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22.3 相似三角形的性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.3 相似三角形的性质
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是相似三角形？（对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。）
问题 2：判定两个三角形相似的方法有哪些？（两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。）
问题 3：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(2:3\)，且\(AB = 4\)，则\(DE = \)______。（\(6\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例，以及对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，并能运用这些性质解决问题。
能力目标：通过对相似三角形性质的探究和应用，培养观察能力、逻辑推理能力和计算能力，体会数形结合思想和转化思想。
情感目标：感受相似三角形性质的严谨性和实用性，激发对数学学习的兴趣，增强运用数学知识解决实际问题的信心。
第 4 页：情境引入
展示图形：两个相似三角形\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)，相似比为\(k\)。
提出问题：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例外，它们的对应高、对应中线、对应角平分线之间有什么关系？周长之间有什么关系？面积之间又有什么关系？通过思考这些问题，引出对相似三角形性质的探究。
第 5 页：相似三角形的基本性质
基本性质 1：相似三角形的对应角相等。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，则\(\angle A=\angle D\)，\(\angle B=\angle E\)，\(\angle C=\angle F\)。
基本性质 2：相似三角形的对应边成比例，且对应边的比等于相似比。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，则\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)。
强调：这是相似三角形最基本的性质，是后续学习其他性质的基础。
第 6 页：相似三角形对应高的比等于相似比
性质内容：相似三角形对应高的比等于相似比。
推导过程：
如图，\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，\(AH\)是\(\triangle ABC\)的高，\(DG\)是\(\triangle DEF\)的高。
因为\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，所以\(\angle B=\angle E\)，又因为\(\angle AHB=\angle DGE = 90^{\circ}\)，所以\(\triangle ABH\sim\triangle DEG\)（两角分别相等的两个三角形相似）。
则\(\frac{AH}{DG}=\frac{AB}{DE}=k\)，即相似三角形对应高的比等于相似比。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，对应高分别为\(h_1\)、\(h_2\)，则\(\frac{h_1}{h_2}=k\)。
第 7 页：相似三角形对应中线、角平分线的比等于相似比
性质内容：
相似三角形对应中线的比等于相似比。
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
推导思路（以对应中线为例）：
如图，\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，\(AM\)是\(\triangle ABC\)的中线，\(DN\)是\(\triangle DEF\)的中线。
因为\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，所以\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=k\)，且\(\angle B=\angle E\)，又因为\(BM=\frac{1}{2}BC\)，\(EN=\frac{1}{2}EF\)，所以\(\frac{BM}{EN}=k\)。
则\(\triangle ABM\sim\triangle DEN\)（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以\(\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k\)。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，对应中线分别为\(m_1\)、\(m_2\)，对应角平分线分别为\(t_1\)、\(t_2\)，则\(\frac{m_1}{m_2}=k\)，\(\frac{t_1}{t_2}=k\)。
第 8 页：例题讲解 1—— 对应线段的比应用
例 1：已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(3:4\)。
（1）若\(\triangle ABC\)的高\(AH = 6\)，求\(\triangle DEF\)对应的高\(DG\)的长度。
（2）若\(\triangle DEF\)的中线\(DN = 8\)，求\(\triangle ABC\)对应的中线\(AM\)的长度。
步骤解析：
（1）因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以\(\frac{AH}{DG}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{6}{DG}=\frac{3}{4}\)，解得\(DG = 8\)。
（2）因为相似三角形对应中线的比等于相似比，所以\(\frac{AM}{DN}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{AM}{8}=\frac{3}{4}\)，解得\(AM = 6\)。
第 9 页：相似三角形周长的比等于相似比
性质内容：相似三角形周长的比等于相似比。
推导过程：
设\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，则\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)，即\(AB = k\cdot DE\)，\(BC = k\cdot EF\)，\(AC = k\cdot DF\)。
\(\triangle ABC\)的周长\(C_1=AB + BC + AC=k\cdot DE + k\cdot EF + k\cdot DF=k(DE + EF + DF)\)。
