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23.1.3 一般锐角的三角函数值教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：23.1.3 一般锐角的三角函数值
副标题：初二数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：30°、45°、60° 角的正弦、余弦和正切值分别是多少？（\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)；\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan45^{\circ}=1\)；\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)。）
问题 2：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\sin A\)、\(\cos A\)、\(\tan A\)的定义分别是什么？（\(\sin A=\frac{\angle A的对边}{\斜边}\)，\(\cos A=\frac{\angle A的邻边}{\斜边}\)，\(\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}\)。）
问题 3：对于特殊角的三角函数值，我们可以通过直角三角形推导得出，那么对于一般锐角（如 25°、53° 等），如何获取它们的三角函数值呢？
第 3 页：学习目标
知识目标：了解一般锐角的三角函数值可以通过计算器获取；掌握使用计算器求一般锐角的正弦、余弦和正切值的方法；学会根据一般锐角的三角函数值，利用计算器求出对应的锐角；能运用计算器解决与一般锐角三角函数值相关的实际问题。
能力目标：通过实际操作计算器，培养动手操作能力和数据处理能力；通过解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合思想。
情感目标：感受科技工具在数学学习中的作用，激发学习数学的兴趣，培养严谨的操作习惯和科学态度。
第 4 页：情境引入
生活实例：
如图 1，在测量一座山的高度时，测量员测得仰角为 28°，已知测量点到山脚的水平距离为 500 米，需要计算山的高度，这就涉及到 28° 角的正切值。
如图 2，在建筑施工中，需要根据楼梯的倾斜角 35° 计算楼梯的高度和水平长度，需要用到 35° 角的正弦和余弦值。
提出问题：28°、35° 等一般锐角不是特殊角，它们的三角函数值无法通过之前的推导方法得出，如何准确获取这些值呢？引出使用计算器求一般锐角三角函数值的内容。
第 5 页：认识计算器的三角函数功能
常见计算器类型：科学计算器（具备三角函数计算功能）。
三角函数按键：计算器上通常标有 “\(\sin\)”“\(\cos\)”“\(\tan\)” 按键，分别用于计算正弦、余弦和正切值。
角度单位设置：三角函数计算需要明确角度单位，通常有 “度（°）” 和 “弧度（rad）”，在初中阶段，我们一般使用 “度（°）” 作为单位，使用前需确保计算器处于 “度” 模式（可通过按键 “DRG” 或 “MODE” 设置）。
按键示例：展示科学计算器的图片，标注 “\(\sin\)”“\(\cos\)”“\(\tan\)” 按键及角度单位设置按键的位置。
第 6 页：用计算器求一般锐角的三角函数值
操作步骤：
步骤 1：打开计算器，确认计算器处于 “度” 模式。
步骤 2：输入锐角的度数（可以是整数度数，也可以是度分秒形式，若为度分秒，需先转换为度或使用计算器的度分秒功能）。
步骤 3：按下对应的三角函数按键（“\(\sin\)”“\(\cos\)” 或 “\(\tan\)”）。
步骤 4：读取计算器显示的结果（通常保留四位小数）。
示例 1：求\(\sin35^{\circ}\)的值。
操作：打开计算器→确认 “度” 模式→输入 “35”→按下 “\(\sin\)” 键→显示结果约为 0.5736。
结论：\(\sin35^{\circ}\approx0.5736\)。
示例 2：求\(\cos48^{\circ}\)的值。
操作：打开计算器→确认 “度” 模式→输入 “48”→按下 “\(\cos\)” 键→显示结果约为 0.6691。
结论：\(\cos48^{\circ}\approx0.6691\)。
示例 3：求\(\tan62^{\circ}\)的值。
操作：打开计算器→确认 “度” 模式→输入 “62”→按下 “\(\tan\)” 键→显示结果约为 1.8807。
结论：\(\tan62^{\circ}\approx1.8807\)。
第 7 页：度分秒形式角度的三角函数值计算
度分秒与度的转换：1°=60′，1′=60″，所以\(d^{\circ}m's''=d+\frac{m}{60}+\frac{s}{360}^{\circ}\)。
操作步骤（以计算\(\sin25^{\circ}30'\)为例）：
