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22.5 综合与实践　测量与误差教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.5 综合与实践　测量与误差
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：活动背景
生活中的测量需求：在生活中，我们经常需要测量一些物体的高度、长度、距离等，如测量旗杆的高度、河的宽度、建筑物的高度等，但有些物体由于过高、过远或无法直接接触，很难用常规工具直接测量。
数学知识的应用：相似三角形的知识为解决这些测量问题提供了有效的方法，同时在测量过程中，误差是不可避免的，了解误差的产生原因和减小方法对提高测量准确性至关重要。
活动意义：通过本次综合实践活动，将所学的相似三角形知识应用到实际测量中，培养实践能力和数据分析能力，体会数学与生活的紧密联系。
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握利用相似三角形进行间接测量的原理和方法；理解误差的概念，知道误差产生的原因和减小误差的常用方法；能对测量数据进行简单分析和处理。
能力目标：通过实际测量操作，提高动手实践能力、团队协作能力和问题解决能力；学会设计测量方案并进行实施，培养科学探究精神。
情感目标：感受数学知识在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣；培养严谨的科学态度和实事求是的精神，正确对待测量中的误差。
第 4 页：测量原理 —— 利用相似三角形
原理依据：相似三角形对应边成比例的性质。
常见测量场景及原理：
测量物体高度（如旗杆、大树）：
方法一（利用阳光下的影子）：在同一时刻，物体的高度与其影子的长度成正比。设物体高度为\(H\)，其影子长度为\(L\)，标杆高度为\(h\)，标杆影子长度为\(l\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)（太阳光线平行），可得\(\frac{H}{h}=\frac{L}{l}\)，即\(H=\frac{hL}{l}\)。
方法二（利用镜子反射）：在物体底部附近放置一面镜子，测量者从镜子处后退，直到能从镜子中看到物体顶端，此时测量者身高\(h\)，测量者到镜子的距离\(l\)，物体底部到镜子的距离\(L\)，由光的反射定律知\(\angle ACB=\angle A'CB'\)，且\(\angle ABC=\angle A'B'C' = 90^{\circ}\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)，可得\(\frac{H}{h}=\frac{L}{l}\)，即\(H=\frac{hL}{l}\)。
测量距离（如河宽）：在河对岸选定一点\(A\)，在岸边确定一点\(B\)，作\(BC\perp AB\)，在\(BC\)上取一点\(D\)，作\(DE\perp BC\)且\(DE\)与\(AC\)延长线交于\(E\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle EDC\)，可得\(\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}\)，即\(AB=\frac{ED\cdot BC}{DC}\)。
第 5 页：测量工具准备
基础测量工具：卷尺（用于测量长度、距离等）、标杆（用于辅助测量高度）、镜子（用于反射法测量）、记录本和笔（用于记录数据）、量角器（部分测量方法可能需要）。
辅助工具：测绳（用于较长距离测量）、粉笔或标记物（用于标记测量点）、水平仪（确保标杆或测量线水平）。
工具使用注意事项：使用前检查工具是否完好，卷尺要拉直避免弯曲，标杆要竖直放置等。
第 6 页：测量方案设计示例 —— 测量旗杆高度
方案一：阳光下影子法
测量步骤：
选择一个晴朗的日子，在旗杆旁竖立一根标杆，确保标杆竖直。
测量标杆的高度\(h\)。
同时测量标杆影子的长度\(l\)和旗杆影子的长度\(L\)（从旗杆底部到影子顶端）。
记录测量数据，根据相似三角形原理计算旗杆高度\(H=\frac{hL}{l}\)。