\(\triangle DEF\)的周长\(C_2=DE + EF + DF\)。
所以\(\frac{C_1}{C_2}=k\)，即相似三角形周长的比等于相似比。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，周长分别为\(C_1\)、\(C_2\)，则\(\frac{C_1}{C_2}=k\)。
第 10 页：相似三角形面积的比等于相似比的平方
性质内容：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
推导过程：
设\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，对应高分别为\(h_1\)、\(h_2\)，则\(\frac{h_1}{h_2}=k\)，且\(\frac{BC}{EF}=k\)。
\(\triangle ABC\)的面积\(S_1=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_1\)，\(\triangle DEF\)的面积\(S_2=\frac{1}{2}\cdot EF\cdot h_2\)。
所以\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_1}{\frac{1}{2}\cdot EF\cdot h_2}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{h_1}{h_2}=k\cdot k=k^2\)。
符号表示：若\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(k\)，面积分别为\(S_1\)、\(S_2\)，则\(\frac{S_1}{S_2}=k^2\)。
第 11 页：例题讲解 2—— 周长与面积的比应用
例 2：已知\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(2:5\)。
（1）若\(\triangle ABC\)的周长为\(16\)，求\(\triangle DEF\)的周长。
（2）若\(\triangle DEF\)的面积为\(50\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
步骤解析：
（1）因为相似三角形周长的比等于相似比，所以\(\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle DEF}}=\frac{2}{5}\)，即\(\frac{16}{C_{\triangle DEF}}=\frac{2}{5}\)，解得\(C_{\triangle DEF}=40\)。
（2）因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)，即\(\frac{S_{\triangle ABC}}{50}=\frac{4}{25}\)，解得\(S_{\triangle ABC}=8\)。
第 12 页：例题讲解 3—— 综合应用
例 3：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD:DB = 1:2\)，\(\triangle ADE\)的面积为\(3\)，求\(\triangle ABC\)的面积和四边形\(DBCE\)的面积。
步骤解析：
因为\(DE\parallel BC\)，所以\(\triangle ADE\sim\triangle ABC\)（平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似）。
由\(AD:DB = 1:2\)，可得\(AD:AB = 1:(1 + 2)=1:3\)，即相似比为\(1:3\)。
因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\)。
已知\(S_{\triangle ADE}=3\)，则\(\frac{3}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{9}\)，解得\(S_{\triangle ABC}=27\)。
四边形\(DBCE\)的面积\(=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=27 - 3=24\)。
第 13 页：方法总结
运用相似三角形性质解决问题的步骤：
首先确定两个三角形相似，并明确相似比。
根据所求问题，选择对应的性质：
求对应角的度数：利用对应角相等。
求对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的长度：利用它们的比等于相似比。
求周长：利用周长的比等于相似比。
求面积：利用面积的比等于相似比的平方。
列出比例式或等式，代入已知数据求解。
第 14 页：课堂练习 1
练习 1：\(\triangle ABC\sim\triangle DEF\)，相似比为\(1:3\)，则对应高的比为______，周长的比为______，面积的比为______。
练习 2：已知两个相似三角形的对应中线的比为\(2:3\)，其中较大三角形的周长为\(36\)，则较小三角形的周长为______。
第 15 页：课堂练习 2
练习 3：如图，\(\triangle ABC\sim\triangle ADE\)，\(AB = 5\)，\(AD = 3\)，\(S_{\triangle ADE}=9\)，则\(S_{\triangle ABC}= \)______。
练习 4：两个相似三角形的面积比为\(4:9\)，其中一个三角形的周长为\(18\)，则另一个三角形的周长为______（考虑两种情况）。
第 16 页：易错点提醒
混淆相似三角形面积的比与相似比的关系，错误地认为面积比等于相似比，而忽略是相似比的平方。
在应用对应线段的比时，找错对应关系，将非对应线段进行比例计算。
解决面积相关问题时，忘记先确定相似比，直接进行面积的加减或比例计算。
第 17 页：课堂小结
本节课学习了相似三角形的多项性质：
对应角相等，对应边成比例（基本性质）。
对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
周长的比等于相似比。
面积的比等于相似比的平方。
这些性质在解决与相似三角形相关的计算和证明问题中有着广泛的应用，关键是准确把握相似比以及各性质的适用场景。
第 18 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.3 第 1、2、3 题。
提高作业：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，求\(\triangle ADE\)与\(\triangle ABC\)的周长比和面积比。
拓展作业：一个三角形的各边长扩大为原来的\(n\)倍，那么它的周长、面积分别扩大为原来的多少倍？请结合相似三角形的性质进行说明。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3 相似三角形的性质
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比.
