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22.5 综合与实践　测量与误差教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.5 综合与实践　测量与误差
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：活动背景
生活中的测量需求：在生活中，我们经常需要测量一些物体的高度、长度、距离等，如测量旗杆的高度、河的宽度、建筑物的高度等，但有些物体由于过高、过远或无法直接接触，很难用常规工具直接测量。
数学知识的应用：相似三角形的知识为解决这些测量问题提供了有效的方法，同时在测量过程中，误差是不可避免的，了解误差的产生原因和减小方法对提高测量准确性至关重要。
活动意义：通过本次综合实践活动，将所学的相似三角形知识应用到实际测量中，培养实践能力和数据分析能力，体会数学与生活的紧密联系。
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握利用相似三角形进行间接测量的原理和方法；理解误差的概念，知道误差产生的原因和减小误差的常用方法；能对测量数据进行简单分析和处理。
能力目标：通过实际测量操作，提高动手实践能力、团队协作能力和问题解决能力；学会设计测量方案并进行实施，培养科学探究精神。
情感目标：感受数学知识在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣；培养严谨的科学态度和实事求是的精神，正确对待测量中的误差。
第 4 页：测量原理 —— 利用相似三角形
原理依据：相似三角形对应边成比例的性质。
常见测量场景及原理：
测量物体高度（如旗杆、大树）：
方法一（利用阳光下的影子）：在同一时刻，物体的高度与其影子的长度成正比。设物体高度为\(H\)，其影子长度为\(L\)，标杆高度为\(h\)，标杆影子长度为\(l\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)（太阳光线平行），可得\(\frac{H}{h}=\frac{L}{l}\)，即\(H=\frac{hL}{l}\)。
方法二（利用镜子反射）：在物体底部附近放置一面镜子，测量者从镜子处后退，直到能从镜子中看到物体顶端，此时测量者身高\(h\)，测量者到镜子的距离\(l\)，物体底部到镜子的距离\(L\)，由光的反射定律知\(\angle ACB=\angle A'CB'\)，且\(\angle ABC=\angle A'B'C' = 90^{\circ}\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)，可得\(\frac{H}{h}=\frac{L}{l}\)，即\(H=\frac{hL}{l}\)。
测量距离（如河宽）：在河对岸选定一点\(A\)，在岸边确定一点\(B\)，作\(BC\perp AB\)，在\(BC\)上取一点\(D\)，作\(DE\perp BC\)且\(DE\)与\(AC\)延长线交于\(E\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle EDC\)，可得\(\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}\)，即\(AB=\frac{ED\cdot BC}{DC}\)。
第 5 页：测量工具准备
基础测量工具：卷尺（用于测量长度、距离等）、标杆（用于辅助测量高度）、镜子（用于反射法测量）、记录本和笔（用于记录数据）、量角器（部分测量方法可能需要）。
辅助工具：测绳（用于较长距离测量）、粉笔或标记物（用于标记测量点）、水平仪（确保标杆或测量线水平）。
工具使用注意事项：使用前检查工具是否完好，卷尺要拉直避免弯曲，标杆要竖直放置等。
第 6 页：测量方案设计示例 —— 测量旗杆高度
方案一：阳光下影子法
测量步骤：
选择一个晴朗的日子，在旗杆旁竖立一根标杆，确保标杆竖直。
测量标杆的高度\(h\)。
同时测量标杆影子的长度\(l\)和旗杆影子的长度\(L\)（从旗杆底部到影子顶端）。
记录测量数据，根据相似三角形原理计算旗杆高度\(H=\frac{hL}{l}\)。
方案二：镜子反射法
测量步骤：
在旗杆底部附近的地面上放置一面镜子，标记镜子的位置\(C\)。
测量者后退至能从镜子中看到旗杆顶端\(A\)的位置\(B\)，标记测量者的站位。
测量测量者的身高\(h\)（眼睛到地面的高度）、测量者到镜子的距离\(BC = l\)、旗杆底部到镜子的距离\(AC = L\)。
根据相似三角形原理计算旗杆高度\(H=\frac{hL}{l}\)。
第 7 页：误差的概念与分类
误差的定义：测量值与真实值之间的差异叫做误差。
