相似
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握相似三角形的判定定理3-三边成比例的两个三角形相似；
2.理解相似三角形判定定理3的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题；
3.经历从探究到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法；
4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣.
能否说出相似三角形的判定定理1和定理2？
定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
还记得定理的证明思路吗？
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
作辅助平行线　　　　
得到
证得
1
2
3
A'
B'
C'
A
B
C
全等三角形
类比
相似三角形
B'
C'
A'
A
B
C
SSS定理
，
特殊到一般
∴
全等三角形是相似三角形的特例.
猜想：三边对应成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ ABC与△A'B'C'
中， ，
求证：△ ABC与△A'B'C'
相似.
B'
C'
A'
A
B
C
∠A=∠A'
B'
C'
A'
A
B
C
两个三角形三边对应成比例，要看这两个三角形是否相似，只需看其中两组对应边的夹角是否相等即可.
探究方法：
1.利用量角器度量对应角的大小；
2.通过平移让对应角重合，验证对应角的大小关系.
依据相似三角形的判定定理2
如何证明这两个三角形相似呢？
分析
如图，在△ABC和△A'B'C'中， ，
求证：△ABC∽△A'B'C'．
A
B
C
A'
B'
C'
在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，构造△A'DE．
D
E
证明
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
证明
∴ ．
又∵ ，A'D=AB，
∴ ， ．
∴DE=BC，A'E=AC．
∴△A'DE≌△ABC(SSS)．
∴△ABC∽△A'B'C'．
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，则
△A'DE∽△A'B'C' .
反思
证明思路：
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
截取A'D=AB
并添加平行线
构造相似
三角形
对应边
相等
DE=BC
A'E=AC
△A'DE≌△ABC
SSS
△A'DE∽△A'B'C'
△ABC∽△A'B'C'
通过构造全等证相似
辅助线的价值：将△ABC平移到
△A'DE的位置.
相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
简记为：三边成比例的两个三角形相似．
A
B
C
A'
C'
B'
符号语言 ：
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC∽
∵ ，
典型例题
【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
(1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°；
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°；
(3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = .
解：(1)∵ ，
，
∴ .
∵∠A=∠A' =45°，
∴△ABC∽△A'B'C'．
典型例题
【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
(1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°；
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°；
(3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = .
(2)∵ ∠B=180° (∠A+∠C)
=180° (38°+ 97°)
=45°，
∵∠A=∠A' =38°，
∴△ABC∽△A'B'C'．
∴ ∠B=∠B'= 45°，
典型例题
【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
(1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°；
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°；
(3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = .
∴△ABC∽△A'B'C'．
(3)∵
∴ ．
典型例题
【例2】如图，BC与DE相交于点O.问：
(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
A
B
C
D
E
O
分析
从图中可以看出，在△ABC与△ADE中，∠A=∠A，根据已学的三角形相似的判定定理“AA”，“SAS”，添加相关条件可得△ABC∽△ADE.
典型例题
【例2】如图，BC与DE相交于点O.问：
(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
解：(1)∵ ∠A=∠A，
∴ 当∠B=∠D时，
△ABC∽△ADE.
(2) ∵ ∠A=∠A，
∴ 当AC∶AE=AB∶AD时，
△ABC∽△ADE.
A
B
C
D
E
O
典型例题
【例3】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′
的顶点都在格点上，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，为什么
C
B
A
A′
B′
C′
分析
题中仅已知边的条件，用判定定理“SSS”证相似即可.
典型例题
【例3】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′
的顶点都在格点上，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，为什么
C
B
A
A′
B′
C′
解：△ABC与△A′B′C′的顶点均在格点上，根据勾股定理，得
∴ △ABC∽△A′B′C′.
.
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.［2024·合肥期中］有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木
框的三边长分别为1，， ，乙三角形木框的三边长分别
为5，， ，则甲、乙两个三角形( )
A
A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断
2.把经过下列变形，与原 相似的是( )
C
A.各边长都加2 B.各边长都减2
C.各边长都乘以2 D.各边长都平方
3.一个三角形的三边长之比为 ，另一个三角形的最短边
长为9，当另外两边长分别为______时，这两个三角形相似.
12,15
4.［2025·深圳月考］如图，在
中，，，分别是 ，
， 的中点.求证：
.
证明：，，分别是， ，
的中点，
，，是 的中位线.
， ，
，
，
.
知识点2 网格中相似三角形的判定
5.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列四个
选项中的三角形,与 相似的是( )
A
A. B. C. D.
6.立德树人·传统文化在如图所示的
象棋棋盘中(各个小正方形的边长
均相等)，根据“马走日”的规则，
若要使“马”“车”“炮”所在位置的格
B
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角
形相似，则“马”下一步应落在( )
7.如图，在平面直角坐标系中，
的顶点坐标分别为
，， ，请在
图中找到点 ，使
.
(1)点 的坐标为_____________；
或
(2)求证: .
证明：由题易得 ，
， ,
，
， .
， ，
，
, .
相似三角形的判定定理3
相似三角形的判定定理3：
符号语言：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似．
简记为：三边成比例的两个三角形相似．
在△ABC 和 中，
∴ .
△ABC∽
∵ ，
A
B
C
A'
C'
B'
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