2.掌握相似三角形的周长比等于相似比.
3.掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
4.进一步体会利用类比的思想研究相似图形与全等图形的方法，解决简单的实际问题.
5.探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.
类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质
全等三角形 相似三角形
图形
性质
C
A
B
A'
B'
C
'
C
A
B
A'
B'
C
'
形状相同，大小相同，完全重合
整体：
角：
对应角相等
形状相同，大小不一定不同，不一定能重合
整体：
角：
对应角相等
线段：
对应边相等
对应边上的高线、中线相等
对应角的角平分线相等
线段：
对应边成比例，都等于相似比
对应边上的高线之比等于相似比吗？
对应角的角平分线之比等于相似比吗？
对应边上的中线之比等于相似比吗？
在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？
思路点拨：构造包含高线在内的相似三角形.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的高.
求证：
合作探究
在相似三角形中，对应边上的高线之比等于相似比吗？
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B′．
又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，
∴∠ADB=∠ A′D′B′ ．
∴△ABD∽△A′B′D′．
∴ ．
反思：证明过程反复依赖于相似三角形的判定与性质，强化对相似三角形判定与性质的综合应用.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
归纳总结
相似三角形对应高的比等于相似比.
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k
且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′．
∴ ．
相似三角形对应中线的比和对应角平分线的比呢？
合作探究
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线.
求证：
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠B′= ∠B，
又∵AD，AD′分别为对应边BC， B ′ C′ 的中线，
∴ △ABD∽△A′B′D′.
三角形对应中线的比等于相似比
合作探究
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的角平分线.
求证：
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC.
又∵AD，A′D′分别为对应角的平分线，
∴ ∠BAD=∠△B′A′D′.
∴ △ABD∽△A′B′D′.
三角形对应角平分线的比等于相似比
都等于相似比.
相似三角形的性质定理1
A'
B'
C'
A
B
C
D'
D
F
F'
E
E'
符号语言
相似三角形对应高的比、
对应中线的比
∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是k，
且AD、A′D′是对应边的高线，
BF、B′F′是对应边的中线，
CE、C′E′是对应角的角平分线，
∴
和对应角平分线的比
归纳总结
做一做
两个相似三角形相似比是2∶5，其中一个三角形的一条高线为10，
那么另一个三角形对应的高线长度是 .
4或25
分析：相似三角形的对应线段的比等于相似比.
解：设另一个三角形的对应的高线长度是h，则
解得，h=4或
h=25.
或
所以另一个三角形对应的高线长度是4或者是25.
不确定是哪个三角形
A'
B'
C'
A
B
C
思考
相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比有什么关系？
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，求两个三角形的周长比.
解：∵ △ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比是k，
由等比性质，得
即△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比k.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
思考
相似三角形周长的比和面积的比分别与相似比有什么关系？
已知∶如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，求两个三角形的面积比.
解：∵ △ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比是k，
根据三角形面积公式，得
即两三角形的面积比等于相似比的平方k2.
∴其对应高的比等于相似比，即
归纳总结
相似三角形的性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比.
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
相似三角形的性质定理3
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
做一做
已知两个相似三角形的一对对应边分别为32 cm，12 cm.
求这两个三角形的周长比和面积比.
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
解：∵ 两个三角形相似，且一对对应边分别为32 cm，12 cm ，
∴两个三角形的相似比为32∶12= 8∶3.
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴两个三角形的周长比是8∶3.
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个三角形的面积比是64∶9.