方案二：镜子反射法
测量步骤：
在旗杆底部附近的地面上放置一面镜子，标记镜子的位置\(C\)。
测量者后退至能从镜子中看到旗杆顶端\(A\)的位置\(B\)，标记测量者的站位。
测量测量者的身高\(h\)（眼睛到地面的高度）、测量者到镜子的距离\(BC = l\)、旗杆底部到镜子的距离\(AC = L\)。
根据相似三角形原理计算旗杆高度\(H=\frac{hL}{l}\)。
第 7 页：误差的概念与分类
误差的定义：测量值与真实值之间的差异叫做误差。
误差与错误的区别：误差是不可避免的，它是由测量工具、测量方法、测量环境、测量者等因素引起的；而错误是由于测量者操作不当、读数错误等原因造成的，错误是可以避免的。
误差的分类：
系统误差：由测量工具本身的精度、测量方法的不完善等因素引起的，具有重复性和方向性，如卷尺刻度不准确导致的误差。
偶然误差：由测量环境的微小变化（如风力、温度变化）、测量者的视觉差异等因素引起的，误差大小和方向不固定，具有随机性。
第 8 页：误差产生的原因
测量工具因素：测量工具的精度有限，如卷尺的最小刻度为 1 厘米，无法精确到毫米；工具本身存在缺陷，如标杆不竖直、镜子不平整等。
测量方法因素：测量方案设计不合理，如选择的测量点代表性不足；测量原理的近似性，如利用影子测量时假设太阳光线绝对平行，实际存在微小偏差。
测量环境因素：温度变化导致测量工具热胀冷缩；风力较大使标杆晃动；光照不足影响读数准确性等。
测量者因素：测量者的视觉误差，如读数时视线没有与刻度线保持水平；操作不规范，如卷尺没有拉直；估读时的主观差异等。
第 9 页：减小误差的方法
选用更精密的测量工具：如使用最小刻度为毫米的卷尺代替厘米卷尺，提高测量精度。
改进测量方法：设计更科学合理的测量方案，如多次测量取平均值；采用多种测量方法进行对比验证。
控制测量环境：尽量在稳定的环境中进行测量，如避免在大风、强光或温度剧烈变化的环境下测量。
规范操作流程：测量者要经过培训，掌握正确的测量方法和操作技巧；读数时要认真仔细，视线与刻度线保持水平；多人同时测量，相互核对数据。
多次测量取平均值：对于同一测量对象，进行多次重复测量，将测量数据的平均值作为最终结果，可减小偶然误差。
第 10 页：测量数据记录与处理
数据记录要求：记录数据要真实、准确、完整，包括测量对象、测量工具、测量时间、测量环境、测量数据及单位等信息；对异常数据要标记并注明原因。
数据处理方法：
计算平均值：对于多次测量的数据，计算其算术平均值，公式为\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}\)，其中\(\bar{x}\)为平均值，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为各次测量值，\(n\)为测量次数。
计算误差：绝对误差为测量值与平均值的差值，相对误差为绝对误差与平均值的比值（通常用百分数表示）。
数据记录表格示例（以测量旗杆高度为例）：
测量方法
测量次数
标杆高度\(h\)（m）
标杆影子长度\(l\)（m）
旗杆影子长度\(L\)（m）
旗杆高度计算值\(H\)（m）
平均值（m）
影子法
1
影子法
2
反射法
1
反射法
2
第 11 页：实践活动步骤
步骤 1：分组分工。将学生分成若干小组，每组 4-5 人，明确组长、测量员、记录员、监督员等角色，确保各环节有人负责。
步骤 2：确定测量对象和方法。各小组选择校园内的测量对象（如旗杆、教学楼、大树等），根据实际情况选择合适的测量方法（如影子法、反射法等），设计详细的测量方案。
步骤 3：准备测量工具。根据测量方案准备所需工具，检查工具是否完好可用。
步骤 4：实施测量。按照设计的方案进行测量，规范操作，及时记录测量数据，对同一对象进行多次测量。
步骤 5：数据处理。对测量数据进行整理、计算，求出平均值，分析测量过程中可能存在的误差及原因。
步骤 6：成果汇报。各小组整理测量过程、数据结果、误差分析等内容，形成书面报告或 PPT，在班级内进行汇报交流。
第 12 页：误差分析案例
案例：某小组用影子法测量旗杆高度，测量数据如下：标杆高度\(h = 1.5\)m，第一次测量标杆影子长度\(l_1=2.0\)m，旗杆影子长度\(L_1=12.0\)m；第二次测量标杆影子长度\(l_2=2.1\)m，旗杆影子长度\(L_2=12.2\)m。
