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23.2.1 解直角三角形教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：23.2.1 解直角三角形
副标题：初二数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：直角三角形的边角关系有哪些？（三边关系：勾股定理\(a^2+b^2=c^2\)；锐角关系：\(\angle A+\angle B=90^{\circ}\)；边角关系：\(\sin A=\frac{a}{c}\)，\(\cos A=\frac{b}{c}\)，\(\tan A=\frac{a}{b}\)等，其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边，\(\angle A\)、\(\angle B\)为锐角。）
问题 2：如何用计算器求一般锐角的三角函数值？如何根据三角函数值求锐角？（确认计算器处于 “度” 模式，输入角度按三角函数键求数值；按反三角函数键输入数值求角度。）
问题 3：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，若\(\angle A=30^{\circ}\)，\(c=10\)，则\(a=\)，\(b=\)。（\(5\)，\(5\sqrt{3}\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解解直角三角形的定义；掌握解直角三角形的依据（勾股定理、锐角互余关系、三角函数关系）；能根据已知条件解直角三角形，包括已知一边一锐角和已知两边两种情况。
能力目标：通过分析和解决解直角三角形问题，培养逻辑推理能力、运算能力和数形结合能力，提高运用数学知识解决问题的能力。
情感目标：体会解直角三角形在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯和解决问题的信心。
第 4 页：情境引入
生活实例：
如图 1，为了加固房屋屋顶，需要计算屋顶的倾斜角和椽的长度，已知屋顶的高度和跨度，如何求出这些数据？
如图 2，在修建高速公路的隧道时，需要根据隧道入口的宽度和高度，计算隧道的拱高和倾斜角度，确保施工安全。
提出问题：在直角三角形中，已知部分边或角的信息，如何求出其他未知的边和角？引出解直角三角形的概念。
第 5 页：解直角三角形的定义
定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
元素说明：直角三角形的元素包括三条边和两个锐角，共 5 个元素，其中直角是已知元素（\(\angle C=90^{\circ}\)）。
已知条件：解直角三角形需要知道两个元素（至少有一个是边），常见的已知条件类型有：
已知一边和一锐角（如已知一条直角边和一个锐角，或已知斜边和一个锐角）。
已知两边（如已知两条直角边，或已知一条直角边和斜边）。
注意事项：仅知道两个锐角无法解直角三角形，因为相似的直角三角形有无数个，边长不唯一。
第 6 页：解直角三角形的依据
三边关系（勾股定理）：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，则\(a^2+b^2=c^2\)（\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
锐角关系（互余）：\(\angle A+\angle B=90^{\circ}\)，即\(\angle B=90^{\circ}-\angle A\)，\(\angle A=90^{\circ}-\angle B\)。
边角关系（三角函数）：
\(\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}\)，\(\sin B=\frac{b}{c}\)。
\(\cos A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}\)，\(\cos B=\frac{a}{c}\)。
\(\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}=\frac{a}{b}\)，\(\tan B=\frac{b}{a}\)。
总结：解直角三角形时，需根据已知条件选择合适的关系公式，求出未知元素。
第 7 页：类型一 —— 已知一边和一锐角解直角三角形
例 1：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\angle A=30^{\circ}\)，\(a=5\)，解这个直角三角形。
步骤解析：
求锐角：因为\(\angle A+\angle B=90^{\circ}\)，所以\(\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。
求斜边\(c\)：由\(\sin A=\frac{a}{c}\)，得\(c=\frac{a}{\sin A}=\frac{5}{\sin30^{\circ}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10\)。
求直角边\(b\)：由\(\tan A=\frac{a}{b}\)，得\(b=\frac{a}{\tan A}=\frac{5}{\tan30^{\circ}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}\)（或用勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)）。
结论：\(\angle B=60^{\circ}\)，\(b=5\sqrt{3}\)，\(c=10\)。
第 8 页：类型一 —— 已知斜边和一锐角解直角三角形
例 2：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\angle B=45^{\circ}\)，\(c=8\sqrt{2}\)，解这个直角三角形。
步骤解析：
求锐角：\(\angle A=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)。
求直角边\(a\)：由\(\sin A=\frac{a}{c}\)，得\(a=c\cdot\sin A=8\sqrt{2}\cdot\sin45^{\circ}=8\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=8\)。
求直角边\(b\)：因为\(\angle A=\angle B=45^{\circ}\)，所以\(a=b=8\)（或用\(\cos A=\frac{b}{c}\)，\(b=c\cdot\cos A=8\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=8\)）。