典型例题
例1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长.
A
B
C
D
80 cm
60 cm
S
R
P
Q
因为“两边之比为2∶1”，
所以“矩形的长∶矩形的宽=2∶1”.
要求的是矩形零件的边长，
不妨设其宽为xcm，则长为2xcm.
矩形的一条长边为PQ，可以试着找一下与之相关的相似三角形进行求解.
例2 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长.
A
B
C
D
80 cm
60 cm
S
R
P
Q
解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.
设PS为xcm，则PQ为2xcm.
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽ △ABC.
解这个方程，得x=24，2x=48.
答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.
用相似三角形的性质定理1解决问题
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
②根据相似图形确定对应线段；
③根据相似三角形的性质定理1计算.
归纳总结
典型例题
例3 如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB，AC于点D，E.如果△ADE的面积是9，求 的值.
A
B
C
D
E
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
△ABC和△ADE和相似吗？
如果两三角形相似，易得两三角形的相似比
再结合等比的性质，易得AD与DB的比值
解题关键
典型例题
例3 如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB，AC于点D，E.如果△ADE的面积是9，求 的值.
A
B
C
D
E
解：∵ DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
由等比性质，得
典型例题
例4 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为 .求△DEF的边EF上的高和面积．
A
B
C
D
E
F
用相似三角形的性质解决问题
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
②根据相似图形确定对应线段；
③根据相似三角形的性质计算.
①由“AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D”得△ABC∽△DEF，
且相似比为AB∶DE=2∶1；
②对应边有“AB与DE，AC与DF，BC与EF”；
③计算.
典型例题
例4 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为 .求△DEF的边EF上的高和面积．
A
B
C
D
E
F
解：∵AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D ，
∴△ABC∽△DEF，
且其相似比为AB∶DE=2∶1.
∴BC与EF是一对对应边.
又有△ABC的边BC上的高为6，
∴ △DEF的边EF上的高为3.
又有△ABC的面积为 ，
∴ △DEF的面积为 .
知识点1 相似三角形对应高、中线、角平分线的比
1.若，相似比为，则与 对
应中线的比为( )
A
A. B. C. D.
2.已知两个相似三角形的一组对应边的长分别为和 ,
若它们对应的两条角平分线的长度之和为 ，则这两条角
平分线的长度分别为___________.
,
(第3题)
3.如图，，，分别是 三边的中
点，则与 对应高的比是_____.
(第4题)
4.跨学科·物理[2024· 合肥一模改编] 物
理课上，小明记录了他和同桌所做的小
孔成像实验数据(如图),物距为 ，
像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高
度是，则蜡烛火焰的高度是___ .
4
知识点2 相似三角形的周长比
5.［知识初练］已知,相似比是 ，则
__，因此__，即 __.
6.［2025·阜阳月考］若两个相似三角形的相似比为 ，且
较大的三角形的周长是16，则较小的三角形的周长为( )
D
A. B.3 C.8 D.12
7.如图，在和 中，
，若与 的周
长差为，则 的周长为_______.
知识点3 相似三角形的面积比
8.［知识初练］已知,和 分别是它们
的高.若,则__,因此___,所以
___.
(第9题)
9.如图，已知和 的相似比是
，且 的面积为2，则四边形
的面积是( )
A
A.6 B.8 C.4 D.2
(变式题)
【变式题】 ［2024·合肥期中］如图，
，
， ，则
的长为_____.
2
(第10题)
10.［2025年1月马鞍山期末］
如图，与 都是正
方形网格中的格点三角形
(顶点在格点上)，那么
与 的周长比为( )
A
A. B. C. D.
相似三角形的性质定理1
相似三角形的性质定理1：
用相似三角形的性质定理1解决问题：
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
②根据相似图形确定对应线段；
③根据相似三角形的性质定理1计算.
用相似三角形的性质解决问题：
相
似
三
角
形
的
性
质
定
理
2、3
相似三角形的性质定理2：
相似三角形的性质定理3：
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
②根据相似图形确定对应线段；
③根据相似三角形的性质计算.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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