计算过程：
第一次计算旗杆高度\(H_1=\frac{1.5×12.0}{2.0}=9.0\)m。
第二次计算旗杆高度\(H_2=\frac{1.5×12.2}{2.1}\approx8.71\)m。
平均值\(\bar{H}=\frac{9.0 + 8.71}{2}\approx8.86\)m。
误差分析：
两次测量结果存在差异，可能的原因包括测量时标杆未完全竖直、影子顶端标记不准确、读数时的视觉误差等。
相对误差计算：第一次测量值与平均值的绝对误差为\(9.0 - 8.86 = 0.14\)m，相对误差为\(\frac{0.14}{8.86}\approx1.58\%\)；第二次测量值与平均值的绝对误差为\(8.86 - 8.71 = 0.15\)m，相对误差为\(\frac{0.15}{8.86}\approx1.69\%\)。
第 13 页：注意事项
安全注意事项：在户外测量时，要注意来往车辆和行人，避免在危险区域（如陡坡、高压线附近）进行测量；使用工具时要避免误伤自己或他人。
测量规范注意事项：测量前要明确测量点，确保测量线路清晰；标杆要竖直，卷尺要拉直且与地面平行或垂直；读数要准确，估读到测量工具最小刻度的下一位。
数据记录注意事项：记录数据要及时、准确，不得随意涂改；对测量过程中出现的异常情况要详细记录，以便后续分析。
团队协作注意事项：小组内成员要分工明确、相互配合、积极沟通，共同解决测量过程中遇到的问题。
第 14 页：拓展思考
思考 1：除了利用相似三角形，还有哪些方法可以测量物体的高度或距离？（如利用三角函数、勾股定理、测角仪等）
思考 2：在不同的时间（如早晨、中午、傍晚）用影子法测量同一物体的高度，测量结果是否相同？为什么？（不同时间太阳高度角不同，影子长度会变化，但物体实际高度不变，测量结果理论上应相近，差异由误差引起）
思考 3：如何提高测量的准确性？结合本次实践活动，提出具体的改进措施。（如增加测量次数、使用更精密的工具、优化测量方案等）
第 15 页：活动总结
知识回顾：本次实践活动主要运用了相似三角形的性质进行间接测量，理解了误差的概念、产生原因和减小方法，掌握了测量数据的记录和处理方法。
能力提升：通过实际操作，提高了动手实践能力、团队协作能力和问题解决能力，学会了将数学知识应用到实际生活中。
经验分享：在测量过程中，各小组积累了宝贵的实践经验，如如何选择测量点、如何规范操作工具、如何分析误差等，这些经验对今后的学习和生活都有帮助。
不足与改进：反思本次活动中存在的不足，如测量方案不够完善、误差控制不够到位等，提出在今后的实践活动中加以改进。
第 16 页：作业布置
基础作业：完成本次实践活动的报告，内容包括测量对象、测量方法、测量数据、数据处理过程、误差分析、活动体会等。
提高作业：选择另一种测量方法（与本次活动所用方法不同），再次测量同一物体的高度或距离，比较两种方法的测量结果和误差情况，分析哪种方法更优。
拓展作业：查阅资料，了解专业测量中常用的仪器和方法，如全站仪、GPS 测量等，比较它们与我们本次实践活动所用方法的异同。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.5综合与实践　测量与误差
第22章　相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过测量旗杆高度的活动，使学生能综合运用三角形相似的判断和性质解决实际问题.
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.
3.通过实际问题的解决发展学生的数学应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识.
4.学生进一步积累数学活动的经验和成功的体验，增强学生学习数学的信心.
我们知道，两个三角形相似，它们的对应角相等，对应边成比例.
如下图，其中△ABC∽△DEF.
B
D
A
C
E
F
若△ABC∽△DEF，则有
对应角
相等
对应边
成比例
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
情景引入
怎样测量这些非常高大物体的高度呢？
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度.
