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22.2.5 利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.2.5 利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：相似三角形的定义是什么？（对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）
问题 2：判定两个三角形相似的一般定理有哪些？（两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。）
问题 3：直角三角形有什么特殊性质？（直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余。）
问题 4：如图，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，若\(\angle A=\angle D\)，则这两个直角三角形的关系是______。（相似）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似的定理（斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似），能运用该定理判定两个直角三角形是否相似，并解决相关问题。
能力目标：通过定理的探究、例题分析和练习，培养观察能力、逻辑推理能力和运用数学知识解决问题的能力，进一步体会特殊与一般的数学思想。
情感目标：感受直角三角形相似判定的特殊性，激发对数学学习的兴趣，增强学习数学的自信心。
第 4 页：情境引入
展示图形：两个直角三角形\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)，其中\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=k\)（\(k\)为常数）。
提出问题：这两个直角三角形是否相似？它们的对应角是否相等？对应边是否成比例？通过观察图形和已有的斜边、直角边比例关系，引出利用斜边、直角边判定直角三角形相似的猜想。
第 5 页：利用斜边、直角边判定直角三角形相似的定理
定理内容：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
符号表示：在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)，则\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)。
推导思路：
设\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=k\)，则\(AB = k\cdot DE\)，\(AC = k\cdot DF\)。
根据勾股定理，\(BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(k\cdot DE)^{2}-(k\cdot DF)^{2}}=k\sqrt{DE^{2}-DF^{2}}=k\cdot EF\)。
所以\(\frac{BC}{EF}=k\)，即\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=k\)。
根据三边成比例的两个三角形相似，可得\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)。
第 6 页：定理的理解与强调
强调：
该定理是直角三角形特有的相似判定定理，仅适用于直角三角形。
定理的条件是 “斜边和一条直角边成比例”，两个条件缺一不可，一个是斜边的比，一个是一条直角边的比。
要注意边的对应关系，成比例的边必须是一个三角形的斜边与另一个三角形的斜边对应，一条直角边与另一条直角边对应。
第 7 页：例题讲解 1—— 直接应用定理判定相似
例 1：判断下列两个直角三角形是否相似，并说明理由。
\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 10\)，\(AC = 6\)；
\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 5\)，\(DF = 3\)。
步骤解析：
计算斜边和一条直角边的比值：\(\frac{AB}{DE}=\frac{10}{5}=2\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2\)。
因为\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2\)，满足斜边和一条直角边成比例。
根据 “斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似” 这一定理，可得\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)。
第 8 页：例题讲解 2—— 结合比例性质判定相似
例 2：如图，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，求证：\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'\)。
步骤解析：
设\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)，则\(AB = k\cdot A'B'\)，\(BC = k\cdot B'C'\)。
由勾股定理得\(AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(k\cdot A'B')^{2}-(k\cdot B'C')^{2}}=k\sqrt{A'B'^{2}-B'C'^{2}}=k\cdot A'C'\)。
所以\(\frac{AC}{A'C'}=k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)。
根据三边成比例的两个三角形相似，可得\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'\)，也可根据本课时定理，因为\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)，其中\(AB\)、\(A'B'\)是斜边，\(BC\)、\(B'C'\)是直角边，所以判定相似。
第 9 页：例题讲解 3—— 利用相似解决计算问题
例 3：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 15\)，\(AC = 9\)，在\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 10\)，且\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)，求\(DF\)的长度。
步骤解析：
因为\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)，且\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，所以斜边\(AB\)与\(DE\)对应，直角边\(AC\)与\(DF\)对应（或\(BC\)与\(EF\)对应）。
假设\(AC\)与\(DF\)对应，则\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)。
代入已知数据，\(\frac{15}{10}=\frac{9}{DF}\)，解得\(DF = 6\)。
第 10 页：例题讲解 4—— 复杂图形中的直角三角形相似判定
例 4：如图，在矩形\(ABCD\)中，\(E\)为\(AD\)上一点，\(BE\perp EC\)，求证：\(\triangle ABE\sim\triangle DEC\)。
步骤解析：
因为四边形\(ABCD\)是矩形，所以\(\angle A=\angle D = 90^{\circ}\)，则\(\triangle ABE\)和\(\triangle DEC\)都是直角三角形。
因为\(BE\perp EC\)，所以\(\angle BEC = 90^{\circ}\)，则\(\angle AEB+\angle DEC=90^{\circ}\)。
又因为在\(Rt\triangle ABE\)中，\(\angle AEB+\angle ABE = 90^{\circ}\)，所以\(\angle ABE=\angle DEC\)。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得\(\triangle ABE\sim\triangle DEC\)，也可尝试用本课时定理，计算对应斜边和直角边的比例关系进行判定。
第 11 页：方法总结
运用 “斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似” 定理判定直角三角形相似的步骤：
明确两个三角形都是直角三角形（即都有一个角是\(90^{\circ}\)）。
找出两个三角形的斜边和一条对应的直角边。
计算斜边的比和对应直角边的比，若两个比值相等，则可判定两个直角三角形相似。
利用该定理解决计算问题的步骤：
判定两个直角三角形相似，确定相似比。
根据相似比和已知边的长度（斜边或直角边），求出其他对应边的长度。
注意边的对应关系，避免对应错误。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：下列各组直角三角形中，相似的是（ ）
A. \(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 5\)，\(BC = 3\)；\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 10\)，\(DF = 8\)
