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22.4.1 图形的位似教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.4.1 图形的位似
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是相似图形？（形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形。）
问题 2：相似三角形有哪些性质？（对应角相等，对应边成比例；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方。）
问题 3：如何判定两个三角形相似？（两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例；直角三角形斜边和一条直角边成比例。）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，能准确判断两个图形是否为位似图形，知道位似中心的含义，会利用位似图形的性质解决简单问题。
能力目标：通过观察、分析、操作等过程，培养观察能力、动手操作能力和逻辑推理能力，体会位似与相似的联系与区别。
情感目标：感受图形位似的美感和实用性，激发对图形变换的探究兴趣，增强学习数学的信心。
第 4 页：情境引入
展示图片：
用放大镜放大的图片与原图片。
放映机投射的影像与胶片上的图形。
同一张底片冲洗出的不同尺寸的照片。
提出问题：这些图形有什么共同特点？它们是相似图形吗？图形上对应点的连线有什么规律？通过观察生活中的实例，引出位似图形的概念。
第 5 页：位似图形的定义
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
关键词解析：
必须是相似图形。
对应顶点连线相交于同一点（位似中心）。
对应边互相平行或在同一直线上。
图形示例：展示一组位似图形和一组非位似的相似图形，对比强调位似图形的特殊性。
第 6 页：位似图形的性质
性质 1：位似图形一定是相似图形，位似比等于相似比。
性质 2：位似图形对应顶点的连线相交于位似中心。
性质 3：位似图形对应边互相平行（或在同一条直线上）。
性质 4：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
符号表示：若图形\(G\)与图形\(G'\)是位似图形，位似中心为\(O\)，位似比为\(k\)，则对于任意一对对应点\(A\)与\(A'\)，有\(\frac{OA'}{OA}=k\)，且\(O\)、\(A\)、\(A'\)三点共线；对应边\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，且\(AB\parallel A'B'\)（或在同一直线上）。
第 7 页：位似图形的判定
判定方法：
两个图形是相似图形。
对应顶点的连线都经过同一点。
对应边互相平行（或在同一条直线上）。
实例判断：展示几个图形组合，让学生根据判定方法判断是否为位似图形，并说明理由。
第 8 页：位似中心的位置
位似中心的位置可以是任意的：
位似中心在两个图形的同侧（如图 1，中心\(O\)在图形\(G\)和\(G'\)的左侧）。
位似中心在两个图形之间（如图 2，中心\(O\)在图形\(G\)和\(G'\)中间）。
位似中心在图形的内部（如图 3，中心\(O\)在图形\(G\)内部，图形\(G'\)在内部或外部）。
位似中心在图形的边上或顶点上（如图 4，中心\(O\)在图形\(G\)的顶点上）。
图形展示：配合文字说明展示不同位置位似中心的示意图。
第 9 页：例题讲解 1—— 识别位似图形
例 1：如图，判断下列各组图形是否为位似图形，若是，指出位似中心；若不是，说明理由。
（1）图①中\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)。
（2）图②中四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)。
步骤解析：
（1）观察图形，\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)形状相同，是相似三角形。连接\(AA'\)、\(BB'\)、\(CC'\)，发现它们相交于一点\(O\)，且对应边\(AB\parallel A'B'\)，\(BC\parallel B'C'\)，\(AC\parallel A'C'\)，所以是位似图形，位似中心为\(O\)。
（2）四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)是相似图形，但连接对应顶点的连线不相交于同一点，所以不是位似图形。
第 10 页：例题讲解 2—— 利用位似性质计算
例 2：如图，\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是位似图形，位似中心为\(O\)，位似比为\(1:2\)。若\(OA = 3\)，求\(OA'\)的长度；若\(BC = 4\)，求\(B'C'\)的长度。
步骤解析：
因为\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是位似图形，位似比为\(1:2\)，根据位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比，可得\(\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{2}\)。