你是怎样测量计算的呢？
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度.
①先分别测量出同一时刻旗杆AB与1米竿CD的影长BM与DN；
方法一：
测量工具：皮尺、1米竿.
②再利用△ABM∽△CDN即可求得旗杆的高度.
∵△ABM∽△CDN，
A
B
C
D
M
N
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度.
①将长竿立于旗杆与人之间；
方法二：
测量工具：皮尺、长竿.
②观察长竿与旗杆的顶端A，C，使人的眼睛E与A，C在同一直线上；
先根据△ANE∽△CME可求出AN的长度；
A
B
C
F
人
D
长竿
E
③利用△ANE∽△CME可求得旗杆的高度.
再根据AB=AN+NB计算即可.
N
M
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度.
①将镜面朝上置于地面C处；
方法三：
测量工具：皮尺、镜子.
②观察镜子中旗杆顶端A′，使人的眼睛E与C， A′在同一直线上；
A
B
A′
E
C
镜子
F
人
③利用△A′BC∽△EFC求出A′B的长度；
④利用△ABC≌ △A′BC求出旗杆的长度.
在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度.
①通过测角器观察旗杆顶端A，使测角器的示数为60°；
(条件允许可以是45°、30°)
方法四：
测量工具：皮尺、测角器.
②利用AB=AM+BM=ME+EF，即可求得旗杆的高度.
A
B
F
人
C
E
M
问题① 请你用这四种方法进行旗杆测试，并将数据记录于下列表格中.
测量旗杆的高度 测量次序 方法一 方法二 方法三 方法四 BM DN NM ME EF BC CF EF ME EF
1
2
3
平均值
计算结果
问题②你觉得何种方法操作简便，又是何种方法测得的数据更准确？你还有其他的测量方法吗？
思考
问题③在测量中，每次的测量数据都有差异，你是如何处理的，你测量了几次？
问题④几种测量方法为何有误差，如何改进？请对测量误差进行思考，查找误差原因.
方法归纳
测量高度的方法
测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决.
知识点1 用相似三角形测量高度
1.身高的小强在阳光下的影长为 .在同一时刻，
若一棵大树的影长为 ，则这棵大树的高度为( )
C
A. B. C. D.
(第2题)
2.跨学科·物理如图是小明设计的利用光
线来测量某古城墙 高度的示意图.如果
镜子与古城墙的距离是 ,与小
明的距离是 ,小明刚好从镜子中
看到古城墙顶的点 处,小明眼睛距地面
的高度是,那么该古城墙的高度是_____ .
(第3题)
3.如图，综合实践活动课中，小明同学用
自制的直角三角形模具 测量树的高度
，他调整自己的位置，让斜边 保持
水平，并且边与点 在同一条直线上，
,，测得边 离地
面的高度，，则树高 为_______.
知识点2 用相似三角形测量宽度
4.［2025·安庆月考］如图，一条河流的两
岸互相平行，沿南岸有一排大树，相邻两棵
大树之间的距离为 ，沿北岸有一排电线
杆，相邻两根电线杆之间的距离为 .一
36
同学站在距南岸的点 处，发现北岸相邻的两根电线杆正
好被南岸的5棵大树遮挡住，那么这条河流的宽度是____ .
5.如图，一位测量人员要测量某池
塘的宽度.他过， 两点画两条
相交于点 的射线，在射线上取两
点，，使 .若测得
，他能求出该池塘的宽度 吗？若能，请你
帮他计算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案.
解：能. ，
，
， ，
即， .
答：该池塘的宽度为 .
(第6题)
6.［2025·合肥月考］如图，小明在某一
时刻测得 长的竹竿竖直放置时的影长
为，在同一时刻旗杆 的影长不
全落在水平地面上，有一部分落在楼房
的墙上，他测得落在地面上的影长
A
A. B. C. D.
，留在墙上的影长 ，则旗杆的高度为
( )
测量与误差
测量高度的方法：
测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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