结论：\(\angle A=45^{\circ}\)，\(a=8\)，\(b=8\)。
第 9 页：类型二 —— 已知两条直角边解直角三角形
例 3：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(b=8\)，解这个直角三角形。
步骤解析：
求斜边\(c\)：由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)。
求锐角\(\angle A\)：由\(\tan A=\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=0.75\)，用计算器求得\(\angle A\approx36.9^{\circ}\)。
求锐角\(\angle B\)：\(\angle B=90^{\circ}-\angle A\approx90^{\circ}-36.9^{\circ}=53.1^{\circ}\)。
结论：\(c=10\)，\(\angle A\approx36.9^{\circ}\)，\(\angle B\approx53.1^{\circ}\)。
第 10 页：类型二 —— 已知一条直角边和斜边解直角三角形
例 4：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(a=5\)，\(c=10\)，解这个直角三角形。
步骤解析：
求直角边\(b\)：由勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\approx8.66\)。
求锐角\(\angle A\)：由\(\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5}{10}=0.5\)，得\(\angle A=30^{\circ}\)。
求锐角\(\angle B\)：\(\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。
结论：\(b=5\sqrt{3}\approx8.66\)，\(\angle A=30^{\circ}\)，\(\angle B=60^{\circ}\)。
第 11 页：方法总结
解直角三角形的基本思路：
明确已知元素和未知元素，根据已知条件选择合适的关系式。
若已知一边一锐角：先利用互余关系求出另一个锐角，再利用三角函数关系求出另外两条边。
若已知两边：先利用勾股定理求出第三边，再利用三角函数关系求出其中一个锐角，最后利用互余关系求出另一个锐角。
注意事项：
计算过程中要准确使用三角函数值，特殊角直接用准确值，一般角用计算器计算并保留合适精度。
选择关系式时，尽量使用已知数据，避免用中间结果计算，减少误差。
结果要符合实际意义，角度通常保留到小数点后一位，边长保留相应的精度。
第 12 页：例题讲解 5—— 综合应用
例 5：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\angle A=60^{\circ}\)，\(AB\)边上的高\(CD=3\sqrt{3}\)，解这个直角三角形。
步骤解析：
在\(Rt\triangle ACD\)中，\(\angle A=60^{\circ}\)，\(CD=3\sqrt{3}\)，\(\sin A=\frac{CD}{AC}\)，即\(AC=\frac{CD}{\sin60^{\circ}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\)。
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle A=60^{\circ}\)，\(\cos A=\frac{AC}{AB}\)，即\(AB=\frac{AC}{\cos60^{\circ}}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12\)。
\(BC=AB\cdot\sin60^{\circ}=12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\)。
\(\angle B=90^{\circ}-\angle A=30^{\circ}\)。
结论：\(\angle B=30^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=6\sqrt{3}\)，\(AB=12\)。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\angle A=45^{\circ}\)，\(b=7\)，解这个直角三角形。
练习 2：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，解这个直角三角形。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(c=14\)，\(\angle B=60^{\circ}\)，解这个直角三角形。
练习 4：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(a=5\)，\(b=5\sqrt{3}\)，求\(\angle A\)、\(\angle B\)和\(c\)的值。
第 15 页：易错点提醒
已知一边一锐角时，选错三角函数关系式，导致边长计算错误，如误用正弦代替正切。
利用勾股定理计算边长时，开方错误或计算失误，尤其是涉及无理数的运算。
已知两边求锐角时，三角函数值计算错误或使用反三角函数时按键错误。
忽略角度的互余关系，重复计算或计算角度之和不等于 90°。
结果精度不符合要求，未按题目要求保留小数位数或使用近似值不当。
第 16 页：课堂小结
本节课学习了解直角三角形的定义：由直角三角形的已知元素求出未知元素的过程。
掌握了解直角三角形的依据：勾股定理、锐角互余关系和三角函数关系。
学会了两种类型的解直角三角形方法：已知一边一锐角时，先求另一锐角，再求未知边；已知两边时，先求第三边，再求锐角。
强调了解题时要选择合适的关系式，准确计算，注意结果的精度和合理性。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 23.2 第 1、2、3 题。
提高作业：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\angle A=30^{\circ}\)，\(D\)为\(AB\)的中点，\(CD=2\)，解这个直角三角形并求出\(\triangle ACD\)的面积。
拓展作业：查阅资料，了解解直角三角形在航海、测量等领域的具体应用案例，尝试用所学知识进行分析。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.2.1解直角三角形
第23章　解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系.