已知\(OA = 3\)，则\(\frac{3}{OA'}=\frac{1}{2}\)，解得\(OA' = 6\)。
又因为位似比等于相似比，对应边的比等于位似比，所以\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{2}\)。
已知\(BC = 4\)，则\(\frac{4}{B'C'}=\frac{1}{2}\)，解得\(B'C' = 8\)。
第 11 页：例题讲解 3—— 位似图形与坐标
例 3：如图，在平面直角坐标系中，\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是位似图形，位似中心为原点\(O\)，位似比为\(1:3\)。若点\(A\)的坐标为\((2,1)\)，求点\(A'\)的坐标；若点\(B'\)的坐标为\((-3,6)\)，求点\(B\)的坐标。
步骤解析：
因为位似中心为原点，位似比为\(1:3\)，根据位似图形在坐标系中的性质，对应点的坐标比等于位似比。
点\(A(2,1)\)对应的点\(A'\)的坐标为\((2×3,1×3)=(6,3)\)或\((2×(-3),1×(-3))=(-6,-3)\)（位似图形可能在原点同侧或异侧）。
设点\(B\)的坐标为\((x,y)\)，因为点\(B'(-3,6)\)是点\(B\)的位似对应点，所以\(\frac{x}{-3}=\frac{1}{3}\)，\(\frac{y}{6}=\frac{1}{3}\)，解得\(x=-1\)，\(y=2\)；或\(\frac{x}{-3}=-\frac{1}{3}\)，\(\frac{y}{6}=-\frac{1}{3}\)，解得\(x=1\)，\(y=-2\)。
第 12 页：位似与相似的联系与区别
联系：
位似图形一定是相似图形。
位似比等于相似比。
相似图形的性质对位似图形都适用（对应角相等，对应边成比例等）。
区别：
位似图形是特殊的相似图形，相似图形不一定是位似图形。
位似图形对应顶点的连线必须相交于同一点（位似中心），相似图形没有这一要求。
位似图形对应边互相平行或在同一直线上，相似图形对应边不一定平行。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：下列说法正确的是（ ）
A. 相似图形一定是位似图形
B. 位似图形一定是相似图形
C. 两个位似图形的位似中心只能在图形外部
D. 位似图形对应边不平行
练习 2：如图，\(\triangle OAB\)与\(\triangle OCD\)是位似图形，位似中心为\(O\)，位似比为\(2:3\)，若\(OA = 4\)，则\(OC = \)；若\(AB = 5\)，则\(CD = \)。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：如图，在平面直角坐标系中，四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)是位似图形，位似中心为\(O\)，位似比为\(1:2\)，点\(A\)的坐标为\((1,2)\)，则点\(A'\)的坐标为______。
练习 4：判断如图所示的两个正六边形是否为位似图形，若是，指出位似中心；若不是，说明理由。
第 15 页：易错点提醒
混淆位似图形与相似图形的概念，认为所有相似图形都是位似图形。
忽略位似图形对应顶点连线必须相交于同一点这一关键条件，错误判断位似图形。
在坐标系中解决位似问题时，忘记考虑位似图形可能在原点两侧，导致漏解。
对位似比的理解错误，将对应点到位似中心的距离比与相似比弄混。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了位似图形的概念：两个相似图形，对应顶点连线相交于一点，对应边平行或共线，这样的图形叫做位似图形，交点为位似中心，相似比为位似比。
掌握了位似图形的性质：位似图形是相似图形，位似比等于相似比；对应点连线过位似中心；对应边平行或共线；对应点到位似中心距离比等于位似比。
明确了位似与相似的联系与区别，学会了判断位似图形和利用位似性质解决计算问题。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.4 第 1、2 题。
提高作业：如图，\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是位似图形，位似中心为\(O\)，\(OA = 2\)，\(OA' = 6\)，\(S_{\triangle ABC}=3\)，求\(S_{\triangle A'B'C'}\)。
拓展作业：在平面直角坐标系中，画出以原点为位似中心，位似比为\(1:2\)，与已知\(\triangle ABC\)（顶点坐标分别为\(A(2,4)\)、\(B(4,2)\)、\(C(6,6)\)）位似的图形，并写出对应顶点的坐标。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.4.1图形的位似
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握位似图形的定义，了解位似与相似的区别与联系.
2.掌握位似的性质，并且能够利用位似将一个图形成比例扩大或缩小.
你知道如何把四边形ABCD放大为原来的2倍吗？
A ′
B ′
C ′
D ′
A
B
C
D
O
(1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
(2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使
方法一：
(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求.