方法一：先转换单位，\(30'=\frac{30}{60}=0.5^{\circ}\)，所以\(25^{\circ}30'=25.5^{\circ}\)，再按一般角度计算：输入 “25.5”→按下 “\(\sin\)” 键→显示结果约为 0.4305。
方法二：使用计算器的度分秒功能（部分计算器支持）：输入 “25”→按下 “°′″” 键→输入 “30”→按下 “°′″” 键→按下 “\(\sin\)” 键→显示结果约为 0.4305。
结论：\(\sin25^{\circ}30'\approx0.4305\)。
第 8 页：根据三角函数值求一般锐角
相关按键：计算器上通常标有 “\(\sin^{-1}\)”“\(\cos^{-1}\)”“\(\tan^{-1}\)” 按键（或通过 “SHIFT”“2ndF” 等功能键配合 “\(\sin\)”“\(\cos\)”“\(\tan\)” 按键调出），用于根据三角函数值求对应的锐角。
操作步骤：
步骤 1：打开计算器，确认计算器处于 “度” 模式。
步骤 2：按下对应的反三角函数按键（“\(\sin^{-1}\)”“\(\cos^{-1}\)” 或 “\(\tan^{-1}\)”）。
步骤 3：输入已知的三角函数值。
步骤 4：按下 “=” 键，读取计算器显示的角度结果（通常保留到小数点后一位或度分秒形式）。
示例 1：已知\(\sin\alpha=0.6\)，求锐角\(\alpha\)。
操作：打开计算器→确认 “度” 模式→按下 “SHIFT”+“\(\sin\)” 键（调出 “\(\sin^{-1}\)”）→输入 “0.6”→按下 “=” 键→显示结果约为 36.87°。
结论：锐角\(\alpha\approx36.9^{\circ}\)（保留一位小数）。
示例 2：已知\(\tan\beta=1.5\)，求锐角\(\beta\)。
操作：打开计算器→确认 “度” 模式→按下 “SHIFT”+“\(\tan\)” 键（调出 “\(\tan^{-1}\)”）→输入 “1.5”→按下 “=” 键→显示结果约为 56.31°。
结论：锐角\(\beta\approx56.3^{\circ}\)（保留一位小数）。
第 9 页：根据三角函数值求度分秒形式的锐角
操作步骤（以已知\(\cos\gamma=0.7\)，求锐角\(\gamma\)为例）：
步骤 1：按一般方法求出角度的度数形式：按下 “SHIFT”+“\(\cos\)” 键→输入 “0.7”→按下 “=” 键→显示结果约为 45.57299599°。
步骤 2：将小数部分转换为分：\(0.57299599\times60\approx34.3797594'\)。
步骤 3：将分的小数部分转换为秒：\(0.3797594\times60\approx22.785564''\)。
步骤 4：保留合适的精度：\(\gamma\approx45^{\circ}34'23''\)。
或使用计算器的度分秒转换功能：在显示度数结果后，按下 “°′″” 键，计算器可直接显示度分秒形式。
第 10 页：例题讲解 1—— 用计算器求三角函数值
例 1：用计算器求下列各三角函数值（精确到 0.0001）：
（1）\(\sin28^{\circ}\)
（2）\(\cos53^{\circ}\)
（3）\(\tan72^{\circ}18'\)
步骤解析：
（1）操作：确认 “度” 模式→输入 “28”→按 “\(\sin\)” 键→显示约 0.4695，所以\(\sin28^{\circ}\approx0.4695\)。
（2）操作：确认 “度” 模式→输入 “53”→按 “\(\cos\)” 键→显示约 0.6018，所以\(\cos53^{\circ}\approx0.6018\)。
（3）先转换\(72^{\circ}18'\)为度：\(18'=\frac{18}{60}=0.3^{\circ}\)，即\(72.3^{\circ}\)，操作：输入 “72.3”→按 “\(\tan\)” 键→显示约 3.1194，所以\(\tan72^{\circ}18'\approx3.1194\)。
第 11 页：例题讲解 2—— 根据三角函数值求锐角
例 2：已知下列三角函数值，求锐角\(\alpha\)（精确到 0.1°）：
（1）\(\sin\alpha=0.82\)
（2）\(\cos\alpha=0.35\)
（3）\(\tan\alpha=0.75\)
步骤解析：
（1）操作：按 “SHIFT”+“\(\sin\)” 键→输入 “0.82”→按 “=” 键→显示约 55.1°，所以\(\alpha\approx55.1^{\circ}\)。
（2）操作：按 “SHIFT”+“\(\cos\)” 键→输入 “0.35”→按 “=” 键→显示约 69.5°，所以\(\alpha\approx69.5^{\circ}\)。
（3）操作：按 “SHIFT”+“\(\tan\)” 键→输入 “0.75”→按 “=” 键→显示约 36.9°，所以\(\alpha\approx36.9^{\circ}\)。
第 12 页：例题讲解 3—— 综合应用