误差与错误的区别：误差是不可避免的，它是由测量工具、测量方法、测量环境、测量者等因素引起的；而错误是由于测量者操作不当、读数错误等原因造成的，错误是可以避免的。
误差的分类：
系统误差：由测量工具本身的精度、测量方法的不完善等因素引起的，具有重复性和方向性，如卷尺刻度不准确导致的误差。
偶然误差：由测量环境的微小变化（如风力、温度变化）、测量者的视觉差异等因素引起的，误差大小和方向不固定，具有随机性。
第 8 页：误差产生的原因
测量工具因素：测量工具的精度有限，如卷尺的最小刻度为 1 厘米，无法精确到毫米；工具本身存在缺陷，如标杆不竖直、镜子不平整等。
测量方法因素：测量方案设计不合理，如选择的测量点代表性不足；测量原理的近似性，如利用影子测量时假设太阳光线绝对平行，实际存在微小偏差。
测量环境因素：温度变化导致测量工具热胀冷缩；风力较大使标杆晃动；光照不足影响读数准确性等。
测量者因素：测量者的视觉误差，如读数时视线没有与刻度线保持水平；操作不规范，如卷尺没有拉直；估读时的主观差异等。
第 9 页：减小误差的方法
选用更精密的测量工具：如使用最小刻度为毫米的卷尺代替厘米卷尺，提高测量精度。
改进测量方法：设计更科学合理的测量方案，如多次测量取平均值；采用多种测量方法进行对比验证。
控制测量环境：尽量在稳定的环境中进行测量，如避免在大风、强光或温度剧烈变化的环境下测量。
规范操作流程：测量者要经过培训，掌握正确的测量方法和操作技巧；读数时要认真仔细，视线与刻度线保持水平；多人同时测量，相互核对数据。
多次测量取平均值：对于同一测量对象，进行多次重复测量，将测量数据的平均值作为最终结果，可减小偶然误差。
第 10 页：测量数据记录与处理
数据记录要求：记录数据要真实、准确、完整，包括测量对象、测量工具、测量时间、测量环境、测量数据及单位等信息；对异常数据要标记并注明原因。
数据处理方法：
计算平均值：对于多次测量的数据，计算其算术平均值，公式为\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}\)，其中\(\bar{x}\)为平均值，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为各次测量值，\(n\)为测量次数。
计算误差：绝对误差为测量值与平均值的差值，相对误差为绝对误差与平均值的比值（通常用百分数表示）。
数据记录表格示例（以测量旗杆高度为例）：
测量方法
测量次数
标杆高度\(h\)（m）
标杆影子长度\(l\)（m）
旗杆影子长度\(L\)（m）
旗杆高度计算值\(H\)（m）
平均值（m）
影子法
1
影子法
2
反射法
1
反射法
2
第 11 页：实践活动步骤
步骤 1：分组分工。将学生分成若干小组，每组 4-5 人，明确组长、测量员、记录员、监督员等角色，确保各环节有人负责。
步骤 2：确定测量对象和方法。各小组选择校园内的测量对象（如旗杆、教学楼、大树等），根据实际情况选择合适的测量方法（如影子法、反射法等），设计详细的测量方案。
步骤 3：准备测量工具。根据测量方案准备所需工具，检查工具是否完好可用。
步骤 4：实施测量。按照设计的方案进行测量，规范操作，及时记录测量数据，对同一对象进行多次测量。
步骤 5：数据处理。对测量数据进行整理、计算，求出平均值，分析测量过程中可能存在的误差及原因。
步骤 6：成果汇报。各小组整理测量过程、数据结果、误差分析等内容，形成书面报告或 PPT，在班级内进行汇报交流。
第 12 页：误差分析案例
案例：某小组用影子法测量旗杆高度，测量数据如下：标杆高度\(h = 1.5\)m，第一次测量标杆影子长度\(l_1=2.0\)m，旗杆影子长度\(L_1=12.0\)m；第二次测量标杆影子长度\(l_2=2.1\)m，旗杆影子长度\(L_2=12.2\)m。
计算过程：
第一次计算旗杆高度\(H_1=\frac{1.5×12.0}{2.0}=9.0\)m。
第二次计算旗杆高度\(H_2=\frac{1.5×12.2}{2.1}\approx8.71\)m。
平均值\(\bar{H}=\frac{9.0 + 8.71}{2}\approx8.86\)m。
误差分析：
两次测量结果存在差异，可能的原因包括测量时标杆未完全竖直、影子顶端标记不准确、读数时的视觉误差等。
相对误差计算：第一次测量值与平均值的绝对误差为\(9.0 - 8.86 = 0.14\)m，相对误差为\(\frac{0.14}{8.86}\approx1.58\%\)；第二次测量值与平均值的绝对误差为\(8.86 - 8.71 = 0.15\)m，相对误差为\(\frac{0.15}{8.86}\approx1.69\%\)。
第 13 页：注意事项
安全注意事项：在户外测量时，要注意来往车辆和行人，避免在危险区域（如陡坡、高压线附近）进行测量；使用工具时要避免误伤自己或他人。