B. \(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 6\)，\(AC = 4\)；\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 3\)，\(EF = 2\)
C. \(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 12\)，\(BC = 6\)；\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 6\)，\(DF = 3\sqrt{3}\)
D. \(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 8\)，\(AC = 2\)；\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 4\)，\(EF = 1\)
练习 2：在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，若\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{2}{3}\)，且\(AC = 4\)，则\(DF = \)______。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AB = 20\)，\(BC = 12\)，在\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle F = 90^{\circ}\)，\(DE = 15\)，当\(DF = \)______时，\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)。
练习 4：已知\(Rt\triangle ABC\)的三边长分别为\(6\)，\(8\)，\(10\)，\(Rt\triangle DEF\)的一条直角边为\(3\)，若\(Rt\triangle DEF\)与\(Rt\triangle ABC\)相似，求\(Rt\triangle DEF\)的另外两边的长度。
第 14 页：易错点提醒
在运用定理时，忽略两个三角形都是直角三角形这一前提条件，对非直角三角形应用该定理。
混淆斜边和直角边的对应关系，将一个三角形的斜边与另一个三角形的直角边进行比例计算。
在计算相似比时，比例关系颠倒，导致计算结果错误。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似的定理：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
该定理是直角三角形特有的相似判定方法，应用时要注意两个三角形都是直角三角形且斜边与直角边对应成比例。
学会了运用该定理判定直角三角形相似，并能结合相似三角形的性质解决边长计算等问题，进一步理解了特殊三角形的相似判定方法。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.2 第 9、10 题。
提高作业：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB = 90^{\circ}\)，\(CD\perp AB\)于点\(D\)，求证：\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\sim\triangle CBD\)。
拓展作业：总结判定两个三角形相似的所有方法，并比较它们的适用范围和条件，形成一份知识梳理笔记。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.5利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题；
2.理解直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法，在探究过程中让学生体会用代数方法解决几何问题；
3.经历从猜想到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法；
4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣.
复习回顾
能否说出我们前面学过的相似三角形的3个判定定理？
定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
定理3：三边成比例的两个三角形相似．
A
B
C
A'
C'
B'
A
B
C
A'
C'
B'
AA
SAS
SSS
两个等腰三角形一定相似吗？
思考
40°
120°
40°
40°
相似
依据：“AA”
不相似
不一定相似
两个等边三角形一定相似吗？
思考
相似
依据：“AA”
一定相似
两个直角三角形一定相似吗？
思考
不一定相似
相似
依据：“AA”
不相似
30°
30°
30°
45°
判定两个直角三角形全等有“HL”的特殊方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有特殊的方法呢？
合作探究
类比
全等三角形是相似三角形的特例.
HL定理
，
特殊到一般
∴
A'
B'
C'
A
B
C
全等三角形
相似三角形
B'
C'
A'
A
B
C
猜想
猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， .
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
已知：
B'
C'
A'
A
B
C
分析
证明
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， .
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
已知：
B'
C'
A'
A
B
C
要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
可设法证明 ，
，只需证 .
若设
证明
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°， .
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．
已知：
　　
证明：设
，则AB=kA'B'，AC=kA'C'．
∴ .
∴ △ABC∽△A'B'C'．
∵
，
猜想成立
B'
C'
A'
A
B
C
你还有其它的证明方法吗？
设k法
归纳
判定两个直角三角形相似
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
符号语言 ：
在RT△ABC 和RT 中，
∴ .
△ABC∽
∵ ∠C=∠C'=90°， ，
B'
C'
A'
A
B
C
注意：判定两个直角三角形相似，除了可用上述特殊的判定方法外，还可用一般三角形相似的判定定理.
典型例题
【例】如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？
A
C
B
D
a
b
分析
(1)题中已知什么？
(2)求证的结论是什么？
△ABC∽△CDB.
在RT△ABC与RT△CDB中， CB=a，AC=b.
不确定对应点，需分类讨论：
△ABC∽△CDB或△ABC∽△BDC
利用“HL”判定方法寻找条件即可
典型例题
【例】如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？
解：∵∠ABC=∠CDB=90°，
A
C
B
D
a
b
当 时，△ABC∽△CDB.
即 ， .
典型例题
【例】如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？
A
C
B
D
a
b
又当 时，△ABC∽△BDC.
即 ， .
答：当 或 时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似.
1星题 基础练
知识点1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
1.［知识初练］在和中， ，
,,,则当 ____时，
.
10
2.一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形
的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形________
(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似.
不一定
3.［2025年1月合肥期末］如图，在 中，
， 是上一点，已知， ，
，求证： .
证明： 在中， ，
，
，
.
，，即 ，
.
知识点2 判定两个直角三角形相似的方法综合
4.如图，与交于点 ,
， ，
，，则 的长为___.
5.［2024·合肥庐阳区期中］如图，已知
，点在 上，那么添加
下列一个条件后，仍然不能判定 与
相似的是( )
D
A. B.
C. D.
6.真实情境 如图是跷跷板的示意图，将其几何图形抽象出来，
支柱经过的中点,与地面垂直于点 ，
，当跷跷板的一端着地时，另一端 离地面的
高度为____ .
90
7.如图，在四边形中， ，
.求证：平分 .
证明： ，
.
又 ，
，
，平分 .
判定两个直角三角形相似
直角三角形相似的特殊判定方法：
符号语言：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
在RT△ABC 和RT 中，
∴ .
△ABC∽
∵ ∠C=∠C'=90°， ，
B'
C'
A'
A
B
C
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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