例 3：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(BC = 15\)，\(AB = 25\)，求\(\angle A\)的度数（精确到 0.1°）。
步骤解析：
首先确定求\(\angle A\)的三角函数值，\(\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{25}=0.6\)。
然后根据\(\sin A=0.6\)求锐角\(\alpha\)：按 “SHIFT”+“\(\sin\)” 键→输入 “0.6”→按 “=” 键→显示约 36.87°。
所以\(\angle A\approx36.9^{\circ}\)。
第 13 页：例题讲解 4—— 实际应用
例 4：如图，为了测量河对岸的塔高\(AB\)，测量员在河岸边的点\(C\)处测得塔顶\(A\)的仰角为\(42^{\circ}\)，测得点\(C\)到塔底\(B\)的水平距离\(BC = 80\)米，求塔高\(AB\)（精确到 1 米）。
步骤解析：
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle ACB = 42^{\circ}\)，\(BC = 80\)米。
\(\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)，即\(AB = BC\cdot\tan42^{\circ}\)。
用计算器求得\(\tan42^{\circ}\approx0.9004\)。
所以\(AB\approx80\times0.9004\approx72.03\)米，精确到 1 米为 72 米。
第 14 页：方法总结
用计算器求一般锐角三角函数值的步骤：
确认计算器处于 “度” 模式。
输入角度（度分秒需转换为度或使用度分秒功能）。
按下对应的 “\(\sin\)”“\(\cos\)”“\(\tan\)” 按键。
读取并记录结果（按要求保留精度）。
根据三角函数值求锐角的步骤：
确认计算器处于 “度” 模式。
按下对应的反三角函数按键（“\(\sin^{-1}\)”“\(\cos^{-1}\)”“\(\tan^{-1}\)”）。
输入三角函数值。
按下 “=” 键，读取角度结果（按要求保留精度，可转换为度分秒形式）。
注意事项：操作前务必检查角度单位；输入数据和按键时要仔细，避免操作错误；结果需按题目要求保留相应的精度。
第 15 页：课堂练习 1
练习 1：用计算器求下列各三角函数值（精确到 0.0001）：
（1）\(\sin32^{\circ}\)
（2）\(\cos67^{\circ}\)
（3）\(\tan18^{\circ}30'\)
练习 2：已知下列三角函数值，求锐角\(\alpha\)（精确到 0.1°）：
（1）\(\sin\alpha=0.25\)
（2）\(\cos\alpha=0.68\)
（3）\(\tan\alpha=2.3\)
第 16 页：课堂练习 2
练习 3：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 12\)，\(AB = 18\)，求\(\angle B\)的度数（精确到 0.1°）。
练习 4：如图，一梯子靠在墙上，梯子顶端到地面的高度为 3 米，梯子与地面的夹角为 65°，求梯子底部到墙的距离（精确到 0.1 米）。
第 17 页：易错点提醒
计算器未设置为 “度” 模式，使用 “弧度” 模式进行计算，导致结果错误。
输入角度时，度分秒转换错误，如将\(30'\)当作 0.3° 计算。
求反三角函数时，按键错误，未正确调出 “\(\sin^{-1}\)”“\(\cos^{-1}\)”“\(\tan^{-1}\)” 功能。
对计算结果的精度处理不当，未按题目要求保留小数位数或度分秒形式。
过度依赖计算器，忽略对三角函数定义和性质的理解，无法判断结果的合理性。
第 18 页：课堂小结
本节课学习了使用计算器求一般锐角的三角函数值：掌握了在 “度” 模式下，通过 “\(\sin\)”“\(\cos\)”“\(\tan\)” 按键计算正弦、余弦和正切值的方法，以及度分秒形式角度的转换和计算。
学会了根据一般锐角的三角函数值，利用 “\(\sin^{-1}\)”“\(\cos^{-1}\)”“\(\tan^{-1}\)” 按键求出对应的锐角，并能将结果转换为度分秒形式。
能够运用计算器解决与一般锐角三角函数值相关的直角三角形问题和实际应用问题，强调了正确操作计算器和合理处理结果精度的重要性。
第 19 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 23.1 第 9、10、11 题。
提高作业：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.1.3一般锐角的三角函数值
第23章　解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 会用计算器求锐角的三角函数值．
2. 会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角．