测量规范注意事项：测量前要明确测量点，确保测量线路清晰；标杆要竖直，卷尺要拉直且与地面平行或垂直；读数要准确，估读到测量工具最小刻度的下一位。
数据记录注意事项：记录数据要及时、准确，不得随意涂改；对测量过程中出现的异常情况要详细记录，以便后续分析。
团队协作注意事项：小组内成员要分工明确、相互配合、积极沟通，共同解决测量过程中遇到的问题。
第 14 页：拓展思考
思考 1：除了利用相似三角形，还有哪些方法可以测量物体的高度或距离？（如利用三角函数、勾股定理、测角仪等）
思考 2：在不同的时间（如早晨、中午、傍晚）用影子法测量同一物体的高度，测量结果是否相同？为什么？（不同时间太阳高度角不同，影子长度会变化，但物体实际高度不变，测量结果理论上应相近，差异由误差引起）
思考 3：如何提高测量的准确性？结合本次实践活动，提出具体的改进措施。（如增加测量次数、使用更精密的工具、优化测量方案等）
第 15 页：活动总结
知识回顾：本次实践活动主要运用了相似三角形的性质进行间接测量，理解了误差的概念、产生原因和减小方法，掌握了测量数据的记录和处理方法。
能力提升：通过实际操作，提高了动手实践能力、团队协作能力和问题解决能力，学会了将数学知识应用到实际生活中。
经验分享：在测量过程中，各小组积累了宝贵的实践经验，如如何选择测量点、如何规范操作工具、如何分析误差等，这些经验对今后的学习和生活都有帮助。
不足与改进：反思本次活动中存在的不足，如测量方案不够完善、误差控制不够到位等，提出在今后的实践活动中加以改进。
第 16 页：作业布置
基础作业：完成本次实践活动的报告，内容包括测量对象、测量方法、测量数据、数据处理过程、误差分析、活动体会等。
提高作业：选择另一种测量方法（与本次活动所用方法不同），再次测量同一物体的高度或距离，比较两种方法的测量结果和误差情况，分析哪种方法更优。
拓展作业：查阅资料，了解专业测量中常用的仪器和方法，如全站仪、GPS 测量等，比较它们与我们本次实践活动所用方法的异同。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.1.1.1正切
第23章　解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也
随之确定的过程，理解正切的意义．
2. 能够用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体
的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单计算．
3. 体验数形之间的联系，进一步学习利用数形结合的思想分析
问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．
4. 引导学生体验数学活动，探索与发现新知识，理解三角函数
与现实生活的联系．
汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度．
怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？
在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．
A
B
C
100
20
A1
B1
C1
100
30
坡面A1B1比坡面AB更陡．
坡面AB和A1B1哪个更陡？
你是怎样判断的？
1
2
从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
还有其他的判断方法吗？
因为AC= A1C1 ，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，BC ＜ B1C1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？
你又是怎样判断的？
A
B
C
100
30
坡面A1B1比坡面AB更陡．
因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，
因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．
A1
B1
C1
80
30
再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？
A1
B1
C1
80
30
A
B
C
100
20
能否从前面的问题中得到一些启示？
水平宽度和垂直高度都不一样
水平长度相等，
垂直高度不等．
水平长度不等，
垂直高度相等．
坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就应该越陡．
再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？