请你试着
画一画！
你知道如何把四边形ABCD放大为原来的2倍吗？
A
B
C
D
(1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
(2)分别以点A，B，C，D为端点作射线AO，BO，CO，DO；
(3)分别在射线AO，BO，CO，DO上取点A′，B′，C′，D′，使
方法二：
(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求.
A ′
B ′
C ′
D ′
还可以这样画！
O
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
O
A ′
B ′
C ′
D ′
A
B
C
D
O
如下图，所得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，你能说明道理吗？
再结合相似图形的判定定理，易得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
位似图形
一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)
那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心.
所有对应点的连线通过同一点
位似中心与对应点的距离比相等
概念理解
思考1：位似图形和相似图形有怎样的区别与联系呢？
(2)相似图形不一定是位似图形，当相似图形的对应点连线交于同一点(该点是位似中心)时，就是位似图形.
A
C
B
相似图形
位似图形
(1)位似图形一定相似，它是特殊的相似图形；
概念理解
思考2：如何判断一组图形是位似图形？下面各组图形是位似图形吗？
答：都是位似图形.
①两图形相似；
总结：同时满足以下两个条件的图形叫做位似图形．
②每组对应点的连线都经过同一点．
归纳总结
位似图形的特点
(1)对应顶点的连线必过位似中心，即对应点和位似中心在一条直线上；
(2)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
(3)位似一定相似，相似不一定位似；
(4)位似图形的对应线段平行或在一条直线上.
在画位似图形的时候，位似中心一般怎么选取？
思考
位似中心在图上
位似中心在图外
位似中心在图外
位似中心还可以在4个顶点处，如图所示：
位似中心还可以在哪呢？
典型例题
分析：因为位似比是1:5，所以新图形是按比例缩小的.
(1)当位似中心在△ABC的一条边AB上时，新图形在三角形内部；
(2)当点C为位似中心时，新图形在三角形的内部.
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
B
A
C
典型例题
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
B
A
C
o
●
作图步骤：
①在边AB上任取一点O，连接OC；
●
A'
●
B'
②分别在OA、OB、 OC上取线段的五等分点A'、B'、C'.
●
C'
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求.
典型例题
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
C
B
A
●
A'
●
B'
●
(C')
作图步骤：
①以点C为位似中心，C的对应点是它本身；
②在AC、BC上取线段的五等分点A'、B'；
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求.
知识点1 位似图形的概念
1.［2025·大同模拟］下列选项中的两个相似图形不是位似图
形的是( )
C
A. B. C. D.
(第2题)
2.［2025·长沙模拟］如图，两个四边
形是位似图形，它们的位似中心是点
___.
知识点2 位似图形的性质
3.［2025·滁州月考］如图，以点为位似中心，把 放
大到原来的2倍得到 ，以下说法错误的是( )
C
(第3题)
A.
B.，， 三点在同一条直线上
C.
D.
4.［2024·深圳期中］如图，
与 是位似图形，
点是位似中心.若 ，
的周长为4，则 的
周长为( )
A
A.6 B.8 C.9 D.12
(第5题)
5.如图，四边形与四边形 位似，
位似中心为点.点与点对应，若 ，
四边形的面积为8，则四边形
的面积为____.
72
(变式题)
【变式题】 ［2025年1月嘉兴期末］
如图，四边形 与四边形
是位似图形，点 是位似中
心.若，四边形 的面积
是100，则四边形 的面积是
____.
16
知识点3 位似图形的画法
6.教材改编题把如图所示的四边形 以
点为位似中心缩小为原来的 ，并写出变
换前后图形的周长比和面积比.
解：如图.
变换前后图形的周长比为 ，
面积比为 .
7.［2025年1月淮北期末］在研究相似问题时，嘉嘉和
淇淇的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图①的
方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间 距为1，
则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边
长为1的正方形按图②的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其
延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似.
对于两人的观点，下列说法正确的是 ( )
A.两人都对 B.两人都不对
C.嘉嘉对，淇淇不对 D.嘉嘉不对，淇淇对
A
图形的位似变换
位似图形的定义：
画位似图形的一般步骤：
一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)
那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心.
(1)确定位似中心；
分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点；
(3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点；
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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