步骤1：如图，用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=36°．
步骤2：用刻度尺量得∠A的对边BC和斜边AB的长度．
步骤3：算出比值 ，即得出sin 36°的值．
A
B
C
(单位：mm)
用这个方法可求出任意一个锐角三角函数的近似值，只是误差较大．
三角函数值计算的来历及发展．
拓展
古代的数学家、天文学家也采用上述的方法计算锐角的三角函数值，只是误差较大．
经过许多数学家不断地改进，不同的三角函数值被制成了常用三角函数表．
今天，三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代．
　　计算器上只要有sin、cos、tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
　　不同计算器的按键方法各有不同，现在介绍一种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
探究
　　如何用计算器求锐角的三角函数值呢？
探究
用计算器求sin 40°的值(精确到0.000 1)．
解：
按 键 顺 序 显 示
sin
4
0
=
0.642 787 609
∴ sin 40°= 0.642 8．
计算器显示的是三角函数的近似值，不同计算器给出近似值的数字个数也不同．
如果锐角不是整数度数时应该如何计算呢？
用计算器求cos 34°35′的值(精确到0.000 1)．
解：
按 键 顺 序 显 示
cos
4
5
=
0.823 301 512
∴ cos 34°35′ = 0.823 3．
3
D·M'S
3
D·M'S
cos
4
5
=
0.823 301 512
3
+
3
÷
(
6
0
)
方法1
有的计算器按 键．
°′ ′'
方法2
还有其它的方法吗？
将角度单位转化为“°”．
典型例题
【例1】求tan 66°15′17″的值 (精确到0.000 1)．
解：
按 键 顺 序 显 示
tan
6
5
=
2.273 181 087
∴ tan 66°15′17″ =2.273 2．
6
D·M'S
1
D·M'S
tan
6
5
=
6
+
1
÷
(
6
0
+
7
1
D·M'S
2.273 181 087
7
1
÷
6
0
3
0
)
方法1
方法2
“15÷60，17÷3600”是分别把“分”“秒”化成“度”．
典型例题
【例2】已知sin A=0.5086，求锐角A.
解：
按 键 顺 序 显 示
2ndF
0
0
=
30.570 621 36
∴ ∠A= 30.5706°=30°34′14″．
.
5
8
30°34′14.24″
6
sin 1
2ndF
D·M'S
将角的度数转化为“度-分-秒”形式．
1星题 基础练
知识点1 用计算器求锐角的三角函数值
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 ，
则按键顺序正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
2.［2025·阜阳月考］用计算器计算：
______精确到 .
3.用计算器求三角函数值：精确到
(1) ；
解： .
(2) ；
解： .
(3) .
解： .
知识点2 已知三角函数值，用计算器求锐角
4.已知，运用计算器求锐角 时，按下的第
一个键是( )
D
A. B. C. D.
5.锐角满足，利用计算器求 时，依次按
键 ，则计算器上显示的结果
是( )
C
A.30 B.45 C.60 D.75
6.已知，则用计算器可得锐角 的度数为
___________精确到 .
7.已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角的度数：
精确到
(1) ；
解：， .
(2) ；
解：， .
(3) .
解：， .
知识点3 锐角大小与三角函数值的大小之间的关系
8.当角度在 到 之间变化时，其函数值随着角度的增大
而增大的三角函数是( )
B
A.正弦和余弦 B.正弦和正切
C.余弦和正切 D.正弦、余弦和正切
9.［2025年1月安庆期末］下列式子正确的是( )
B
A. B.
C. D.
10.当锐角 时， ___(填“ ”“ ”或“ ”).
【变式题】 若是锐角，，则 应满足
______________.
11.把下列正切值用“ ”号连接起来.
,,, , .
解： .
一
般
锐
角
的
三
角
函
数
值
用计算器求锐角的三角函数值：
不同计算器的按键方法各有不同， 按照使用说明书操作即可；
计算器显示的是三角函数的近似值，不同计算器给出近似值的数字个数也不同．
计算器上只要有sin、cos、tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．
已知一个角的三角函数值，也可用计算器来求这个锐角．
注意：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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