A1
B1
C1
80
30
A
B
C
100
20
∵ 0.2＜0.375，
∴ 坡面A1B1更陡．
如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比 ……有怎样的关系？
B
C
A
B1
C1
B2
C2
试着测出这些对边与邻边的长度，并计算出比值．
你能证明这个结论吗？
B
C
A
B1
C1
B2
C2
证明：∵ ∠ACB=∠ AC1 B1= 90°，　　　　
　　　　∠A=∠A，
∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ．
∴ ，即 ．
已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1 B1=∠AC2B2=90°．
求证：　　　　　　　　． 　　　　　　　　
同理可得， ．
∴ ．
证明
当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值．
归纳
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
A
B
C
c
a
∠A的邻边b
∠A的对边
斜边
归纳
A
B
C
c
a
∠A的邻边b
∠A的对边
斜边
tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”；
它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当用
三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC；
tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比；
初中阶段仅研究直角三角形中，∠A是锐角的正切；将来遇到
锐角的正切问题，也必须放在直角三角形中去研究.
1
2
3
4
注意
如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
i=h∶l
h
l
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
现在你会描述坡面的坡度了吗？
坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有
α
坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
交流
典型例题
分析
根据正切的定义计算：
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan A和tan B．
A
B
C
典型例题
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， BC=3，求tan A和tan B．
A
B
C
4
3
解：
1.如图，在中，我们把锐角 的对边与____边的比
叫做的正切，记作,即 __.
邻
2.坡面的铅直高度和水平长度 的比叫做坡面的___________
________，记作，即 __(坡度通常写成____的形式).坡面
与水平面的夹角叫做______(或称倾斜角)，记作 ，于是有
__________.显然，______越大，坡角 越大，坡面就越陡.
坡度
(或坡比)
坡角
坡度
知识点1 正切
(第1题)
1.［2025年1月上海期末］如图，在
中， ， ，
，则 的正切值为( )
B
A. B.2 C. D.
(第2题)
2.如图，在中， ，
，，则 ( )
B
A. B. C. D.
3.［2025·芜湖月考］在中， ，现把这个
三角形的三边都扩大为原来的5倍，则 的正切值( )
C
A.扩大为原来的5倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.不能确定
4.在中， ，若,，则
的长是__.
【变式题】 在中， ，, ,
则 _____.
4
5.如图，在中， ，
是的中点，， ,求
和 .
解： ，是的中点， ，
.
， ，
， .
知识点2 坡度(坡比)与坡角
(第6题)
6.真实情境如图是某公园的一滑梯侧
面图，若滑梯架的高为 ，水
平宽度为 ，则滑梯滑板的坡
度为_____.
(第7题)
7.河坝横断面如图所示，坝高 ，
迎水坡的坡度是，则 的长是
( )
B
A. B.
C. D.
8.如图，将两根木棒长，长 分别斜靠在墙
上，其中， ，则木棒____更陡.
正切
正切：
坡度：
在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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