2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
1.回想一下，在三角形中有几个元素？
6个：三个角，三条边
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，除了直角外，还有几个元素？
A
B
C
5个：两个锐角∠A，∠B，
三条边a，b，c.
这5个元素之间有什么关系呢？
a
b
c
a2+b2=c2
如图，在Rt△ABC中，除了直角(∠C)外，其它5个元素之间有什么关系呢？
∠A+∠B=90°
A
B
C
a
b
c
(1)三边之间的关系：
(2)两个锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
sin A= ，cos A= ，tan A= .
sin B= ，cos B= ，tan B= .
对于锐角B，也有类似的边角关系吗？
观察如下图中的每个三角形，除了知道∠C=90°外，还给出了另外两个元素的值，你能求出其它三个元素的值吗？
A
B
C
a
b
A
B
C
a
A
B
C
α
α
β
能
能
不能
在直角三角形中，除直角外，如果知道了五个元素中的两个元素(至少有一边)，就可以求出其余的三个元素.
都是角
有边有角
有边有角
A
B
C
a
b
c
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
条件：①在直角三角形中；
②知道除直角外的至少两个元素；
③至少有一个元素是边.
思考
1.解直角三角形的条件是什么？
除直角外的两个元素(至少有一边)
2.解直角三角形的依据是什么？
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
(1)三边之间的关系：
(2)两个锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
sin A= ，cos A= ，tan A= .
sin B= ，cos B= ，tan B= .
A
B
C
a
b
c
勾股定理
两锐角互余
锐角三角函数
典型例题
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形(精确到0.1).
B
A
C
b
a
c
分析：
已知：∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4.
未知：∠A，a，b.
287.4
解：由cos B=，得a=c cos B=287.4×0.7420≈213.3.
由sin B=，得b=c sin B=287.4×0.6704≈192.7.
213.3
192.7
∠A=90°–∠B=90°–42°6'=47°54'.
典型例题
例2 在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm，求三角形的面积S△ABC(精确到0.1 cm2).
B
A
C
分析：目前图中没有直角三角形，因此要根据题意作出直角三角形.
D
55°
20 cm
30 cm
要计算的是S△ABC，只要再计算得到CD(△ABC中AB边上的高)的长即可.
典型例题
例2 在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm，求三角形的面积S△ABC(精确到0.1 cm2).
B
A
C
D
55°
20 cm
30 cm
解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，
∵CD=AC·sin A=b·sin A，
∴ S△ABC=AB·CD=bc sin A.
当∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm时，有
S△ABC=bc sin A= 20×30 sin55°
= 20×30×0.8192
≈245.8(cm2).
三角形的面积等于一组邻边与其夹角正弦值积的一半.
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在中， ，，则 ___，
的度数为_____.
2.已知在中， ，,, 所对的边分别为
,,，其中， ，解这个直角三角形.
解：在中， ，， ，
,
, ，
.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
3.［知识初练］在中， ， ，
，则 的长为_____.
4
4.如图，小兵同学从 处出发向正东方向走
到达处，再向正北方向走到 处，已
知 ，则， 两处相距( )
B
A. B.
C. D.
5.教材改编题在中， .
(1)已知， ，求，， ；
解： , ,
， .
, .
(2)已知， ,求，， .
， ， ,
， ，
.
知识点3 已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形
6.［知识初练］在中， ， ,
，则 的长是____.
10
7.［2025年1月芜湖期末］如图，在 中，
，,,,则 ___.
9
知识点4 构造直角三角形求解
8.真实情境 如图是小夏同学家的衣架示意图，已知
， ，则衣架的宽 为( )
B
A.
B.
C.
D.
9.［2025·六安月考］如图，在中， ,
,，求 的长.
解：如图，过点作于点 .
在中， ，
，
,
， .
在中， ， .
解直角三角形
解直角三角形：
解直角三角形的依据：
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
条件：①在直角三角形中；
②知道除直角外的至少两个元素；
③至少有一个元素是边.
勾股定理
两锐角互余
锐角三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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